La structure de PILE - INFO-MPSI

La structure de PILE
Option Info - MPSI 2016
La structure de PILE
De quoi s’agit-il ?
Une pile d’assiettes ...
empiler
dépiler
sommet
LIFO = Last In First Out
En anglais : STACK
La structure de PILE
Quelques Exemples
Mise en œuvre de la récursivité
Parcours en profondeur d’un arbre binaire
Langage PostScript
Historique des modifications (fonction “undo”)
Historique des pages web visitées
Vérification du parenthésage
Evaluation d’expression post-fixées
Calcul de l’enveloppe convexe par l’algorithme de Graham
La structure de PILE
Syntaxe
Constructeurs
new : unit → ’a stack
crée une pile (initialement vide)
push : ’a → ’a stack → ’a stack
empile un élément
Sélecteur
pop : ’a stack → ’a
(erreur si pile vide)
dépile l’élément au sommet
Prédicat
is_empty : ’a stack → bool
teste si une pile est vide
La structure de PILE
Implémentation 1
Enregistrement à deux champs :
un vecteur sur-dimensionné, pour stocker les données
un entier, pour indiquer le sommet de la pile
type ’a pile = {c : ’a vect ; mutable s : int} ; ;
→ Taille et type de la pile sont fixés lors de sa création.
La structure de PILE
Implémentation 2
Enregistrement à un seul champ :
une liste mutable
type ’a stack = {mutable c : ’a list} ; ;
→ Ni la taille, ni le type ne sont fixés à la création.
La structure de PILE
Quelle implémentation choisir ?
Lorsqu’un nouveau type de données est créé (ici : ’a stack),
quelques fonctions de manipulation de base (ici : new, push,
pop, is_empty) sont mises à la disposition du programmeur.
Ces fonctions constituent en quelque sorte une interface entre
le programmeur et la structure intime des objets qu’il
manipule.
Le programmeur n’a pas, en général, à connaître le détail de
l’implémentation choisie, pourvu qu’il sache quelles sont les
fonctions disponibles, le nombre et les types des arguments
qu’elles acceptent, ainsi que le type du résultat qu’elles
renvoient.
Conséquence importante : si l’implémentation venait à être
modifiée, les programmes qui en dépendaient n’ont pas à être
rectifiés (ils doivent seulement être recompilés, ou
ré-interprétés).
La structure de PILE
Utilisation d’une pile : exemple 1
expression infixée : 3 + 2
expression postfixée : 3 2 +
expression infixée : (3 + 2) × (4 + 1)
expression postfixée : 3 2 + 4 1 + ×
expression infixée : 3 + 2 × (4 + 1)
expression postfixée : 3 2 4 1 + × +
La structure de PILE
Evaluation d’une expression postfixée
On considère une expression algébrique, exclusivement
composée de valeurs numériques et de symboles d’opérations
(addition, multiplication, ...)
L’algorithme d’évaluation d’une telle expression repose sur
l’utilisation d’une pile :
On parcourt l’expression de gauche à droite
Pour chaque symbole rencontré, deux cas possibles :
valeur → empilée
opérateur → les deux opérandes sont dépilés,
le résultat est empilé
Quand le parcours de l’expression se termine, le résultat
est au sommet de la pile
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241+ × +
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
Exemple d’évaluation
3241 + ×+
La structure de PILE
La même chose en CAML
type symbole = V of int | OP of char;;
Type symbole defined.
let eval expr =
let n = vect_length expr in
let s = new () in
for i = 0 to n-1 do
match expr.(i) with
| V x → push x s
| OP c → let x2 = pop s in
let x1 = pop s in
match c with
| ‘+‘ → push (x1 + x2) s
| ‘-‘ → push (x1 - x2) s
| ‘*‘ → push (x1 * x2) s
| _ → failwith "not implemented"
done;
pop s
;;
eval : symbole vect → int = <fun>
La structure de PILE
Utilisation d’une pile : exemple 2
Une partie C du plan est dite convexe lorsque :
∀ (M, N ) ∈ C 2 , [M, N ] ⊂ C
La structure de PILE
Enveloppe convexe
Si A est une partie quelconque du plan, on appelle enveloppe
convexe de A (convex hull, en anglais) la “plus petite” partie
convexe contenant A (c’est l’intersection de toutes les parties
convexes du plan qui contiennent A). On la note conv (A) .
La structure de PILE
Enveloppe convexe d’une partie finie
Dans le cas d’une partie finie A, on peut montrer que
conv (A) est un polygone convexe dont les sommets sont
certains points de A. L’algorithme de Graham prend A en
entrée et calcule la liste des sommets de conv (A) .
La structure de PILE
Algorithme de Graham : pseudo-code
P0 = point en bas à gauche
Tri des autres points par angle polaire croissant :
P1 , · · · , Pn − 1
Empiler P0 , P1 , P2
POUR i = 3 à n − 1 FAIRE
TANT QUE (SubTop, Top, Pi ) tourne à droite FAIRE
dépiler
fin TANT QUE
empiler Pi
fin POUR
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
La structure de PILE
L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
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L’algorithme de Graham pas à pas ...
La structure de PILE
L’algorithme de Graham pas à pas ...
La structure de PILE
Algorithme de Graham : complexité
Détermination de P0 → O (n ) .
Tri → O (n log (n )) .
Parcours → O (n ) .
En effet, pour tout i ∈ {0, · · · , n − 1} :
Pi est empilé 1 fois,
Pi est dépilé au plus 1 fois
d’où au plus 2n opérations push / pop
Total : O (n log (n ))
La structure de PILE
Travail à faire ...
Deux implémentations de la structure de pile : définir le
type ’a stack puis écrire les fonctions de base new, push,
pop, is_empty.
Ecrire quatre nouvelles fonctions, en s’appuyant
exclusivement sur les fonctions de base ci-dessus :
1
2
3
dup : ’a stack → unit
duplique l’élément au sommet
swap : ’a stack → unit
permute les deux éléments au
sommet
rot_down : ’a stack → unit, rot_up : ’a stack → unit
effectuent des permutations circulaires sur la pile
La structure de PILE
Travail à faire (suite)
Vérification du parenthésage d’une expression algébrique :
écrire une fonction acceptant en entrée une chaîne de
caractères, qui détermine si le parenthésage est correct ou
non. En cas de parenthésage incorrect, l’indice de la
première parenthèse incorrecte sera indiqué.
Programmer l’algorithme de Graham.
Et pour les plus gourmand(e)s ... On génère
aléatoirement (et uniformément) un ensemble de N
points dans un carré : étudier expérimentalement la
distribution du nombre de sommets de l’enveloppe
convexe de cet ensemble.
La structure de PILE
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La structure de PILE