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Cartes infinies uniformes du plan
Laurent Ménard – Université Paris X
Journées MAS 2010

Définition d’une carte planaire
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ICarte planaire (finie) : plongement propre d’un graphe
connexe dans la sphère S2, à homéomorphisme conservant
l’orientation près.
ICartes enracinées : on distingue une arête orientée de la carte.
ICartes munies de la distance de graphe (modèles de géométrie
discrète).
IQn: ensemble des quadrangulations enracinées à nfaces
(faces de degré 4). D’après Tutte :
|Qn|=2
n+23nCatn.

Grandes cartes aléatoires
Considérons Mnun ensemble fini de cartes de paramètre n
(nombre de faces, sommets ...).
Soit Mnde loi uniforme sur Mn,V(Mn)l’ensemble de ses
sommets et dMnsa distance de graphe.
On renormalise dMnen dn=n−αdMn.(V(Mn),dn)est un espace
métrique aléatoire.
On cherche αde sorte à avoir la convergence en loi suivante (dans
un sens à préciser) :
(V(Mn),dn)→
n→∞ (S,d).
Isi α=0 : (S,d)espace métrique discret non compact,
Isi α > 0 : (S,d)espace métrique continu et compact.

Motivations
ICombinatoire (Tutte 60) :
Iproblèmes de dénombrement,
Ithéorème des quatre couleurs.
IPhysique théorique :
Igravité quantique (grandes cartes planaires comme modèles
simples de géométries aléatoires, cf Ambjorn, Durhuus et
Jonsson 95),
Iintégrales matricielles (’t Hooft 74, Brézin, Itzykson, Parisi,
Zuber 78).
IProbabilités
Ianalogie avec le mouvement brownien comme limite continue
de chemins discrets,
Iuniversalité (conjecturée par les physiciens),
Ienvironnements pour étudier la percolation et les marches
aléatoires.

Topologie sur les quadrangualtions
Soit q∈Qf=Sn>0Qn, on
définit pour tout R>0, BR(q):
union des faces de qayant au
moins un sommet à distance
strictement inférieure à Rde la
racine.
IExemple : B2(q).
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2
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3
4
Pour q,q0∈Qf:
d(q,q0) = 1+max{R≥0:BR(q) = BR(q0)}−1.
(Q,d): complété de (Qf,d); c’est l’ensemble des
quadrangulations enracinées localement finies (espace Polonais).