Correction - TD n˚22 - Conversion électromagnétique de puissance

Correction - TD no 22 : Conversion électromagnétique de puissance
Physique
Correction - TD n˚22 - Conversion
électromagnétique de puissance
1 Le transformateur
1. La distribution de courant dans le solénoïde est invariante par translation suivant l’axe z
et par rotation d’angle θ autour de ce même axe, donc le champ magnétique ne dépend ni
de z, ni de θ.
Tout plan perpendiculaire à l’axe du solénoïde est un plan de symétrie de la distribution
de courant, et le champ magnétique est donc perpendiculaire en tout point de ce plan, et
est donc dirigé suivant l’axe z.
−
→
−
Finalement : B = B(r)→
u .
z
De plus, l’application du théorème d’Ampère sur un contour rectangulaire complètement
à l’extérieur du solénoïde permet de montrer directement que le champ magnétique est
−
→
constant à l’extérieur du solénoïde (seuls la circulation de B est non nulle le long de
l’axe z, et étant donné que les courants enlacés dans ce contour sont nuls, on obtient
directement : B(r1 ) = B(r2 ) avec r2 > r1 > r).
Comme le champ créé doit nécessairement tendre vers 0 à l’infini, on en déduit que le
champ est nul à l’extérieur du solénoïde.
2. En prenant un contour rectangulaire dont un côté est à l’extérieur du solénoïde et l’autre
à l’intérieur, on montre directement que :
→
−
→
B = µ0 nI −
uz
3. Le flux à travers chaque boucle du solénoïde est égal à :ϕ = πr2 µ0 nI, or le solénoïde
comporte N = n` spires, donc le flux total au travers du solénoïde est donné par :
φ = N ϕ = πr2 µ0 `n2 I
4. On rappelle que φ = LI.
5. On en déduit donc que
L = µ0 πr2 `n2
7. Le flux du champ magnétique créé par le premier dans chaque spire du second vaut :ϕ0 =
πr02 B = πr02 µ0 nI or le second solénoïde comporte N 0 = n0 ` spires, donc le flux total au
travers du second solénoïde est donné par :
φ0 = N 0 ϕ0 = πr02 µ0 `n0 nI
dφ
.
dt
9. La force électromotrice induite dans le deuxième solénoïde par le premier est donnée par :
8. La loi de Faraday s’écrit dans le cas général : e = −
e0 = −
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dφ0
= ωπr02 µ0 `n0 nI0 sinωt
dt
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10. Si on avait branché le second solénoïde directement aux bornes du générateur de courant,
la fem aurait été donnée par :
e = L0
dI
= −ωµ0 πr02 `n02 I0 sinωt
dt
Le rapport des deux fem s’écrit :
e0
n
=− 0
e
n
On peut régler le rapport de transformation et transformer notamment une basse tension
en une haute tension à puissance égale en prenant un nombre de spire n0 n par exemple.
Dans ce cas, le courant dans le second circuit est plus faible, et les pertes par effet Joule
sont moindres. Un transformateur permet aussi de délivrer une puissance maximale à une
charge donnée (adaptation d’impédance, cf cours).
2 Caractéristiques d’un transformateur
1. La formule du rapport de transformation en fonction des valeurs efficaces s’écrit :
m=
N2 U2 I1
=
=
N1 U1 I2
50
= 454spires
0.11
π
2. Le circuit capacitif ayant un cosϕ 6= , il comporte nécessairement une résistance et un
2
condensateur, comme représenté sur la figure ci-dessous. On notera que ϕ < 0 si le circuit
est capacitif.
On en déduit donc : N1 =
i1
i2
R
m
u1
u2
C
a) La tension au secondaire est donnée par : U2 = mU1 = 0.11 ∗ 220 = 24.2V .
b) La puissance fournie au circuit capacitif est donnée par : Pcedee = U2 I2 cosϕ, et on en
déduit :
P
100
=
= 4.6A
I2 =
U2 cosϕ 24.2 ∗ 0.9
L’intensité au primaire est donc donnée par :
I1 = mI2 = 0.51A
.
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3 Circuit magnétique avec entrefer
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4 Modélisation d’un transformateur réel
Question préliminaire : sachant que Z =
u Uef f jϕ
=
e , on en déduit :
i
Ief f
" #
"
1
Ief f e−jϕ
Re
= Re
Z
Uef f
#
" #
Donc : P = Uef f Ief f = Re
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1
U2
Z ef f
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5 Adaptation d’impédance
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