RECHERCHES ARITHMETIQUES par Carl Friedrich GAUSS

RECHERCHES ARITHMETIQUES
par Carl Friedrich GAUSS
Rémi CHEVAL
7 juillet 2014
1 Des nombres congrus en général
Définition 1 (Congruence). Soient aun entier naturel et b, c deux entiers relatifs.
−Si adivise (b−c),bet csont dits congrus suivant a, sinon incongrus. a s’appellera le module .
Chacun des nombres b et c , résidus de l’autre dans le premier cas, et non résidus dans le seconde.
− Les nombres peuvent être positifs ou négatifs, mais entiers. Quant au module, il doit évidemment être
pris absolument, c’est-à-dire, sans aucun signe.
− Ainsi − 9et + 16 sont congrus par rapport au module 5; − 7est résidu de 15 par rapport au module
11, et non résidu par rapport au module 3.
−Au reste 0 étant divisible par tous les nombres, il s’ensuit qu’on peut regarder tout nombre
comme congru avec lui-même par rapport à un module quelconque.
− Tous les résidus d’un nombre donné a suivant le module m sont compris dans la formule a+k m , k
étant un entier indéterminé. Les plus faciles des propositions que nous allons exposer peuvent sans
peine se démontrer par-là ; mais chacun en sentira la vérité au premier aspect.
− Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe ≡ , en y joignant,
lorsqu’il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses ; ainsi :
−16 ≡9(mod. 5),−7≡15 (mod. 11)
Théorème 2. Soient mnombres entiers successifs a, a +1, a +2, ..., a +m−1et un autre A.
Un des premiers sera congru avec A, suivant le module m, et il n’y en aura qu’un.
Démonstration. On sait qu’il existe un unique k∈Z(il s’agit de la partie entière supérieure) tel que :
k−1<a−A
m≤k
⇐⇒ A+(k−1)m<a≤A+k m
Existence d’un résidu présent dans {a+i∥i∈J0, m −1K}:
−On obtient ainsi : a≤A+k m <a+m
−Donc il existe i∈J0, m −1Ktel que A≡A+k m (mod. m)≡a+i(mod. m)
Unicité de ce résidu : ∀i∈J0, m −1K,
k−1<a+i−A
m<k+1
Donc il existe un unique i∈J0, m −1Ktel que la fraction a+i−A
msoit un entier.
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Définition 3 ( Résidus minima, résidu minimum absolu). En appliquant le théorème précédent res-
pectivement avec a= 0et avec a=−(m− 1 ) , on obtient que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite
0 , 1 , ..., (m− 1 ) , que dans celle-ci : 0 ,− 1 , ..., −(m− 1 ) ; nous les appellerons résidus minima ; et il
est clair qu’à moins que 0ne soit résidu, il y en aura toujours deux : l’un positif, l’autre négatif. S’ils sont
inégaux, l’un deux sera strictement inférieur à m/ 2; s’ils sont égaux, chacun d’eux égaux à m/ 2sans avoir
égard au signe ; d’où il suit qu’un nombre quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module,
et que nous appellerons résidu minimum absolu.
Exemple 4. − 13 suivant le module 5, a pour résidu minimum positif 2, qui est en même temps
minimum absolu , et − 3 pour résidu minimum négatif ; + 5, suivant le module 7, est lui-même son
résidu minimum positif ; − 2est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absolu.
Proposition 5. Des notions que nous venons d’établir, nous tirerons d’abord les conséquences suivantes :
1. Les nombres qui sont congrus suivant un module composé, le sont également suivant un quelconque de
ses diviseurs : ∀a, b ∈Z,∀d, m ∈N, a ≡b(mod. m), d ∣malors a≡b(mod. d)
2. Si plusieurs nombres sont congrus à un même suivant le même module, ils seront congrus entre eux
(toujours suivant le même module) : ∀a, b, c ∈Z,∀m∈N, a ≡c(mod. m), b ≡c(mod. m),
alors a≡b(mod. m)
3. On doit supposer la même identité de module dans ce qui suit. Les nombres congrus ont les mêmes
résidus minima ; les nombres incongrus les ont différents.
Démonstration. Soient a, b, c ∈Zet d, m ∈N,
1.b−a
met m dsont des entiers donc b−a d=b−a m×m dest un entier
2.c−a
met c−b msont des entiers donc b−a m=c−a m−c−b mest un entier
3.Il s’agit une conséquence directe du point 2.
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