Simulation quantique, Marches quantiques

EJCIM 2016
Simulation quantique,
Marches quantiques
Pablo Arrighi
Simuler la physique?
Des 0/1 simulent un monde 3D
(Jeux vidéos, Échanges d’info)
Eviter de résoudre des EDPs
Etre prédictif
Simulation quantique, et bruit
Discrétiser la physique?
Maths discrètes
ℝ vs ℚ, constructif
Principe de densité finie
(GD, Gandy, Bekenstein)
Réseaux informatiques
(Modèles d’informatique distribuée)
Le modèle des automates cellulaires
Le modèle des automates cellulaires
Croyance informaticienne : La physique se laisse capturer
par ce formalisme.
Digression : croyances vs science
Hypothèses vers Théorème
Conjecture vers hypothèse
Croyance vers conjecture
Le modèle des automates cellulaires
Croyance informaticienne : La physique se laisse capturer
par ce formalisme.
Le modèle des automates cellulaires
Croyance → Conjectures →
Théorèmes portant sur : Dans quelle mesure la physique
se laisse capturer par ce formalisme.
Le modèle des automates cellulaires
Croyance → Conjectures →
Théorèmes portant sur : Dans quelle mesure la physique
des particules se laisse capturer par ce formalisme.
Discrétiser les particules
Equation de Dirac
vs
Pièce de Jeu d’échec
A droite
temps
Pièce de jeu d’échec: neutrino
espace
A droite
temps
Pièce de jeu d’échec: neutrino
A gauche
espace
A droite
A gauche
Amplitudes
temps
Pièce de jeu d’échec: neutrino
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
espace
A droite
A gauche
Amplitudes
temps
Pièce de jeu d’échec: neutrino
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
espace
A droite
A gauche
Amplitudes
|α|2+|β|2=1
temps
Pièce de jeu d’échec: neutrino
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
β
0
0
0
0
0
0
α
0
0
0
0
β
0
0
α
0
0
0
0
0
0
0
α
β
0
0
0
0
0
0
α
0
0
0
0
β
0
0
espace
Rotations
C=
c s
s -c
c = cos(θ)
s = sin(θ)
θ = m.ε
m = mass
ε = step
temps
Pièce de jeu d’échec: électron
0
0
c4
cs3
0
0
-4c2s2
cs3-c3s
0
0
-cs2
c2s
0
0
-2c2s
-c3+cs2
0
0
c3
c2s
0
0
-s2
cs
0
0
c2
cs
0
0
0
0
0
0
c
s
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
espace
Rotations
C=
c s
s -c
c = cos(θ)
s = sin(θ)
θ = m.ε
m = mass
ε = step
temps
Pièce de jeu d’échec: électron
0
Théorème
0
c4
Dans
cs3
0
limite
0
0
continu,0cette
-4c2s2
cs3-c3s
:
la
au
marche quantique converge vers l’Equation
2
3
-cs
0
0
c
-2c
s
de Dirac.2
-c +cs
2
2
cs
0
0
0
-s2
cs
0
0
0
0
3
2
0
cs
0
0
c2
cs
0
0
0
0
c
s
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
espace
Pièce de jeu d’échec: électron
Etats
ψ=
u
ht
lig
ht
lig
time
d
space
Echelle :
ε
W(ε)
ε
Pièce de jeu d’échec: électron
ψ(x,t+ε)
W(ε)
ψ(x-ε,t)
ψ(x+ε,t)
Pièce de jeu d’échec: électron
d(x,t+ε)
u(x,t+ε)
W(ε)
d(x,t-ε) u(x-ε,t)
d(x+ε,t) u(x+ε,t)
Pièce de jeu d’échec: électron
d+ε∂td
u+ε∂tu
W=W(0)+εW(1)
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Pièce de jeu d’échec: électron
Ordre 0
d+ε∂td
u+ε∂tu
W=W(0)+εW(1)
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Pièce de jeu d’échec: électron
Ordre 1
d
u
W(0)=
u
d
Pièce de jeu d’échec: électron
Ordre 1
∂td = ∂xd +...
∂tu = -∂xu +...
+εW(1)
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Pièce de jeu d’échec: électron
Ordre 1
∂tψ = - σz∂xψ + εW(1)ψ
+εW(1)
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Pièce de jeu d’échec: électron
Ordre 1
C=
c -s
s c
∂tψ = - σz∂xψ + εW(1)ψ
+εW(1)
c = cos(θ)
s = sin(θ)
θ = m.ε
m = mass
ε = step
C(1) = -imσy
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Pièce de jeu d’échec: électron
Ordre 1
C=
c -s
s c
∂tψ = - σz∂xψ + -imσyψ
+εW(1)
c = cos(θ)
s = sin(θ)
θ = m.ε
m = mass
ε = step
C(1) = -imσy
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Rotations
C=
c s
s -c
c = cos(θ)
s = sin(θ)
θ = m.ε
m = mass
ε = step
temps
Pièce de jeu d’échec: électron
0
Théorème
0
c4
Dans
cs3
0
limite
0
0
continu,0cette
-4c2s2
cs3-c3s
:
la
au
marche quantique converge vers l’Equation
2
3
-cs
0
0
c
-2c
s
de Dirac.2
-c +cs
2
2
cs
0
0
0
-s2
cs
0
0
0
0
3
2
0
cs
0
0
c2
cs
0
0
0
0
c
s
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
espace
Le modèle des automates cellulaires
Croyance → Conjectures →
Théorèmes portant sur : Dans quelle mesure la physique
des particules se laisse capturer par ce formalisme.
