Résumé des communications des Intervenants

OUTILS MATHEMATIQUES POUR LA FINANCE ET L’ACTUARIAT
Résumé des communications des Intervenants
Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014)
I.
Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance
Intervenante :
Prof. M’hamed EDDAHBI
Résumé du contenu du programme :
Dans le calcul différentiel dit de Leibnitz-Newton, on apprend la différenciation et intégration de
fonctions déterministes. Le théorème fondamentale dans la différenciation est la règle du changement de
variables, qui donne la différentielle de la composée de deux fonctions différentiables et d'une
transformation non linéaire de fonctions différentiables.
Dans le cadre des fonctions aléatoires (ou processus stochastiques) tel que le mouvement Brownien,
la règle de la chaîne pour le calcul de Leibnitz--Newton ne marche plus dans ce cadre, parce que le
mouvement Brownien se déplace si rapidement et irrégulièrement que presque toutes ses trajectoires sont
nulle part différentiable. Donc nous ne pouvons pas différencier des fonctions du Brownien de manière
similaire que dans le calcul Leibnitz--Newton.
En 1944 Kiyosi Itô a publié le papier célèbre "stochastic Integrals" aux proceedings de de l'Académie
Impériale de Tokyo. C'était le commencement du calcul de Itô, l'équivalent du calcul de Leibnitz--Newton
pour les fonctions aléatoires. Dans ce papier de six pages, Itô a introduit l'intégrale stochastique et une
formule, connue comme la formule de Itô depuis lors. Cette formule, règle de la chaîne pour le calcul de
Itô, ne peut pas être exprimé comme dans le calcul de Leibnitz--Newton en terme de dérivés, puisque les
trajectoires du mouvement Brownien sont nulle part dérivable. La formule de Itô peut être interprété en
forme intégrante seulement. De plus, il y a un terme supplémentaire dans la formule, appelé le terme de
correction de Itô, qui résulte du fait que la variation quadratique du mouvement Brownien n'est pas nulle.
Le calcul de Itô a été originalement motivé par la construction de processus de Markov ou diffusions
par des générateurs infinitésimaux.
Cependant, Itô a construit ces processus de diffusions directement comme les solutions d'équations
différentielles stochastiques. De plus, les propriétés de ces processus peuvent être dérivés de la formule de
Itô.
Pendant les six dernières décennies la théorie d'intégration stochastique de Itô a été étudié largement
et appliquée dans une grande gamme de champs scientifiques. La plus importante est à la théorie de
valorisation et couverture de Black--Scholes et sa généralisation en finance. Le calcul de Itô a un grand
spectre d'applications dans chaque discipline scientifique qui implique les processus stochastiques.
L'objectif de ce cours est de donner les éléments nécessaires pour développer le calcul différentiel
stochastique, notamment la théorie de l'intégration stochastique pour le mouvement Brownien. Nous
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établissons la formule de changement de variable dite formule de Itô dans ce cadre. Cette formule permet
en particulier de construire d'autres processus stochastique lié au Brownien notamment les martingales.
La formule de Itô permet aussi de donner des interprétations probabilistes à des équations aux dérivées
partielles. Nous étudierons également les équations différentielles stochastiques (EDS), en particulier
existence et unicité des solutions. Nous donnons des applications en finance mathématique notamment la
valorisation et la couverture des produits dérivés. Comme autres applications de cette théorie nous allons
montrer aussi à travers des exemples, en utilisant la propriété de Markov, les liens qui existent entre les
équations aux dérivées partielles et les équations différentielles stochastiques. Ceci montre clairement que
le calcul stochastique peut être un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles en
particulier la méthode numérique Monte Carlo.
II.
Titre du cours : Marches financiers et Théorie des Options
Intervenant :
Dr Jules SADEFO KAMDEM
Ces exposés couvrent le fonctionnement des marchés d’options, futures et la gestion du risque qu’ils
impliquent. Il suppose que le lecteur ait suivi un cours introductif en finance, probabilité ou statistiques.
