Solides en contact Mouvement « plan-sur

Solides en contact
• Soient deux solides S et S0 restant constamment en contact
– On choisit l’un des deux solides, S0,
comme référentiel
S0 est immobile et on décrit
le mouvement de S par rapport à S0
– On admet que le contact est ponctuel.
Soit A le point de S en contact avec S0
au temps t.
S0
S
A
référentiel
vA
• vA = vitesse de glissement (de S par rapport à S0)
• Condition du roulement sans glissement: vA = 0
– A est alors sur l’axe instantané de rotation
S0
• Vecteur instantané de rotation – Décomposition en composantes parallèle
et perpendiculaire au plan tangent à S en A:
// = vitesse angulaire de roulement
= vitesse angulaire de pivotement
S
référentiel
A
//
OS, 17 janvier 2006
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Mouvement «plan-sur-plan»
• Définition: mouvement tel qu’un plan du solide S reste
constamment dans un plan fixe du référentiel
à tout instant les vitesses de tous les points du
solide sont parallèles à un plan fixe • Conséquences:
– le vecteur instantané de rotation est perpendiculaire à – on est ramené à l’étude du mouvement d’une surface plane rigide (section de S) sur un plan ;
– dans ce plan, il y a un centre instantané de rotation (si 0)
• Lieu géométrique des centres instantanés de rotation:
– dans le référentiel lié à : la base
– dans le référentiel lié à : la roulante
OS, 17 janvier 2006
«Tout mouvement plan-sur-plan
est un roulement sans glissement
de la roulante sur la base»
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Exemple: cylindre sur un plan sans glissement
• En trois dimensions:
y
– Un cylindre S de rayon R roule sans
glisser sur le plan Oxz, avec la
génératrice de contact parallèle à l’axe z
– Il s’agit d’un mouvement plan-sur-plan:
à chaque instant, toutes les vitesses sont
dans le plan Oxy la base du cylindre
reste constamment parallèle au plan Oxy
r
– = zˆ = vitesse angulaire de roulement
(pas de pivotement)
S
O
x
z
R
plan • Dans le plan Oxy (plan )
vB = 2R
B
vA = R
A
D
vC = 0
C
x
centre instantané
de rotation
Base = axe x
Roulante = circonférence du disque – On considère la section du cylindre
– Le point de contact C a une vitesse nulle
(pas de glissement); c’est le centre
instantané de rotation
r
r
– vP = CP P 0 R R
r
r
par ex. vD = CD = 0 R = R
0 0 OS, 17 janvier 2006
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Au tableau
r
r
r
vP = vA + AP
r
r
vP AP = vA AP
Les projections des vitesses de deux
points quelconques du solide sur la
droite qui les relient sont égales
Détermination du centre instantané de rotation
pour un solide en mouvement plan-sur-plan dont
on connaît les vitesses de deux points A et B
vA
dA = droite passant par A et
perpendiculaire à vA
A
Tous les points P de cette droite
ont des vitesses ayant une
projection nulle sur cette droite
(égale à celle de vA)
B
P
Idem pour la droite dB
It
vB
dB
dA
OS, 17 janvier 2006
Le point commun à dA et dB a
donc une vitesse nulle. C’est le
centre instantané de rotation It.
r
r
vP = It P vP = I t P vP = It P
vA I t A
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Direction de L
LC
LC,1
r
r
r = r1
r
r2
r v2 = rv1
L C,2 = L C,1
LC,2
r2
LC,3
m
d
LC
m
v1
r
r
r
L C,1 = r1 m v1
L C,1 = r1 mv1
r1
C
r mv
(L C,1)z = sin
1231 {1
d
m
d
r3
r1
C
= md2 d
LC,1
LC,2
r2
LC,4
r4
m
m
Deux
r masses
r m telles que
r1 = r2 par rapport à C
• Axe de rotation par C faisant
r
un angle quelconque avec r1
r
ˆ = 2md 2 = I • Lr = L C r
L C n'est pas parallèle à •
m
•
On ajoute deux masses m
supplémentaires, de sorte à faire
un système symétrique par
rapport
r à l’axe de rotation
ˆ = 4md 2 r= I • Lr = L C r
r
L C est parallèle à : L C = I OS, 17 janvier 2006
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Gyroscope
• Solide «suspendu» à son centre de masseG,
libre d’adopter n’importe quelle orientation,
en rotation autour d’un axe de rsymétrie (fixe
r
par rapport au solide) tel que L G = I • Théorème
du moment cinétique:
r
r
dL G = Mext = 0 Lr = constante
G
G
dt
r
donc = constante
démo
L
F
G
Mg
N
Terre
•
S
OS, 17 janvier 2006
Gyroscope à l’équateur:
– axe de rotation horizontal
selon la direction est-ouest
– 6 heures plus tard,
l’axe est devenu vertical
(à cause du mouvement de la Terre)
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roue de vélo simple
Effets gyroscopiques (1) démos: roue
de vélo double
r
r
• Roue de vélo en rotation au tour de son axe de symétrie: L G // – On veut changer la direction de l’axe de rotation; comment faut-il exercer
le couple de force pour que l’axe tourne autour de Ox ? ou de Oz ?
