13 ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012 Modèle d'optique-physique de la diffusion au voisinage de l'angle critique de bulles elliptiques Fabrice ONOFRI 1, Stefan RADEV2, Séverine BARBOSA1, Matthias SENTIS1 IUSTI-UMR 7343, CNRS & Aix-Marseille Université, Technopôle Château Gombert, 13453 Marseille, France Institute of Mechanics, Bulgarian Academy of Sciences, 4 Acad. G. Bonchev Str., 1113 Sofia, Bulgaria 1 Introduction La singularité de la diffusion d’une bulle au voisinage de l’angle critique trouve son origine dans le caractère semi-discontinu [1] des coefficients de réflexion des ondes p = 0 au voisinage de l'angle de réflexion totale, soit φc = π − 2θc = π − 2 sin−1 m ≈ 82° pour une bulle d’air dans l’eau, d’indice relatif m = mb / ms < 1 . Les propriétés de diffusion des bulles sphériques peuvent être modélisées rigoureusement avec la théorie de Lorenz-Mie (TLM). Bien que moins précis, d'autres modèles ont été développés pour modéliser ce phénomène, comme l'approximation au premier ordre de la théorie du moment complexe angulaire [1] ou l'approximation d'optique physique (POA) [2-5] introduite par Marston [2-3]. Quant à l'optique géométrique [6], elle est par incapable de décrire les propriétés du champ diffusé au voisinage immédiat de l’angle de diffusion critique où le caractère ondulatoire de la lumière « s’exprime » fortement (via un effet tunnel notamment [7]). À l’aide de la TLM et/ou de la POA, les auteurs ont proposé et validé le principe d'une nouvelle technique optique permettant de reconstruire la distribution de taille et mesurer l'indice de réfraction moyen d'un nuage de bulles sphériques (technique CARS [4-5, 8-9]) et ceci, de manière quasi instantanée et avec très peu de ressources informatiques. Cependant, du point de vue théorique ou applicatif, le modèle de la bulle sphérique s'avère insuffisant dès lors que l'on s'intéresse aux écoulements gravitaires de grosses bulles (plus de 700-800µm pour des bulles d’air dans de l’eau) ou fortement cisaillés [9-10]. Pour répondre à cette problématique, nous présentons dans cet article un modèle d'optique physique permettant de décrire la diffusion, dans le champ lointain et au voisinage de l’angle critique, de bulles (ou jets) à section elliptique (voir la figure 1) [12]. 2 Modèle de diffusion La figure 1 présente la géométrie du problème étudié. La bulle d’ellipticité γ = ax / ay et 2 2 d'équation dans le plan ( x0 / ax ) + ( y 0 / ay ) = 1 , peut être oblate γ > 1 ou prolate γ < 1 . Son rayon de 2 courbure local s’écrit R0 = ax2ay2N03 avec N02 = ( x0 / ax2 ) + ( y 0 / ay2 ) 2 pour le module de la normale correspondante. L'onde incidente est plane et de polarisation quelconque. Les contributions des rayons d'ordre p > 1 sont négligées dans cet article, dans le mesure où, nous ne nous intéressons qu’au phénomène de diffraction scalaire. p =0) La première étape s’attache à décrire la forme du front d'onde de l'onde réfléchie (rayons au voisinage du point d'impact ( xc , y c ) associé à l'angle critique θc . En s’appuyant sur la méthode introduite par Airy [11] dans sa théorie de l'arc-en-ciel, et celle de Marston [2] pour des 1 Correspondant : [email protected] 13 ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012 bulles sphériques, ce front d'onde est décrit dans un repère orthogonal (u, v ) . La direction de v est donnée par le rayon critique impactant en ( xc , y c ) , sachant que v = − cos 2θc xf + sin 2θc y f et u = sin 2θ c xf + cos 2θc y f [12]. En utilisant un développement en série de Taylor, le front d'onde v = v ( u ) pour uc → 0 est décrit par : v = v ( uc ) + dv 1 d 2v 2 3 ( u − uc ) + ( u − uc ) + O ( u − uc ) du 2! du 2 (1) S’il est aisé de monter que v ( uc ) = uc = ν c = 0 , il est plus délicat de démontrer que dv / du ü =u = 0 et c ( d 2v / 2du 2 ) ü = uc <0. Le but ici est bien évidement de déterminer le terme quadratique : 1 d 2v 2! du 2 αγ = = u =0 1 dp 2qc2 dx0 (2) x0 = x c Où, pour