Le modèle des automates cellulaires
Croyance → Conjectures →
Théorèmes portant sur : Dans quelle mesure la notion
physique de temps se laisse capturer par ce formalisme.
Le temps en SR
Observateur au repos
Le temps en SR
Observateur au repos
3.108m.s-1
Le temps en SR
Observateur au repos
3.108m.s-1
Observateur uniforme
Le temps en SR
Observateur au repos
3.108m.s-1
Observateur uniforme
Relativité
Les deux ont raison.
Les lois de de la physique sont les même pour tout
référentiels uniformes.
Ces référentiels sont valables pour décrire le monde.
lum
ièr
e
temps
Le temps en SR
èr
i
m
e
lu
espace
lum
ièr
e
temps
Le temps en SR
èr
i
m
e
lu
espace
lum
ièr
e
temps
Transformée de Lorentz
èr
i
m
e
lu
espace
Transformation qui
● change d’observateur
● laisse la vitesse de la lumière constante
Transformée de Lorentz
/2
ièr
e
temps
lum
e
ièr
lum
espace
Transformation qui
● change d’observateur
● laisse la vitesse de la lumière constante
= dilater le long des axes “lumières”
x2
Transformée de Lorentz
/2
ièr
e
temps
lum
e
ièr
lum
espace
Transformation qui
● change d’observateur
● laisse la vitesse de la lumière constante
= dilater le long des axes “lumières”
x2
lum
ièr
e
temps
Transformée de Lorentz discrète
e
ièr
x4
lum
espace
Transformation qui
● change d’observateur
● laisse la vitesse de la lumière constante
= dilater par un facteur entier le long des axes “lumières”
Transformée de Lorentz discrète
Transformée de Lorentz discrète
Transformée de Lorentz discrète
Transformée de Lorentz discrète
Transformée de Lorentz discrète
Théorème :Dans la limite au continu, cette
transformation de la marche quantique
coïncide avec la transformation de l’Equation
de Dirac.
Covariance
Relativité
Les lois de de la physique sont les même pour tout
référentiels uniformes.
Ces référentiels sont valables pour décrire le monde.
Transformée(Equation de Dirac) = Equation de Dirac
Transformée(Loi de physique) = Loi de physique
Une des symétries pilier de la physique. Discrétisable?
Covariance discrète
Relativité
Les lois de de la physique sont les même pour tout
référentiels uniformes.
Ces référentiels sont valables pour décrire le monde.
Transformée(Equation de Dirac) = Equation de Dirac
Transformée(Marche Quantique) = Marche Quantique?
Une des symétries pilier de la physique. Discrétisable?
Covariance discrète
Transformée(Marche Quantique) = Marche Quantique?
Egal ?
Covariance discrète
Si:
Alors:
?
Covariance discrète
Résumé
Neutrinos, électrons, fermions… discrétisable sous forme
de circuits quantiques.
Résumé
Neutrinos, électrons, fermions… discrétisable sous forme
de circuits quantiques.
Principes de relativité restreinte, et la notion physique de
temps qui en résulte… discrétisables comme contrainte d’
égalité entre circuits:
L’instant réductionniste
L’instant réductionniste
Nous pourrions vivre dans un “grand circuit électronique”.
Ce circuit électronique serait égal à d’autres circuits
électroniques: chacun d’eux serait une représentation
valide du monde.
La notion de temps serait alors relative à ce choix de
représentation: tout comme en relativité restreinte.
Problème: espace courbe
time
Passer de:
space
Problème: espace courbe
time
A:
space
Problème: espace courbe
C=
c -s
s c
∂tψ = - σz∂xψ + -imσyψ
+εW(1)
c = cos(θ)
s = sin(θ)
θ = m.ε
m = mass
ε = step
C(1) = -imσy
u-ε∂xu
d+ε∂xd
Le terme de masse est ajustable… mais...
Problème: espace courbe
En faire:
Le terme de transport ne l’est pas !
-c(x,t)
0
∂tψ = - σz∂xψ
0
c(x,t)
?
W(0)=
u-ε∂xu
d+ε∂xd
[Quantum walks as massless Dirac Fermions in curved Space-Time,
G. Di Molfetta , F. Debbasch, M. E. Brachet]
Paired Quantum Walks
u(x,t+2ε)
d(x,t+2ε)
u’(x,t+2ε)
d’(x,t+2ε)
States
ψ=
ψ+
ψ-
E†
u = ψ+(x+ε)+ψ+(x-ε)
d = ψ-(x+ε)+ψ-(x-ε)
W
u’ = ψ+(x+ε)-ψ+(x-ε)
d’ = ψ-(x+ε)-ψ-(x-ε)
E
E
u(x-2ε,t)
d(x-2ε,t)
u’(x-2ε,t)
d’(x-2ε,t)
u(x+2ε,t)
d(x+2ε,t)
u’(x+2ε,t)
d’(x+2ε,t)
E†
E†
E†
W
Paired
Quantum WalksW
W
E
E
E
E†
E†
E†
W
W
W
E
E
E
E
E†
E†
E†
W
W
W
E
E
E†
E†
E†
W
Paired
Quantum WalksW
W
W
W
W
E
W
W
E
W
E
Simulations : espace courbe RW
Simulations : espace courbe BH
Conclusion
Physique discrétisable? oui ou non.
↳ Relativité en physique des particules : oui.
Intérêt :
● Simulation quantique,
● Simplification, compréhension.
● Toy models