Résumé du contenu du programme :
Introduction aux options et aux futures
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Les marchés d’options et futures
Le fonctionnement des marchés d’options
Le fonctionnement des marchés de futures
La détermination des prix futures et forwards
Stratégies de couverture par les contrats futures
Introduction aux arbres binomiaux et modèle de Black Scholes
Décision d’investissement et options réelles
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L’évaluation des investissements
Le prix des matières premières
Evaluation des options incluses dans une opportunité d’investissement
Dérivés climatiques, d’énergie et d’assurance
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Les questions relatives à l’évaluation
Les dérivés climatiques et d’énergie
Les dérivés assurantiels
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III.
Titre du cours : Introduction aux méthodes numériques pour la finance de marché
Intervenant :
Prof Bernard LAPEYRE
Résumé du contenu du programme :
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IV.
Objectifs, panorama des différentes méthodes
Méthodes de Monte-Carlo : principes et mise en œuvre
Techniques de réduction de variance
Liens entre EDS et EDP, exemples en finance de marché
Méthodes numériques pour les EDP issues de la finance
Approximation de diffusions par des chaînes, méthodes d'arbres
Approximation de diffusions pour la simulation, discrétisation d'EDS
Titre du cours: Gestion des Risques : outils mathématiques, produits et acteurs financiers
Intervenant :
Dr Idriss TCHAPDA DJAMEN
Résumé du contenu du programme :
L’objectif de ce cours est de présenter la gestion des risques à travers les outils mathématiques, les
produits et les acteurs financiers. Dans un premier temps, nous présentons les principaux risques financiers
et montrons comment les appréhender. La seconde partie sera consacrée au financement des risques. Nous
présentons des outils mathématiques utilisés dans le financement par rétention des risques puis quelques
produits financiers utilisés dans le financement par transfert des risques. La troisième partie est consacrée
à la dernière crise financière et aux quelques solutions proposées pour réduire les impacts du risque
systémique. Nous présentons comment le risque de liquidité a été un facteur amplificateur. Nous portons
notre attention sur l’apparition de nouveaux acteurs, les chambres de compensation, qui permettent une
gestion mutualisée du risque systémique et offrent plus de sécurité sur les marchés financiers. Ce cours,
structuré en 5 chapitres, présente également la modélisation mathématique des produits financiers
abordés.
1. Appréhender les risques financiers. Présentation des principaux risques financiers, crédit, contrepartie,
marché et liquidité et des outils mathématiques nécessaires à leur modélisation. Nous abordons également
des concepts tels que la diversification et la concentration qui sont rencontrés dans le contexte de
portefeuilles
2. Outils de financements des risques. Ce second chapitre traite de la problématique de rétention des
risques et présente des outils de gestion tels que le capital réglementaire et le capital économique. Des
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outils mathématiques tels que les quantiles et la TailVaR qui permettent de quantifier ou d’allouer le capital
sont également présentés.
3. Outils de transfert des risques. A travers la modélisation des opérations de transfert des risques tels que
les dérivés de crédit, nous présentons comment les produits dérivés permettent une gestion optimale du
bilan.
4. Le risque de liquidité. La dernière crise financière été l’occasion d’une manifestation du risque
systémique exacerbée par le marché des dérivés de gré à gré avec la faillite d’une grande banque d’affaires.
Nous illustrons ce qui n’a pas fonctionné et présentons les principaux outils qui permettent une meilleure
gestion du risque de liquidité.
5. Les chambres de compensation. Sous l’impulsion du G20, ces nouveaux acteurs sont promus à un
développement important dans le futur. Nous montrons comment ils permettent une gestion optimale des
risques de crédit et de liquidité.
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Enseignements de la seconde semaine (du 08 au 12 décembre 2014)
I.
Titre du cours: Statistique Bayesienne et applications
Intervenant :
Dr. Siméon FOTSO
Objectif: Présenter l’analyse statistique bayésienne en utilisant l’information a priori disponible et les
différents critères d’optimalité de la théorie de décision statistique. Un accent est mis sur le calcul
des estimateurs de bayes en estimation ponctuelle et une application est présentée en crédibilité
bayésienne.