simplifier les notations, nous avons introduit les quantités : q = du / dx0 et p = dv / dx0 , avec dv p d 2v 1 dp dq = ; = −p q du q du 2 q 3 dx0 dx0 (3) En utilisant l’équation canonique de l’ellipse, il vient que [12] : px qx 0 0 = xc = xc = − cos 2θc = sin 2θc dxf dx0 dxf dx0 + sin 2θc x 0 = xc + cos 2θc x0 = xc dy f dx0 dy f dx0 x0 = xc (4) x0 = xc avec dxf dx0 dy f dx0 = 2 xc2 ; ax4 Nc2 = ay2 xc 1 xc2 1 1 2 − 2 2 + 2 2 2 ax Nc y c ay ax ax ay x0 = xc x0 = xc 2 d xf dx02 d 2y f dx02 = x0 = xc (5) 8 xc Nc4ay2ax4 =− ay4 ax2 y c3 + 4 −2 xc2 y c ax2ay2 Nc4ax2 1 ay2 1 a2 − a2 + 2 Nc y c y x y c2 xc2 − a 2 a 2 x y ¨ x0 = xc A l’aide des équations (2)-(5), nous pouvons déterminer la valeur du terme quadratique du développement en série. Plusieurs remarques importantes peuvent être faites à ce niveau : - Le front d’onde associé à la diffusion critique est quadratique, alors qu’il est cubique pour l’arc-en-ciel [11]; - Pour ax = ay , on retrouve le cas particulier de la sphère traité par Marston [2,3] avec α γ = α Sphère = −1/ ( ax cos (θC ) ) [12]; - Pour ax ≠ ay l’expression obtenue pour α γ est bien plus complexe mais, après quelques calculs [12], on peut montrer elle est identique à celle d’une sphère dont le rayon est égal au rayon de courbure, du sphéroïde 2D, au niveau du paramètre d’impact critique : α γ = α Sphère ( ax = ay = Rc = ax2ay2Nc3 ) ! Ceci est illustré numériquement par la figure 3 qui compare la forme du front d’onde diffracté par des bulles sphéroïdales et sphériques (de rayon a = ax et a = ay ainsi que a = Rc pour le cas oblate et le cas prolate). 13 ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012 La seconde étape porte sur l’étude de la propagation dans le champ lointain de ce front d'onde. En conservant les notations utilisées par Marston [2] dans le cas de la sphère, nous utilisons comme expression générique de l'amplitude du champ diffusé au voisinage de l’angle critique : ∞ ik ( −α u −η u ) f j (η ) = ∫ r j ( u )e du (6) −∞ 2 où η = φ − φc est un écart angulaire infinitésimal et r j est une approximation au premier ordre de l'amplitude du coefficient de Fresnel ( j = 1,2 ) avec k pour le vecteur d’onde et ε = θ c − θ ≥ 0 avec 1/ 2 r1 ≃ 1 − ( 8ε / ( m cos θc ) ) 1/ 2 et r2 ≈ −1 + m 2 ( 8ε / ( m cos θc ) ) f j (η ) = ±e i kη 2 4α ∫ ∞ −∞ e [12]. En remplaçant, il vient que : 2 η − i kα u + + β j u1/2 2α (7) du Pour obtenir une intégrale formellement identique à celle Fresnel, nous introduisons deux nouvelles constantes A et w : −2kα A= −k 2πα ; w = −η π (8) Après quelques manipulations [12], l’Eq. (7) devient : f j (η ) = ± e i β j 1/2 kη 2 −i w 4α A1/2 A ∫ ∞ −w On introduit alors la fonction ψ j ( z, w ) = stationnaires, le terme e − iψ j ( z,w ) e π − i − z2 2 e βj βj 1/2 − i 1/2 ( z + w ) − 1/2 w 1/2 A A β 1/ 2 j ( z + w ) − w 1/ 2 . A1/ 2 (9) dz Selon la méthode des phases , qui oscille rapidement pour les grosses bulles, est négligeable. On a donc que ψ j ( z → w, w → 0 ) = ψ j (w,0 ) = βj A1/ 2 w 1/2 . En se limitant au domaine φ − φc ∼ 0− et en introduisant 1 A une fonction d’amplitude g telle que f j (η ) = ± g (η ) , on obtient pour la fonction d’amplitude du champ diffusé : g (η ) = e kη 2 i −ψ j (w ,0 ) 4α ∫ ∞ −w e − iψ j ( z,w ) e π − i − z2 2 (10) dz Finalement, en écrivant le vecteur de Poynting et en omettant le terme de décroissance en 1/r de l’énergie, on trouve que la diffusion d’une bulle oblate ou prolate peut être décrite à l'aide des intégrales de Fresnel [2, 4, 12]: 2 2 2 w w I (θ ) ∝ ∫ cos π z 2 / 2 dz + 1/ 2 + ∫ sin π z 2 / 2 dz + 1/ 2 , 0 0 ( ) ( ) (11) Cette dernière expression dépend de m1, λ / m2 , ax , ay à travers w = −η −k / 2πα . Les extrema de I (θ ) correspondent aux franges (anneaux) brillant(e)s et sombres généré(e)s par la diffusion critique [4]. En guise d’illustration, la figure 4 compare l’évolution des diagrammes de diffusion au voisinage de l’angle critique de bulles sphéroïdales 2D (ou jets) : (a) POA-sphéroïde, (b) TLM pour un