La théorie des Würfe de von Staudt Une irruption de l`algèbre dans

La théorie des Würfe de von Staudt
La théorie des Würfe de von Staudt
Une irruption de l’algèbre dans la
géométrie pure
La théorie des Würfe de von Staudt
“The analytic methods may be
introduced into geometry on a
strictly projective basis was first
shown by von Staudt.”
[Veblen-Young, 1910, I – 141]
La théorie des Würfe de von Staudt
« Une fois établie, avec la théorie de K.G. Chr. von Staudt,
l’identité de ces domaines, celui de la géométrie projective et
celui de la géométrie analytique, il y a lieu de montrer que la
notion de coordonnées, qui se trouve à la base de toutes les
considérations et de tous les calculs de la géométrie analytique,
peut aussi se définir par des considérations de géométrie pure,
indépendantes toujours des axiomes métriques, puis, en restant
dans le même ordre d’idées, d’établir les lois du calcul de ces
coordonnées. C’est là encore un problème capital […] dont
K.G.Chr. von Staudt devait enfin découvrir la solution naturelle et
définitive. »
[Schoenfliess – Tresse, Encyclopédie, art. géométrie projective, 112]
La théorie des Würfe de von Staudt
Les formes élémentaires
. Les formes fondamentales de première
espèce (ponctuelles, faisceaux de droites et de
plans)
. Les courbes du second ordre (coniques), les
faisceaux du second ordre, les surfaces
coniques
. Les surfaces réglées
La théorie des Würfe de von Staudt
Le théorème fondamental de la géométrie projective
. „Gleichwie zwei einförmige Gebilde, so sollen überhaupt zwei
Elementargebilde zu einander projektivisch heissen, wenn sie so
auf einander bezogen sind, dass je vier harmonisch liegenden
Elementen in dem einen Gebilde vier harmonisch liegende
Elemente im andern entsprechen.“ [Staudt 1856, 5]
. „Will man zwei Elementargebilde projektivisch auf einander
beziehen, so kann man zu drei Elementen des einen drei
Elemente des andern, welche jenen entsprechen sollen, nach
Belieben annehmen, wodurch aber alsdann jedem Elemente des
einem Gebildes ein Element des andern zugewiesen ist.“ [Staudt
1856, 5]
La théorie des Würfe de von Staudt
Formes en involution
„Si dans deux formes élémentaires projectives entre elles qui
sont situées l’une sur l’autre, deux quelconques éléments et
par conséquent chaque paire d’éléments homologues se
correspondent alternativement, on dit que les formes sont
en situation involutive […]. Habituellement, deux telles
formes sont considérées comme une seule forme dont les
éléments sont appariés involutivement. [Staudt1856, 44]
La théorie des Würfe de von Staudt
Involutions
. Notations : AA1 . BB1
. Les côtés d’un quadrangle plan sont coupés par une droite située
dans le même plan en une involution, deux côtés opposés sont
coupés en deux points opposés.
A
B
B’
A’
C
C’
AA’.BB’.CC’ est une involution.
La théorie des Würfe de von Staudt
Involutions
. Soit une forme involutive n’a aucun point double, soit elle en
a deux. Si elle en a deux, alors les deux points doubles
séparent harmoniquement chaque paire de points
homologues. (MM . NN. AB signifie donc que M, A, N, B est
une forme harmonique).
.
Les involutions sont conservées par les relations
projectives.
La théorie des Würfe de von Staudt
Involutions
. Une courbe du second ordre est intersectée en une involution par
un faisceau S. Le faisceau des tangentes est aussi involutif.
Chaque paire de tangentes homologues se coupent sur la polaire
a
s de S par rapport à la conique.
b
s
A’
B’
S
S
A
B
C
b
C’
AA’.BB’.CC’ est une involution
a’
aa’.bb’ est une involution
La théorie des Würfe de von Staudt
Involutions
S’il passe par S deux tangentes à la courbe, l’involution a deux
points doubles. Sinon, l’involution n’a pas de point double.
