TD-SMP6-SN1-2015 - Faculté des Sciences d`El Jadida

Université Chouaïb Doukkali
Faculté des sciences
Département de Physique
El Jadida
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Année Universitaire 2015/2016
TD – SMP5 - Série 1
MECANIQUE ANALYTIQUE
Paramétrage et Puissances virtuelles -
Exercice 1 :  
R = (O, x, y, z ) : Repère fixe/sol (T) est une tige homogène de longueur L et de masse m. L’extrémité A de (T) est reliée à un ressort (r) (sans masse, de raideur k et de longueur naturelle l0) et elle se déplace sur l’axe O z . A l’autre extrémité de (T), on fixe un point matériel (P) de masse m. ∑ = (T ) ∪ (P ) 1) Paramétrer le système matériel Σ.
2) Ecrire les équations de liaison imposées à Σ sous la forme 𝑓 𝑞, 𝑡 = 0 ou 𝑓 𝑞, 𝑞, 𝑡 = 0 . Indiquer la nature de ces liaisons. 3) Donner, si possible, un paramétrage complet du système. 4) Déterminer le nombre de degré de liberté de Σ.
5) Déterminer les énergies cinétique et potentielle de Σ.
𝑧⃗ !!!!⃗ 𝑧!
𝜃 (T) A 𝑧! 𝐺⬚ (P) 𝑦! !⃗ 𝑢
𝑥⃗ 𝑥! 𝑦⃗ 𝛼 𝑣⃗ Exercice 2
On se propose de déterminer le couple Γ nécessaire à appliquer à un
rouleau cylindrique qui remonte une pente en roulant sans glisser :
Γ⃗ 𝑦⃗ 𝑁 𝐺 −𝑚𝑔 𝑥⃗ 𝑇 𝐼 𝑂 𝛼 Le rayon de la base du rouleau et le moment d’inertie du rouleau par rapport
à (𝐺, 𝑧) sont notés respectivement 𝑟 et 𝐽.
D’autre part, seuls 𝑚, 𝛼, 𝑟, 𝐽, et 𝑥 sont connus.
1. Ecrire le principe des travaux virtuelles en choisissant une rotation
virtuelle – 𝛿𝜃 dans un premier temps puis un déplacement virtuel 𝛿𝑥
dans un deuxième temps.
2. En tenant compte de la condition de roulement sans glissement de la
roue sur la pente, déduire l’expression du couple Γ en fonction des
données.
3. De même, appliquez le principe des puissances virtuelles en choisissant
une vitesse de rotation virtuelle −𝜃 ∗ 𝑧 et une vitesse virtuelle 𝑥 ∗ 𝑥
Exercice 3
Soit un double pendule représenté sur la figure ci-dessous. On se propose
d’appliquer le principe des puissances virtuelles :
• pour calculer la valeur des couples moteur 𝐶! et 𝐶! à installer sur chaque
axe d’articulation pour obtenir des trajectoires imposées,
• pour déterminer la tension dans le premier pendule,
𝑥⃗! 𝑂 𝑂! 𝑎! 𝑘! 𝑥⃗! 𝑥⃗! 𝜃! 𝐸! 𝑂! 𝑎! 𝑘! 𝜃! 𝑧⃗! 𝐸! 𝑧⃗! 𝑧⃗! 1. Calculs préalables
1.1. calculer l’expression vectorielle de la vitesse réelle, en projection dans
ℛ! , du centre d’inertie 𝐺! et la vitesse virtuelle compatible avec les
liaisons. 𝐺! est défini par : 𝑂𝐺! = 𝑏! 𝑧! avec 𝑧! vecteur colinéaire à 𝑂! 𝑂!
tel que 𝑂! 𝑂! = 𝑎!
1.2. Calculer l’accélération 𝑎!! de 𝐺! en projection dans ℛ! .
1.3. Calculer l’expression vectorielle des vitesses réelles et vectorielles de 𝐺!
tel que : : 𝑂! 𝐺! = 𝑏! 𝑧! avec 𝑧! vecteur colinéaire à 𝑂! 𝐸! tel que
𝑂! 𝐸! = 𝑎!
1.4. Calculer l’accélération 𝑎!! de 𝐺! en projection dans ℛ! .
1.5. Déterminer la puissance virtuelle dissipée par les forces d’inertie en 𝐺!
et en 𝐺! . Dans la suite du problème on supposera que la force d’inertie
en 𝐺! est négligeable par rapport à la force d’inertie en 𝐺! .
1.6. Déterminer la puissance virtuelle dissipées par les raideurs en rotation
𝑘! et 𝑘! des paliers en 𝑂! et 𝑂! , sachant que ces ressorts sont
respectivement au repos pour 𝜃! = 0 et 𝜃! = 0 .
1.7. Déterminer la puissance virtuelle dissipée par les moteurs installés sur les
axes (𝑂! , 𝑦! ) et (𝑂! , 𝑦! ) délivrant les couples 𝐶! et 𝐶! .
2. Calcul des couples moteur
2.1. Calculer les couples 𝐶! et 𝐶! à installer en 𝑂! et 𝑂! pour obtenir les
trajectoires imposées en 𝐸! et 𝐸! , et vaincre les pesanteur en 𝐺! et 𝐺! ,
les inerties (en 𝐺! uniquement), les raideurs 𝑘! et 𝑘! .
3. Calcul de la tension dans le pendule 𝑺𝟏
3.1. 𝑆! représente la barre 𝑂! 𝑂! du double pendule. Pour le calcul de la
tension 𝑇 , on crée une vitesse virtuelle d’élongation 𝑎∗ 𝑧! . Que
deviennent les vitesse virtuelles de 𝐺! et de 𝐺! ?
Ecrire le principe des puissances virtuelles. Montrer qu’on retrouve 𝐶! et
𝐶! et qu’on peut calculer T.