cylindre dont le rayon est égal au rayon de courbure du sphéroïde au niveau du paramètre d’impact critique. Une rotation est simulée de façon à modéliser la rotation du diffuseur ou, plus simplement, de façon à balayer différents rayons (de courbure). La figure 4 (a) compare également la position des franges principales (en bleu : POA sphéroïde ; en rouge : TLM & rayon de courbure). L’accord est globalement bon. Le décalage angulaire des franges (ou anneaux), entre POA-sphéroïde et LMT-rayon de courbure, est tout à fait comparable à ce que l’on obtient avec une sphère [2,4-5]. Il 13 ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012 ne s’agit donc pas d’un artefact du modèle introduit ici. Ce décalage indique simplement qu’il faut prendre en compte d’autres phénomènes optiques (les rayons p>1 notamment) [3,5]. 3 Tests expérimentaux Une expérience a été développée dans le but de valider le modèle précédemment établi. Celle-ci repose sur l'enregistrement et l’analyse, à l'aide d'un montage de diffraction, de la diffusion critique générée par des jets capillaires de section elliptique. Ces jets sont produits au moyen d’un capillaire de section elliptique dont l’orientation est contrôlée par un goniomètre. Le jet est luimême composé d’huile silicone (RHODORSIL® 47 V 20) injectée à ≈ 1 m/s dans de l’eau. Le reste de l’expérience : faisceau laser (source, fibre, polariseur et agrandisseur de faisceau), cuve d’analyse, système de détection (lentille de collection, filtrage spatial, diaphragme, filtre interférentiel et lentille de Fourier) et système de µvidéo (source, fibre, lentille de collimation, objectif et caméra) sont identiques à ceux décrits dans nos précédents travaux [8-9]. Une petite différence néanmoins : une lentille cylindrique est ajoutée au système d’émission CARS pour éclairer le jet avec une feuille laser ( 2ω0 z ≈ 20 µm,2ω0 y ≈ 20mm ) perpendiculaire à l’axe du jet. La figure 5 montre une photographie d’une partie du dispositif, de même que deux photographies d’un jet et de son diagramme de diffusion critique (observé sur une feuille de papier placée à cet effet devant la détection CARS). Pour un débit constant, le jet adopte une forme elliptique qui évolue axialement entre une configuration prolate et oblate. Pour pouvoir comparer les analyses µvidéo et CARS, ces systèmes n’observant pas le jet sous le même angle, il faut ajuster l’orientation du capillaire à l’aide du goniomètre. Nous notons βv cet angle ou écart angulaire, voir la figure 2. La figure 6 montre l’analyse µvidéo du profil d’un jet lorsque le grand-axe du capillaire est orienté le long ou perpendiculairement à l’axe optique du système µvidéo. On constate que l’ellipticité du jet décroit fortement en fonction de la distance axiale, avec des maxima et minima successifs (correspondants à des jets de section alternativement prolate, oblate, prolate,…). De même, en sortie immédiate du capillaire, on remarque que la très forte contraction du jet s’attenue après une à deux oscillations (la courbure locale suivant la direction axiale est beaucoup plus modérée : condition sine qua non pour valider notre modèle 2D). Nos mesures CARS (avec une feuille laser de faible hauteur) ont donc été effectuées au niveau du ventre de la deuxième oscillation. A partir des images µvidéo, on peut déterminer, pour une distance axiale et un angle d’orientation donnés : un diamètre ou plus exactement une « corde » du jet (voir la figure 2). Pour un jet de section elliptique, il existe une relation mathématique directe entre cette corde Lc et l’angle d’orientation du jet par rapport à l’axe optique des deux systèmes optiques. Celle-ci dépend également des deux extrema (grand axe et petit axe de l’ellipsoïde présupposé). La figure 7 compare l’évolution théorique de cette corde avec celle obtenue expérimentalement pour un intervalle de 0 à 180°. L’accord est plutôt bon, même si le profil du jet n’est pas parfaitement elliptique. Comme pour la