Etats du rayonnement quantifié libre - CPhT-Polytechnique

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected]ytechnique.fr)
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 1 (9 janvier 2017)
Etats du rayonnement quantifié libre – Première partie
Nous étudions dans cette PC les premières propriétés du champ de rayonnement quantifié libre
et de ses états quantiques. Nous nous intéressons plus particulièrement aux états monomodes qui
constituent une classe d’états très importante pour nombre d’applications. Nous montrons no-
tamment que les états propres du hamitonien libre, les états nombre, se distinguent très fortement
des champs classiques.
1 Quelques propriétés des opérateurs de champ
1. Calculer les commutateurs [ˆaℓ,ˆa†
ℓ′ˆaℓ′]et [ˆa†
ℓ,ˆa†
ℓ′ˆaℓ′]pour deux modes quelconques ℓet ℓ′.
2. Ecrire ˆaℓˆa†
ℓà l’aide de l’opérateur nombre de photons dans le mode ℓ,ˆ
Nℓ= ˆa†
ℓˆaℓ.
3. Pour le rayonnement libre, montrer que l’énergie hˆ Hi, l’impulsion hˆ
~
Piet le nombre de
photons dans un mode ℓquelconque, hˆ Nℓi, sont des quantités conservées.
4. Pour un état initial quelconque, écrire l’équation d’évolution de la valeur moyenne de l’opé-
rateur d’annihilation dans le mode ℓ,αℓ(t) = hˆaℓi(t)et montrer que αℓ(t) = αℓ(0)e−iωℓt.
5. En déduire l’expression de la valeur moyenne du champ électrique, hˆ
~
E(~r, t)i. Commenter.
2 Etats monomodes du rayonnement libre
On appelle état monomode du rayonnement un état de la forme
|Ψi=|ψiℓN
ℓ′6=ℓ
|0i,
où |ψiℓest un état quelconque dans un mode ℓparticulier.
1. Montrer que le rayonnement libre préparé dans un état monomode de mode ℓreste dans
un état monomode de même mode ℓau cours de son évolution. Faire apparaître l’énergie
du vide dans l’expression de |Ψ(t)iet commenter.
2. Déterminer les fluctuations des champs électrique et magnétique dans le vide. Commenter.
1

Pour un champ monomode ℓ, on admet que l’on peut ignorer complètement tous les autres modes
(du moins pour les problèmes traités ici). En particulier, les champs seront écrits
ˆ
E(~r)≡iEℓ~εℓˆaℓe+i~
kℓ·~r −ˆa†
ℓe−i~
kℓ·~r
ˆ
B(~r)≡iEℓ
ωℓ~
kℓ×~εℓ ˆaℓe+i~
kℓ·~r −ˆa†
ℓe−i~
kℓ·~r ,
et on omettra l’indice de mode ℓainsi que les vecteurs ~ kℓet ~ kℓ×~εℓafin d’alléger les notations.
3 Etats nombre
On considère un état nombre monomode, |niℓ=|0, ..., 0, nℓ,0, ...i, pour un mode ℓdonné.
1. Quel est le nombre de photons dans le champ ? Ce nombre fluctue-t-il ?
2. Montrer que l’état |niℓest un état propre du hamiltonien et déterminer l’expression de
l’état à l’instant t,|n(t)iℓ.
3. Déterminer les expressions des quantités hˆ
~
E(~r, t)i,hˆ
~
E2(~r, t)iet ∆ˆ
~
E2(~r, t). Ces valeurs
dépendent-elles de la position ~r et du temps t?
4. On considère à présent l’état monomode |Ψi=c0|niℓ+c1|n+ 1iℓ.
(a) Quel est le nombre de photons dans le champ ? Est-ce une quantité bien déterminée ?
(b) Déterminer la valeur moyenne du champ électrique, hˆ
~
E(~r, t)i.
(c) Commenter. hˆ
~
E(~r, t)i
2