La théorie des Würfe de von Staudt Une irruption de l`algèbre dans

La théorie des Würfe de von Staudt
La théorie des Würfe de von Staudt
Une irruption de l’algèbre dans la
géométrie pure

La théorie des Würfe de von Staudt
“The analytic methods may be
introduced into geometry on a
strictly projective basis was first
shown by von Staudt.”
[Veblen-Young, 1910, I – 141]

La théorie des Würfe de von Staudt
« Une fois établie, avec la théorie de K.G. Chr. von Staudt,
l’identité de ces domaines, celui de la géométrie projective et
celui de la géométrie analytique, il y a lieu de montrer que la
notion de coordonnées, qui se trouve à la base de toutes les
considérations et de tous les calculs de la géométrie analytique,
peut aussi se définir par des considérations de géométrie pure,
indépendantes toujours des axiomes métriques, puis, en restant
dans le même ordre d’idées, d’établir les lois du calcul de ces
coordonnées. C’est là encore un problème capital […] dont
K.G.Chr. von Staudt devait enfin découvrir la solution naturelle et
définitive. »
[Schoenfliess – Tresse, Encyclopédie, art. géométrie projective, 112]

La théorie des Würfe de von Staudt
Les formes élémentaires
. Les formes fondamentales de première
espèce (ponctuelles, faisceaux de droites et de
plans)
. Les courbes du second ordre (coniques), les
faisceaux du second ordre, les surfaces
coniques
. Les surfaces réglées

La théorie des Würfe de von Staudt
Le théorème fondamental de la géométrie projective
. „Gleichwie zwei einförmige Gebilde, so sollen überhaupt zwei
Elementargebilde zu einander projektivisch heissen, wenn sie so
auf einander bezogen sind, dass je vier harmonisch liegenden
Elementen in dem einen Gebilde vier harmonisch liegende
Elemente im andern entsprechen.“ [Staudt 1856, 5]
. „Will man zwei Elementargebilde projektivisch auf einander
beziehen, so kann man zu drei Elementen des einen drei
Elemente des andern, welche jenen entsprechen sollen, nach
Belieben annehmen, wodurch aber alsdann jedem Elemente des
einem Gebildes ein Element des andern zugewiesen ist.“ [Staudt
1856, 5]