A’
B’
S
A
B
C
C’
La théorie des Würfe de von Staudt
Une propriété fondamentale
„Wenn M, A, B, A1, B1 fünf Elemente eines und desselben
einförmigen Gebildes sind, so ist entweder MM.AB1.A1B eine
Involution oder es gibt ein von M verschiedenes Element N, so
dass MN.AB1.A1B eine Involution ist. Im erstern Falle haben die
zu einander projektivischen Gebilde MAB ..., MA1B1 ... nur das
Elemente M, in letztern aber, [...] auch noch das Elemente N
entsprechend gemein.“ [Staudt 1857, 145]
La théorie des Würfe de von Staudt
Würfe
Corollaire : si M, A, A1, A2 sont quatre éléments d’une forme
uniforme, alors
- soit M, A, A1, A2 est une forme harmonique, MM.AA2.A1A1
est une involution et les formes projectives MAA1 …, MA1A2 …
n’ont qu’un élément correspondant commun,
- soit il existe un élément N différent de M tel que MN.A1A1
soit une involution et les formes projectives MAA1 …, MA1A2 …
ont aussi le point N comme élément double.
La théorie des Würfe de von Staudt
Würfe, une théorie réelle
. Un jet est la donnée de quatre éléments ordonnés d’une
même forme élémentaire.
. Deux jets ABCD et A1B1C1D1 appartenant à deux formes
élémentaires sont dits projectifs si les deux formes
élémentaires qui les contiennent sont reliées projectivement
de telle manière que A, B, C, D correspondent à A1, B1, C1, D1.
. Deux jets projectifs seront considérés comme égaux.
. ABCD = BADC = CDAB = DCBA
. ABCD est un jet harmonique si A, B, C, D est une forme
harmonique.
La théorie des Würfe de von Staudt
. Si A, B, C, D sont des éléments différents d’une même forme
élémentaire, ABCD est un jet propre.
. Trois éléments différents d’une même forme élémentaire
définissent un jet impropre.
- ABCA ou BAAC sont des jets impropres de première
espèce (désignés par 0)
- ABCB ou BABC sont des jets impropres de seconde espèce
(désignés par 1)
- ABCC ou CCAB sont des jets impropres de troisième
espèce (désignés par ∞)
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
.Soit une forme élémentaire et A, B, C trois éléments de cette
forme.
.Soit deux jets U et U1 et D, D1 les deux éléments de la forme
tels que ABCD = U et ABCD1 = U1.
.Soit le point S défini comme correspondant à A dans
l’involution CC.DD1.
.Par définition,
ABCS = ABCD + ABCD1 = U + U1.
La théorie des Würfe de von Staudt
B
A
C
D
S
D1
La théorie des Würfe de von Staudt
„Durch drei Elemente A, B, C eines Elementargebildes und zwei
Würfe U, U1 sind drei Elemente D, D1, S des Gebildes bestimmt,
so dass nämlich ABCD = U, ABCD1 = U1, und in dem
involutorischen Gebilde CC.DD1 … dem Elemente A das
Elemente S zugeordnet ist. Des Wurf ABCS, welcher auf diese
Weise durch die Würfe U, U1 bestimmt ist, soll ihre Summe
heissen, und diess durch ABCS = U + U1 ausgedrückt werden.“
[Staudt 1857, 167]
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
• La somme U + U1 ainsi définie ne dépend pas des points A, B,
C, ni de la forme élémentaire.
• La somme est commutative.
• Si D coïncide avec A, alors S coïncide avec D1.
“Wenn also der eine von zwei Würfen = 0 ist, so ist ihre
Summe dem andern gleich.“ [Staudt 1857, 167].
• Possibilité de faire la somme de m jets, d’où le problème de
l’associativité.
La théorie des Würfe de von Staudt
Une démonstration en trois temps :
1. Si un des trois jets est impropre de première espèce (= 0), alors :
(U + U1) + U2 = (U + U2) + U1
2. Si U1 = U2, alors (U + U1) + U2 = (U + U2) + U1
3. Dans le cas général (puisque U1 ≠ U2), soit A, B, C, D1, D2, P, Q tels que ABCD =
U, ABCD1 = U1, ABCD2 = U2, ABCP = U + U1, ABCQ = U + U2.
Alors C, D1, D2, P, Q appartiennent à une même forme élémentaire et la relation
projection projective entre CD1P … et CD2Q … n’a qu’un seul point invariant
(puisque U1 ≠ U2).
Donc CC.D1Q.D2P est une involution, d’où
ABCQ + ABCD1 = ABCP + ABCD2
soit,
(U +U2) + U1 = (U + U1) + U2.
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
L’addition est donc régulière : si U1 + U2 = V1 + V2 et U1 = V1,
alors
U2 = V2.
.La somme ABCD + BACD est un jet de seconde espèce ( = 1).
