UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE DÉPARTEMENT D

UNIVERSITÉDESHERBROOKE
DÉPARTEMENTD’INFORMATIQUE
MAT115–LOGIQUEETMATHÉMATIQUESDISCRÈTES
DEVOIRN°2
Par
ChloéDrouin
(15029871)
KarimElmougi
(16022046)
MohamedHadjAli
(16033436)
SamuelCôté
(14065003)
Automne2016MarcFrappier
Question1:
a)¬(a b) (a
¬(a⇒b)
c)((a b) c)
(a∧b)⇒c
¬b)
⇔{(LP-22)}
¬a∨¬b∨c
⇔{(LP-21)}
⇔{(LP-6)}
a∧¬b
⇔{(LP-10)}
¬c∨a∨b
⇔{(LP-6)}
¬c∨¬c∨a∨b
⇔{(LP-8)}
¬c∨a∨¬c∨b
⇔{(LP-10)}
(¬c∨a)∨(¬c∨b)
⇔{(LP-22)}
(c⇒a)∨(c⇒b)
c)
⇔{(LP-17)}
¬¬a∧¬b
¬c∨(a∨b)
(b
¬(a∧b)∨c
⇔{(LP-18)}
⇔{(LP-22)}
c)
⇔{(LP-22)}
¬(¬a∨b)
b)(c (a b)) (c
c⇒(a∨b)
(a
¬a∨¬b∨c∨c
a) (c
b)
⇔{(LP-8)}
¬a∨c∨¬b∨c
⇔{(LP-10)}
(¬a∨c)∨(¬b∨c)
⇔{(LP-22)}
(a⇒c)∨(b⇒c)
d)¬( x (Square(x) ¬Small(x)))
(Square(x) Small(x)))
¬(∃x (Square(x)∧¬Small(x)))
( x
⇔{(LPO-12)}
∀x
¬(Square(x)∧¬Small(x))
⇔{(LP-17)}
∀x
(¬Square(x)∨¬¬Small(x))
⇔{(LP-21)}
∀x
(¬Square(x)∨Small(x))
⇔{(LP-22)}
∀x
Square(x)⇒Small(x)
2
Question2:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
Question3:
EF 0
0
0
0
1
1
1
1
EG 0
0
1
1
0
0
1
1
B
EF ˄EG 0
0
0
0
0
0
1
1
EH 0
1
0
1
0
1
0
1
C
EH ˄EF 0
0
0
0
0
1
0
1
D
¬C
1
1
1
1
1
0
1
0
B ⇒ D
1
1
1
1
1
1
1
0
Touslesmodèlesdelaformulesontcolorésenvert.Ainsi,ilexiste7modèles.
Question4:
Cas
#1
#2
#3
#4
#5
#6
#7
#8
EF 0
0
0
0
1
1
1
1
EG 0
0
1
1
0
0
1
1
EH 0
1
0
1
0
1
0
1
B ⇒ EH 1
1
0
1
0
1
0
1
B
EF ˅EG 0
0
1
1
1
1
1
1
¬EF 1
1
1
1
0
0
0
0
¬EH 1
0
1
0
1
0
1
0
Ici,lecas#1prouvequel’ensembleconstituédeces3formulesestcohérent.
Question5:
B
Cas
EF EG EH EF ˅EG B ⇒ EH EF EH #1
#2
#3
#4
#5
#6
#7
#8
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
EH estuneconséquencelogiquede(EF ˅EG ) ⇒ EH etdeEF danslescas#6et#8.
4
Question6:
¬ KL ∧ KM ⟹ KO ∨ KP ⟺ {(LP − 22)}
¬¬ SF ∧ SG ∨ SH ∨ ST ⟺ {(LP − 21)}
SF ∧ SG ∨ SH ∨ ST ⟺ {(LP − 12)}
(SF ∨ SH ) ∧ (SG ∨ SH ) ∨ ST ⟺ {(LP − 12)}
(SF ∨ SH ) ∨ ST ) ∧ ((SG ∨ SH ∨ ST )
⟺ {(LP − 10)}
KL ∨ KO ∨ KP ∧ (KM ∨ KO ∨ KP )
Question7:
¬KL ⟺ KM ⟺ {(LP − 41)}
¬SF ∧ SG ∨ ¬(¬SF ∨ SG )
⟺ {(LP − 18)}
¬SF ∧ SG ∨ (¬¬SF ∧ ¬SG )
⟺ {(LP − 21)}
¬KL ∧ KM ∨ (KL ∧ ¬KM )
5