Etats du rayonnement quantifié libre - CPhT-Polytechnique

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 1 (9 janvier 2017)
Etats du rayonnement quantifié libre – Première partie
Nous étudions dans cette PC les premières propriétés du champ de rayonnement quantifié libre
et de ses états quantiques. Nous nous intéressons plus particulièrement aux états monomodes qui
constituent une classe d’états très importante pour nombre d’applications. Nous montrons notamment que les états propres du hamitonien libre, les états nombre, se distinguent très fortement
des champs classiques.
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Quelques propriétés des opérateurs de champ
1. Calculer les commutateurs [âℓ , â†ℓ′ âℓ′ ] et [â†ℓ , â†ℓ′ âℓ′ ] pour deux modes quelconques ℓ et ℓ′ .
2. Ecrire âℓ â†ℓ à l’aide de l’opérateur nombre de photons dans le mode ℓ, N̂ℓ = â†ℓ âℓ .
ˆ
3. Pour le rayonnement libre, montrer que l’énergie hĤi, l’impulsion hP~ i et le nombre de
photons dans un mode ℓ quelconque, hN̂ℓ i, sont des quantités conservées.
4. Pour un état initial quelconque, écrire l’équation d’évolution de la valeur moyenne de l’opérateur d’annihilation dans le mode ℓ, αℓ (t) = hâℓ i(t) et montrer que αℓ (t) = αℓ (0)e−iωℓ t .
~ˆ r , t)i. Commenter.
5. En déduire l’expression de la valeur moyenne du champ électrique, hE(~
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Etats monomodes du rayonnement libre
On appelle état monomode du rayonnement un état de la forme
N
|0i,
|Ψi = |ψiℓ
ℓ′ 6=ℓ
où |ψiℓ est un état quelconque dans un mode ℓ particulier.
1. Montrer que le rayonnement libre préparé dans un état monomode de mode ℓ reste dans
un état monomode de même mode ℓ au cours de son évolution. Faire apparaître l’énergie
du vide dans l’expression de |Ψ(t)i et commenter.
2. Déterminer les fluctuations des champs électrique et magnétique dans le vide. Commenter.
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Pour un champ monomode ℓ, on admet que l’on peut ignorer complètement tous les autres modes
(du moins pour les problèmes traités ici). En particulier, les champs seront écrits

 Ê(~r) ≡ iEℓ ~εℓ âℓ e+i~kℓ ·~r − ↠e−i~kℓ ·~r
ℓ
,
~kℓ ·~
E
+i
r − ↠e−i~kℓ ·~
r
 B̂(~r) ≡ i ℓ ~kℓ × ~εℓ
â
e
ℓ
ℓ
ωℓ
et on omettra l’indice de mode ℓ ainsi que les vecteurs ~kℓ et ~kℓ × ~εℓ afin d’alléger les notations.
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Etats nombre
On considère un état nombre monomode, |niℓ = |0, ..., 0, nℓ , 0, ...i, pour un mode ℓ donné.
1. Quel est le nombre de photons dans le champ ? Ce nombre fluctue-t-il ?
2. Montrer que l’état |niℓ est un état propre du hamiltonien et déterminer l’expression de
l’état à l’instant t, |n(t)iℓ .
~ˆ r , t)i, hE
~ˆ 2 (~r, t)i et ∆E
~ˆ 2 (~r, t). Ces valeurs
3. Déterminer les expressions des quantités hE(~
dépendent-elles de la position ~r et du temps t ?
4. On considère à présent l’état monomode |Ψi = c0 |niℓ + c1 |n + 1iℓ .
(a) Quel est le nombre de photons dans le champ ? Est-ce une quantité bien déterminée ?
~ˆ r , t)i.
(b) Déterminer la valeur moyenne du champ électrique, hE(~
~ˆ r , t)i
(c) Commenter. hE(~
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