Résumé du contenu du programme
Chapitre 1 : Bases de la statistique bayésienne
1.1 Théorème de Bayes
1.2 Distribution de probabilité a priori
1.3 Distribution de probabilité a posteriori
1.4 Théorie de la décision statistique
Chapitre 2 : Inférence bayésienne
2.1 Le cadre
2.2 Estimation ponctuelle : Règle de Bayes Exemples
2.3 Distributions conjuguées
2.4 Approche bayésienne empirique
2.5 Intervalle de confiance bayésien
Chapitre 3 : Crédibilité bayésienne
3.1 Exemple introductif: bons risques mauvais risques
3.2 Modélisation de l’hétérogenéïté
3.3 Prime de risque, prime collective, prime bayésienne
3.4 Distribution prédictive
3.5 Exemples
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II.
Titre du cours: Modèles en Assurance vie
Intervenant :
Dr. Aymric KAMEGA
Résumé du contenu du programme :
Modèles de durée et tables de mortalité en assurance vie en zone CIMA (6h)
Cet enseignement présente et illustre les notions suivantes (de manière introductive, avec des
illustrations dans le cadre de la zone CIMA) :
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quelques rappels sur le rôle des tables de mortalité en assurance vie,
préparation des données,
calcul et lissage des taux bruts (Hoem, Kaplan-Meier, Brass, Thatcher, etc.)
Illustration : construction des nouvelles tables CIMA,
Illustration : contrôle et suivi des nouvelles tables CIMA,
perspectives : modélisation de l’hétérogénéité en zone CIMA (Cox, Lin et Ying, etc.),
perspectives : modélisation de la mortalité prospective en zone CIMA (Brass, Bongaarts, etc.).
Génération de scénarios économiques en assurance vie en zone CIMA (3h) :
Cet enseignement présente (de manière introductive) l’utilisation de modèles financiers en assurance
vie à travers à travers une illustration des notions suivantes :
quelques rappels sur les générateurs de scénarios économiques en assurance vie
quelques rappels sur les risques financiers (action, taux d’intérêt, etc.) et de modèles composites
(Black et Scholes, Vasicek, CIR, etc.),
présentation de modèles intégrés (Brennan et Xia, Ahlgrim, etc.),
distinction entre l’univers de probabilité historique et l’univers de probabilité risque neutre,
mise en œuvre des générateurs de scénarios économiques en probabilités historiques (préparation
des données, discrétisation des processus, exemple de calibrage, etc.).
Pilotage et gestion des risques d’une compagnie d’assurance vie en zone CIMA (3h) :
Cet enseignement présente (de manière introductive) la situation et les perspectives de l’assurance
vie à travers les notions suivantes :
états des lieux et défis de l’assurance vie au Cameroun et en zone CIMA,
dispositions réglementaires actuelles de l’assurance vie en zone CIMA,
évolutions des dispositions prudentielles et comptables à l’échelle internationale,
dispositions relatives à la gestion et à l’évaluation internes des risques d’assurance vie en zone CIMA.
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III.
Titre du cours: Modélisation et prévision en Assurance de dommages (IARD)
Intervenant :
M. Eric MANIABLE
Ce cours est constitué de quatre parties dont chacune durera entre 3 à 4 h. Ces parties sont
développées dans une optique d’application aux assurances de dommages (IARD).
Résumé du contenu du programme :
Théorie des valeurs extrêmes, cas univarié
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Lois limites du maximum
Les dépassements de seuil
Estimation des paramètres des lois des extrêmes
Provisions stochastique et solvabilité en IARD
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Introduction sur les provisions
Grandes familles de méthodes stochastiques
VaR, TVaR, Provisionnement et Solvabilité
Quelques méthodes alternatives de provisionnement
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Modèle analogue au modèle de durée avec censure
Modèle à dynamique markovienne
Modèle à trajectoire de sinistre
Réassurance non-proportionnelle IARD et tarification
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Bases techniques
Quelques méthodes usuelles de tarification
Application de la théorie des valeurs extrêmes