Electromagnétisme dans les milieux diélectriques
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Electromagnétisme dans les milieux diélectriques (PC*) __________________________________________________________________ Question de cours Rappelez à quoi correspond l'hypothèse d'un milieu linéaire, homogène et isotrope et comment ce milieu modie la forme des équations de Maxwell et de leurs solutions ondes planes. Exercice Relations de Descartes On considère en z = 0 une interface entre un milieu d'indice n1 et un milieu d'indice n2 . Une onde sinθi 0 et de pulsation ωi arrive sur le dioptre depuis z > 0. On la cosθ i − → → − − →→ −−→ i ωi t−→ ki .− r − . Elle donne naissance à une onde rééchie ωr , kr et à une onde notera Ei ( r , t) = E0,i e → − transmise ωt , kt . → − plane de vecteur d'onde ki = ki → − → − → − 1. Exprimez ωi , ωr et ωt en fonction de ki , kr et kt et des indices des milieux. 2. L'interface ne présente pas de charge surfacique. Déterminez les relations de continuité du champ électrique. 3. Montrez qu'on doit avoir ωi = ωr = ωt . sinθr → − → − → − 4. Montrez que kr et kt appartiennent au plan d'incidence de l'onde. On les notera kr = kr 0 cosθr sinθt → − et kt = kt 0 . cosθt 5. Déterminez les relations entre les angles d'incidences et de réexion. Solution Voir rubrique Cours & Analyse __________________________________________________________________ 1 __________________________________________________________________ Exercice Coefficients de Fresnel On considère en z = 0 une interface entre un milieu d'indice n1 et un milieu d'indice n2 . Une onde sinθi 0 et de pulsation ω arrive sur le dioptre cosθi → − − − →→ i ωi t− ki .→ r − → − uy . Elle à une onde rééchie depuis z > 0. On la notera Bi ( r , t) = B0,i e donne naissance sinθr sinθt − → − ω, → kr = kr 0 et à une onde transmise ω, kt = kt 0 . On admettra les relations cosθr cosθt de Descartes n1 sinθi = n2 sinθt et θi = −θr . → − → − → − 1. Exprimez ωi , ωr et ωt en fonction de ki , kr et kt et des indices des milieux. → − 2. Ecrire les équations de continuité du champ B et du champ E tangentiel. − → − → − → − → − → − → 3. Exprimez les champs Bi , Br et Bt en fonction des champs Ei , Er et Et et des indices des milieux. → − plane transverse magnétique de vecteur d'onde ki = ki 4. Ecrire les équations vériées par les coecients de réexion r = E0,r E0,i et de transmission t = E0,t E0,i . 5. En déduire la valeur de ces coecients. Commentez. Solution Voir rubrique Cours & Analyse __________________________________________________________________ 2 Daniel Suchet - 2012 __________________________________________________________________ Question de cours Conditions de raccordement Exercice Miroir laser 1. On envoie en incidence une onde monochromatique de pulsation ω sur une lame d'indice n comprise − → → − → − − → − entre z = 0 et z = e. On note E = E − u→ et E 0 = E 0 − u→ x et B = B uy les champs en z = 0 x et − →0 → 0− + 0 0 B = B uy les champs en z = e . Exprimez E et cB en fonction de E et de cB . En déduire la E0 cB 0 matrice M0 telle que = M0 E cB . 2. On considère à présent une succession de 2N couches de milieux diélectriques d'épaisseur e1 et d'indice n1 et de milieux d'épaisseur e2 et d'indice n2 tels que n1 e1 = n2 e2 = λ4 . 3. Déterminez les matrices M1 et M2 qui décrivent le passage de l'onde au travers d'une couche 1 ou d'une couche 2 respectivement. En déduire la matrice qui décrit le passage d'une onde au travers d'une couche 1 puis d'une couche 2. 4. En déduire la relation entre les champs dispositif. E0 cB0 en x = 0 et les champs Et cBt 5. En considérant les champs en x = 0 comme la superposition d'une onde incidente onde rééchie Er cBr en sortie de Ei cBi et d'une , déterminez les coecients de transmission et de reexion du dispositif. Solution 1. E →⇒ E1 → ⇒ E0 → E2 ← Continuité en 0 : Continuité en L : 2. Avec B= E c, B1 = n Ec1 , B2 = −n Ec2 et B0 = E0 c . E = E1 + E2 E1 = (E + cB/n)/2 ⇔ cB = cB1 + cB2 ⇔ cB = n(E1 − E2 ) E2 = (E − cB/n)/2 E 0 = E1 eink0 L + E2 e−ink0 L ⇔ cB = cB1 e + cB2 e−ink0 L ⇔ cB 0 = n(E1 eink0 L − E2 e−ink0 L ) cB 0 E = Ecos (nk0 L) + i n sin (nk0 L) cB 0 = n iEsin (nk0 L) + cB n cos (nk0 L) i E0 E cos (nk0 L) n sin (nk0 L) = (k0 en −k0 avec l'autre convention) cB 0 cB in sin (nk0 L) cos (nk0 L) E0 E 0 ni nL = λ4 , = et (dans l'ordre inverse des couches rencontrées) cB 0 cB in 0 n1 i i − n2 0 0 0 n n 2 1 M2 M1 = = 0 − nn12 in2 0 in1 0 0 donc et ink0 L 3 Daniel Suchet - 2012 Donc N ET = E0 − n1 n2 N cBT = cB0 − n2 n1 N ET = (Ei + Er ) − n1 n2 ⇔ N ET = (Ei − Er ) − n2 n1 N τ = (1 + r) − n1 n ⇔ 2 N τ = (1 − r) − n2 n1 N N τ − r − n1 = − nn21 n2 ⇔ N N τ + r − n2 = − nn12 n1 n1 N τ = 2 − n22N n 1+ n1 2 2N ⇔ n 1− n1 2 r = n1 2N 1+ n2 ________________________________________________________ 4 Daniel Suchet - 2012