.Un lemme important : soit une involution CC.BD.AE et un
élément P appartenant à une même forme élémentaire alors
ABCP +EDCP = ABCE = EDCA
ABCP = DECP + ABCD = DECP + EDCB.
La théorie des Würfe de von Staudt
P
A
C
B
P’
E
D
ABCP+EDCP=ABCP+ABCP’=ABCE
CC.BD.AE est une involution donc les systèmes projectifs CAB… et CDE… n’ont
qu’un seul point double. Soit N l’homologue de P dans cette projectivité alors
ABCN = DECP et CC.DN.PA est une involution. D’où ABCD + ABCN = ABCP.
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
. Deux éléments dont la somme est égale à 0 (est un jet
impropre de première espèce) sont dits opposés.
. Si CC.BD.AE, ABCA = 0 = DECA + EDCB
. Si ABCD est un jet harmonique et P un élément quelconque
de la forme élémentaire, ABCA = 0 = ABCP + ADCP.
. Un jet harmonique ABCD est donc opposé au jet impropre de
seconde espèce ( = 1).
. Si les jets U,V sont opposés aux jets U1, V1 et si U + V = W,
alors U = W + V1 et V = W + U1.
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
Comme l’addition des jets est régulière, on peut définir grâce à
elle, des relations projectives : soit E, D, C, A des éléments d’une
forme élémentaire g, A1, B1, C1 d’une forme élémentaire g1, et U
un jet tels que EDCA = U.
La correspondance qui associe deux éléments P et P1 de g et g1
lorsque EDCP + A1B1C1P1 = U est projective.
Si F est un élément de g tel que EDCF est un jet harmonique,
alors A1B1C1P1 = U + EFCP.
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
. La somme de m jets tous égaux à U est notée mU.
. m(U + U1) = mU + mU1, (m + n)U = mU + nU.
. Si U = U1, alors mU = mU1, si U = 0, alors mU = 0, si U et U1
sont opposés, alors mU et mU1 sont opposés.
. Trois éléments (réels) C, A, A1 d’une forme élémentaire
(réelle) g définissent dans celle-ci une suite C, A, A1, A2, A3,
A4, … d’éléments (réels) telle que CAA1A2, CA1A2A3, CA2A3A4,
etc. soient des jets harmoniques. Alors si B est un élément
différent de A, alors ABCAm = m (ABCA1).
La théorie des Würfe de von Staudt
Somme de jets
. Réciproquement, si l’élément B vérifie ABCA1 = U, alors
ABCAm = mU.
. Donc, si U1 ≠ U2, alors mU1 ≠ mU2.
. Si V = mU = 0, alors U = 0
. Le jet AA1CAm est égal à m fois le jet impropre 1, le jet
impropre 1 est égal à m fois le jet AAmCA1.
La théorie des Würfe de von Staudt
Produit de jets
. Soit M, A, N, A1, A2 des éléments d’une forme élémentaire,
deux jets U, U1 (dont aucun n’est un jet impropre de
première ou troisième espèce) tels que MANA1 = U et
MA1NA2 = U1. Le jet MANA2 ainsi défini par U et U1 est
« appelé le produit de ceux-ci et sera désigné par UU1 ».
. Indépendance par rapport aux représentants choisis.
. Si MN.AD.BC est une involution alors
(MANB) (MANC) = MAND
La théorie des Würfe de von Staudt
B
A
M
D
N
(MANB).(MANC)=MAND
C
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅
Commutativité : UU1 = U1U.
⋅
Elément neutre : Si U = MANA=1, U1 = MANA2, alors UU1 =
(MANA) (MANA2) = MANA2 = U1.
⋅
Généralisation : M, A, N, A1, A2, A3, …, Am des éléments d’une
forme élémentaire et U, U1, U2, … Um–1 m jets tels que, pour
tout k :
⋅ MANA1 = U et MAkNAk+1 = Uk.
⋅ Le jet MANAm, ainsi défini par les jets U, U1, …, Um–1,
s’appellera le produit de ces jets.
⋅ Problème de l’associativité : MANAr+2 = (MANAr) (MArNAr+2).
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Dès qu’il est question de somme et de produit, les jets
impropre de troisième espèce (= ∞) sont exclus.
⋅ Par contre, si un des facteurs d’un produit est un jet
impropre de première espèce (= 0), alors le produit est luimême égal à un tel jet.
⋅ Si le produit de deux jets est égal à un jet impropre de
seconde espèce (= 1), alors ceux-ci sont dits inverses.
