RECHERCHES ARITHMETIQUES par Carl Friedrich GAUSS

RECHERCHES ARITHMETIQUES
par Carl Friedrich GAUSS
Rémi CHEVAL
7 juillet 2014
1
Des nombres congrus en général
Définition 1 (Congruence). Soient a un entier naturel et b, c deux entiers relatifs.
−
Si a divise (b−c), b et c sont dits congrus suivant a, sinon incongrus. a s’appellera le module.
Chacun des nombres b et c, résidus de l’autre dans le premier cas, et non résidus dans le seconde.
−
Les nombres peuvent être positifs ou négatifs, mais entiers. Quant au module, il doit évidemment être
pris absolument, c’est-à-dire, sans aucun signe.
−
Ainsi −9 et +16 sont congrus par rapport au module 5 ; −7 est résidu de 15 par rapport au module
11, et non résidu par rapport au module 3.
−
Au reste 0 étant divisible par tous les nombres, il s’ensuit qu’on peut regarder tout nombre
comme congru avec lui-même par rapport à un module quelconque.
−
Tous les résidus d’un nombre donné a suivant le module m sont compris dans la formule a + k m, k
étant un entier indéterminé. Les plus faciles des propositions que nous allons exposer peuvent sans
peine se démontrer par-là ; mais chacun en sentira la vérité au premier aspect.
−
Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe ≡, en y joignant,
lorsqu’il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses ; ainsi :
−16
9 (mod. 5) ,
≡
−7
15 (mod. 11)
≡
Théorème 2. Soient m nombres entiers successifs a, a + 1, a + 2, ..., a + m − 1 et un autre A.
Un des premiers sera congru avec A, suivant le module m, et il n’y en aura qu’un.
Démonstration. On sait qu’il existe un unique k ∈ Z (il s’agit de la partie entière supérieure) tel que :
⇐⇒
k−1
<
A + (k − 1) m
<
a−A
m
a
≤
k
≤
A + km
Existence d’un résidu présent dans { a + i ∥ i ∈ J0, m − 1K } :
−
On obtient ainsi :
−
Donc il existe
a
≤
i ∈ J0, m − 1K
Unicité de ce résidu :
A + km
tel que
A ≡ A + k m (mod. m) ≡ a + i (mod. m)
∀i ∈ J0, m − 1K,
k−1
Donc il existe un unique
a+m
<
i ∈ J0, m − 1K
<
a+i−A
m
tel que la fraction
1
<
k+1
a+i−A
soit un entier.
m
Définition 3 (Résidus minima, résidu minimum absolu). En appliquant le théorème précédent respectivement avec a = 0 et avec a = −(m − 1), on obtient que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite
0, 1, ..., (m − 1), que dans celle-ci : 0, −1, ..., −(m − 1) ; nous les appellerons résidus minima ; et il
est clair qu’à moins que 0 ne soit résidu, il y en aura toujours deux : l’un positif, l’autre négatif. S’ils sont
inégaux, l’un deux sera strictement inférieur à m/2 ; s’ils sont égaux, chacun d’eux égaux à m/2 sans avoir
égard au signe ; d’où il suit qu’un nombre quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module,
et que nous appellerons résidu minimum absolu.
Exemple 4. −13 suivant le module 5, a pour résidu minimum positif 2, qui est en même temps
minimum absolu, et −3 pour résidu minimum négatif ; +5, suivant le module 7, est lui-même son
résidu minimum positif ; −2 est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absolu.
Proposition 5. Des notions que nous venons d’établir, nous tirerons d’abord les conséquences suivantes :
1. Les nombres qui sont congrus suivant un module composé, le sont également suivant un quelconque de
ses diviseurs : ∀a, b ∈ Z, ∀d, m ∈ N, a ≡ b (mod. m), d ∣ m alors a ≡ b (mod. d)
2. Si plusieurs nombres sont congrus à un même suivant le même module, ils seront congrus entre eux
(toujours suivant le même module) : ∀a, b, c ∈ Z, ∀m ∈ N, a ≡ c (mod. m), b ≡ c (mod. m),
alors a ≡ b (mod. m)
3. On doit supposer la même identité de module dans ce qui suit. Les nombres congrus ont les mêmes
résidus minima ; les nombres incongrus les ont différents.
Démonstration. Soient a, b, c ∈ Z et d, m ∈ N,
1.
2.
3.
b−a
m
c−a
m
et
et
m
sont des entiers
d
c−b
sont des entiers
m
donc
donc
Il s’agit une conséquence directe du point 2.
2
b−a
d
b−a
m
=
=
b−a m
×
est un entier
m
d
c−a
c−b
−
est un entier
m
m