a) forces F parallèles à z
b) forces F parallèles à x
z
z
M
M
F
F
dL
r
L
dL
y
F
r
y
L
F
x
x
M selon x dL selon x
L tourne dans le plan xy
Théorème du
moment cinétique
OS, 17 janvier 2006
M selon z dL selon z
L tourne dans le plan yz
r
r ext r r
r
r
r r
dL G = M
G = (r F) + ( r F)= 2 r F
dt
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Effets gyroscopiques (2)
démo: roue de vélo et tabouret
• Pourquoi le tabouret tournant (à l’arrêt
quand l’axe de la roue est horizontal)
se met-il en rotation quand on force
l’axe de la roue à être vertical ?
z
tabouret
à l’arrêt
tabouret
tourne
– Conservation de L: si le tabouret peut tourner sans frottements
sur son socle, la composante z du moment cinétique du système
roue+personne+tabouret est conservée (Lz,tot =0)
z
– 3ème loi: si la personne applique des
forces sur la roue, la roue applique des
forces égales et opposées sur la personne
(qui la font tourner sur son tabouret)
OS, 17 janvier 2006
M = dL = L d = L dt r dt
r
r r
F
M = dL = L
dt
Attention: axe
!
r de rotation
r r modifié
r
tot = + M
L+dL
F
d
L
dL
y
x
140
Effets gyroscopiques (3)
démos: roue sur support réglable
toupie
anagyre
• Toupie symétrique avec un point fixe:
– Le moment du poids par rapport au point fixe est constamment
perpendiculaire au moment cinétique (supposé selon l’axe de rotation
propre) la norme du moment cinétique reste constante: Lc = I
– L’axe de rotation propre a un mouvement de précession autour de l’axe
vertical (de vitesse angulaire )
r
dLc/dt
r
r r
Lc
d
L
C
MC =
= LC
dt
CG Mg sin = L C sin
=
Mg CG Mg CG
=
LC
I G
• Note: on a négligé le moment cinétique
causé par la rotation !
Résultat approximatif valable si << – Cas général: n’est pas constant mais oscille
entre deux extrêmes et un mouvement de nutation
se superpose encore
Mg
C = point fixe
Mc = CG Mg ( Lc)
• Toupie sans point d’appui fixe, avec frottement sur le sol
OS, 17 janvier 2006
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Position d’un solide et angles d’Euler
•
•
•
Repère lié au référentiel Oe1e2e3
Repère lié au solide Ay1y2y3
Repère Ax1x2x3 tel que xi // ei
y2
plan y1y2
x1
x2
A
plan x1x2
e2
O
OS, 17 janvier 2006
y1
u (= axe nodal)
e3
e1
La position d’un point P du solide est
donnée par
OP = OA + AP = ai (t) eˆ i + yi yˆ i (t)
i
x3
y3
•
référentiel
[0,2]
[0, ]
[0,2]
•
i
c’est-à-dire par les trois coordonnées du
point A dans le repère Oe1e2e3 et par
l’orientation du repère Ay1y2y3 par
rapport au repère Ax1x2x3.
Cette orientation peut être caractérisée
par les trois angles d’Euler (,,);
on passe de Ax1x2x3 à Ay1y2y3 par les
trois rotations successives suivantes:
– Rotation d’angle autour de l’axe x3
amenant x1 sur u (=axe nodal)
– Rotation d’angle autour de l’axe u
amenant x3 sur y3
– Rotation d’angle autour de l’axe y3
amenant u sur y1
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