TP n˚4

Nicolas Gourmelon
Calcul Scientifique et Symbolique Avancés
9 avril 2014
TP n˚4
Arbres binaires de recherche, 2ème partie
On a étudié au TP précédent le tri par construction d’arbres binaires de recherche. Le coût d’insertion
d’un noeud dans un arbre binaire de recherche est majoré par la profondeur de l’ABR. Si on n’a pas de
chance, il se peut que cette profondeur soit linéaire en la taille de l’ABR. Ceci nous donne un tri dont le
coût est de l’ordre de n2 , où n est la longueur de la liste à trier.
Pour éviter cela, on cherche à insérer des noeuds dans un arbre binaire de recherche tout en préservant
un équilibre qu’on va définir.
1
Algèbre linéaire avec Sage
Essayer les commandes suivantes :
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
v=vector([2,0,1,4])
v ; v*v
v.norm()
v.column()
A=matrix([[2,1],[-1,1]]) ; parent(A)
A1=matrix([[SR(2),1],[-1,1]]) ; parent(A1)
P=A.characteristic_polynomial()
A.eigenvalues()
A1.eigenvalues()
a=A1.eigenvalues()[1] ; a.show()
Expliquer les résultats donnés par les commandes suivantes :
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
B=matrix([[-1,1,2,1],[2,3,3,0],[0,4,5,5],[2,4,0,1]])
B1=matrix([[-1,1,2,SR(1)],[2,3,3,0],[0,4,5,5],[2,4,0,1]])
C=matrix([[-1,1,2,1,0],[2,3,3,0,0],[0,4,5,5,5],[2,4,0,1,1],[2,4,1,1,0]])
C1=matrix([[-1,1,2,1,SR(0)],[2,3,3,0,0],[0,4,5,5,5],[2,4,0,1,1],[2,4,1,1,0]])
B.eigenvalues()
B1.eigenvalues()
C.eigenvalues()
C1.eigenvalues()
On peut diagonaliser et calculer les matrices de passages à la base diagonalisante grâce aux commandes
suivantes :
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
A.right_eigenmatrix()
A1.right_eigenmatrix()
Delta=A.right_eigenmatrix()[0]
P=A.right_eigenmatrix()[1]
P*A*P^{-1}
P^{-1}*A*P
Manipulation d’une variable symbolique ’n’ :
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
sage:
2^n
n=var(’n’)
a=2^n
a.show()
2*a
factor(2*a)
b=factor(2*a)
b.show()
1
Exercice 1 :
Ecrire un programme qui à une matrice carrée A de taille 6 3 à coefficients dans l’anneau des entiers
renvoie la puissance n-ième de A, où n est une variable symbolique.
2
Arbres équilibrés et arbres de Fibonacci
Un arbre binaire est dit équilibré si en tout noeud de cet arbre, les profondeurs du sous-arbres de gauche
et du sous-arbre de droite diffèrent d’au plus 1.
Exercice 2 :
On montre dans cet exercice que la profondeur d’un arbre équilibré est faible par rapport au nombre de
noeuds, et donc que le coût de l’insertion d’un noeud dans un arbre binaire de recherche équilibré est
faible.
Les arbres de Fibonacci A_n sont définis récursivement de la manière suivante : l’arbre A_0=[] et un arbre
A_1 ayant un seul noeud sont des arbres de Fibonacci d’ordre 0 et 1, respectivement. Un arbre binaire
A_{n+2} est un arbre de Fibonacci d’ordre n + 2 si son sous-arbre gauche A_{n+1} et son sous-arbre droit
A_n sont d’ordres n + 1 et n, respectivement.
1.
Ecrire un algorithme qui à n associe un arbre de Fibonacci A_n d’ordre n.
2.
Quelle est la profondeur d’un tel arbre A_n ?
Exprimer à l’aide de Sage le nombre de noeuds d’un arbre A_n. On utilisera une équation matricielle,
et on en déduira à l’aide de Sage une expression de ce nombre en fonction de n.
3.
4. Montrer que parmi les arbres équilibrés de profondeur n+1, les arbres de Fibonacci d’ordre n minimisent
le nombre de noeuds.
En remarquant que l’arbre binaire complet maximise lui trivialement le nombre de noeuds à profondeur
fixée, en déduire l’ordre de grandeur de la profondeur d’un arbre équilibré en fonction de son nombre de
noeuds.
5.
Exercice 3 :
Ecrire un algorithme verif_equ qui à un ABR A associe un booléen, et qui teste si un ABR est équilibré
ou non.
3
Rééquilibrages et tris
La procédure décrite au TP précédent qui insère un noeud dans un arbre binaire de recherche, ne rend
pas (en général) un arbre équilibré. On veut écrire un algorithme tel qu’à chaque insertion d’un noeud
dans l’ABR, l’arbre retourné soit équilibré, de sorte que le coût d’une insertion d’un nouveau noeud soit
de l’ordre du logarithme de la taille de l’arbre.
Exercice 4 :
On considère un ABR T déséquilibré tels que les sous-arbres gauche et droit de T sont équilibrés.
Ecrire un algorithme equilibrage qui à un tel arbre associe un ABR équilibré (on utilisera les rotations
vues en cours).
1.
On applique la procédure de l’exercice 2 à un arbre équilibré et on suppose que l’arbre retourné n’est pas
équilibré. Démontrer qu’il existe un unique sous-arbre T déséquilibré de profondeur maximale, autrement
dit, tel que les sous-arbres de T sont équilibrés.
2.
3. Ecrire une fonction insert_equ qui insère un nombre a dans un ABR T et qui rééquilibre l’arbre, si
nécessaire.
En déduire un algorithme de tri tri_ABR_equ par construction d’un arbre binaire de recherche, tel
qu’à chaque étape de la construction l’arbre est équilibré.
4.
5.
Comparer son coût à celui du tri rapide. Que peut-on en dire ?
2
Exercice 5 :
Dans l’exercice précédent, on teste à chaque insertion d’un noeud si l’arbre binaire est équilibré. Or,
ce test requiert le calcul de la profondeur de chaque sous-arbre. Le coût du calcul de la profondeur est
linéaire. La vérification de ce qu’un ABR est équilibré doit donc avoir un coût au moins linéaire. Le coût
total du tri ainsi effectué doit donc être en n2 .
Pour accélérer la vérification qu’un arbre est équilibré, on peut "décorer" chaque noeud par la profondeur du sous-arbre correspondant. Nous travaillerons sur des objets de type "ABR+profondeur" définis
récursivement de la façon suivante :
— la liste [[],[],[],0] est l’ABRP vide de profondeur 0,
— toute liste T=[p,a,T1,T2] est un un ABRP si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
— a est un réel et p est un entier positif,
— T1 et T2 sont des ABRP,
— T1[0]6 a 6T2[0] et la profondeur de T est donnée par T[3]==p
et est égale à 1+max(profondeurs de T1 et T2).
1.
Ecrire une fonction equilibrage_P qui adapte la fonction equilibrage de l’exercice 4 aux ABRP.
Ecrire une fonction insert_equ_P qui insère un nombre a dans un ABRP T équilibré et qui le
rééquilibre, si nécessaire. Quel est le coût de cet algorithme ?
2.
3.
Ecrire un algorithme tri_ABRP de tri par ABRP.
3