figure 4 (a), la figure 8 (a) montre l’évolution simulée pour le diagramme de diffusion d’un jet en fonction de l’angle de rotation. La Error! Reference source not found. (b) montre le résultat expérimental correspondant. Si les comportements globaux sont assez similaires, nous remarquons des différences notables (surtout pour les angles intermédiaires). Nous attribuons celles-ci aux contributions des rayons p ≥ 1 qui ne sont pas prises en compte dans 13 ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012 le modèle actuel. Les écarts observés ici ne sont donc pas totalement surprenants. De nouvelles expériences sont néanmoins en cours. 4 Conclusion Nous avons présenté les premiers résultats théoriques d’un modèle permettant de décrire, dans le cadre de l’optique physique, la diffusion d’une bulle sphéroïdale 2D (elliptique) au voisinage de l’angle critique. Les résultats de ce modèle sont en bon accord avec ceux obtenus avec la théorie de Lorenz-Mie même si, pour une description plus détaillée, nous devrons à terme prendre en compte les contributions des rayons simplement ou multiplement réfractés. Les comparaisons expérimentales confirment les conclusions tirées des résultats numériques. Les auteurs tiennent à remercier pour leur soutien le « Bulgarian National Scientific Fund » via le projet DO 02-338/2008 et l’ANR pour le projet CARMINA-ANR-09-BLAN-0023-01. 5 Références [1] Fiedler-Ferrari N., Nussenzweig H.M., and Wiscombe W.J., "Theory of near-critical-angle scattering from a curved interface," Phys. Rev. A 43, 1005-1038 (1991). [2] Marston P.L., "Critical scattering angle by a bubble: physical optics approximation and observations," JOSA A 69, 1205-1211 (1979). [3] Langley D.S., and Marston P. L., "Critical scattering of laser light from bubbles in water: measurements, models, and application to sizing bubbles " Appl. Opt. 23, 1044-1054 (1984). [4] Onofri F., "Critical Angle Refractometry: for simultaneous measurement of particles in flow size and relative refractive index," Part. and Part. Syst. Charact. 13, 119-127 (1999). [5] Onofri F.R.A., Krzysiek M., Mroczka J., Ren K-F., Radev St., and Bonnet J-P., "Optical characterization of bubbly flows with a near-critical-angle scattering technique," Exp. in Fluids 47, 721-732 (2009). [6] Davis G.E., "Scattering of light by an air bubble in water," JOSA A 45, 572-581 (1955). [7] Lock J.A., "Role of the tunneling ray in near-critical-angle scattering by a dielectric sphere," JOSA A 20, 499-507 (2003). [8] Onofri F., Krzysiek M., and Mroczka J., "Critical Angle Refractometry and Sizing for Bubbly Flow Characterization," Opt. Lett. 32, 2070 (2007). [9] Onofri F.R.A., Krzysiek M.A., Barbosa S., and Mroczka J., "Critical Angle Refractometry and Sizing technique for bubbly flows characterization: Particular effects," App. Opt. 50(30) :5759-5769 (2011) [10] Grace J.R., Wairegi Т., and Nguyen Т.Н., "Shapes and velocities of single drops and bubbles moving freely through immiscible liquids," Trans. Inst. Chem. Eng. 54, 167-173 (1976). [11] Airy G. 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Fig. 3 Comparaison de la forme des fronts d’onde pour des bulles d’air dans de l’eau : oblate, prolate et sphériques Fig. 4 Simulation du diagramme de diffusion critique de bulles sphéroïdales 2D (ou jets) au voisinage de l’angle critique, en fonction de leur rayon de courbure ou de leur angle de rotation : (a) POA sphéroïde, (b) TLM pour un rayon égal au rayon de courbure critique. 13 ième Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012 Fig. 5 Dispositif expérimental et jets produits par un capillaire de diamètre interne : 1.19mm. Fig. 6 Analyse expérimentale du profil axial d’un jet suivant ses deux directions principales. Fig. 7 Comparaison de l’évolution de la corde d’un jet : modèle de jet à section elliptique et données µvidéo (Re ≈ 1000; We ≈ 15 ) . Fig. 8 (a) Comme pour la figure 5 (a) et (b) Évolution expérimentale (Re ≈ 1000; We ≈ 15 ) .