⋅ Si U = MANA1, alors son inverse est égal à MA1NA = NAMA1.
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Si un jet MANA1 est égal à son inverse, alors soit c’est un jet
impropre de seconde espèce (= 1), soit c’est un jet
harmonique.
⋅ Si V1 est l’inverse de U1, V2 celui de U2 et U = U1U2, alors UV1
= U2 et UV2 = U1.
⋅ Deux jets U, U1 dont le second n’est pas égal à un jet de
première espèce (≠ 0) définissent un troisième jet U2 tel que
U = U1U2.
⋅ Si le jet U1 qui n’est pas égal à 0, est égal au jet W1 et si le jet
U1U2 est égal à W1W2, alors U2 = W2.
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Si ABCAm = m ABCA1, alors (ABCA1) (AA1CAm) = ABCAm où
AA1CAm = m AA1CA1 = m 1.
⋅ Distributivité : Si U, U1, V, V1, V2 sont des jets quelconques
alors
U (V+V1) = UV +UV1, U (V+V1+V2) = UV +UV1 +UV2,
(U + U1) (V + V1) = UV + UV1 + U1V +U1V1.
⋅ Définition d’une relation projective à l’aide du produit de jets :
Soit A, B, C, D des éléments de g, A1, B1, C1 des éléments de g1
et soit U = ABCD (U ≠ 0), alors la correspondance qui associe P
et P1 tels que (CDAP) (A1B1C1P1) = U ou A1B1C1P1 = U (ADCP)
est projective.
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Résolution des équations du second degré
Deux jets U, V définissent deux jets ABCP et ABCQ tels que :
U = ABCP + ABCQ et V = (ABCP) (ABCQ).
On se place sur une courbe de second ordre. Soit U = ABCD, V
= ABCE ; on note F l’intersection de la tangente en C et de AD,
et G celle de AC et BE. La droite FG coupe la courbe en P et Q.
Alors P et Q sont associés dans l’involution CC.AD et donc
ABCP + ABCQ = ABCD = U. De même, P et Q sont associés
dans l’involution AC.BE et donc (ABCP) (ABCQ) = ABCE = V.
La théorie des Würfe de von Staudt
P
E
A
G
B
Q
D
F
C
La théorie des Würfe de von Staudt
La valeur des würfe dans une annexe :
⋅ Le sens des formes : trois éléments A, B, C d’une forme fermée
constituée d’une suite continue de points, de droites ou de plans
déterminent une partie de celle-ci qui débute en A, contient B et
se termine en C.
⋅ Ce qui permet de définir le sens ABC et le sens contraire BAC
comme sens de parcours de la forme fermée.
⋅ Soit U un jet et A, B deux points propres d’une droite, C le point à
l’infini de la droite AB et D le point de la droite tel que U = ABCD.
Alors le quotient AD/AB est défini comme positif ou négatif selon
que les segments finis AB et AD sont de même sens ou de sens
contraire.
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ La valeur ainsi signée du quotient AD/AB est définie comme la
valeur du jet ABCD = U.
⋅ Si abcd est un jet propre, sa valeur est :
⋅ négative, si ac est séparé par bd,
⋅ positive < 1, si ab est séparé par dc,
⋅ positive > 1, si ad est séparé par bc.
⋅ Si abcd est un jet impropre, sa valeur est
⋅ = 0, si D et A sont confondus,
⋅ = 1, si D et B sont confondus,
⋅ = ∞, si D et C sont confondus.
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ La valeur ne dépend pas du choix du représentant :
Soit A1, B1 deux points propres de la droite A1B1, C1 le point à
l’infini de A1B1, et D1 un point de la droite A1B1 tel que
A1B1C1D1 = ABCD. Les ponctuelles AB et A1B1 sont semblables
(projectives telle que les points à l’infini se correspondent) et
donc
AD/AB = A1D1/A1B1
⋅ Deux jets propres ont même valeur ou des valeurs
différentes selon qu’ils sont ou non projectifs.
La théorie des Würfe de von Staudt
La valeur d’une somme de jets est égale à la somme des
valeurs des jets.
⋅ La valeur d’un produit de jets est égale au produit des
valeurs des jets.
⋅ Un lien explicite entre les jets et les birapports :
⋅ Soit A, B, C, D quatre points propres d’une ponctuelle. Alors,
(AD/AB).(CB/CD) est la valeur du jet ABCD.
⋅ Si un des points est situé à l’infini, le théorème reste valable.
Par exemple, si B est à l’infini, AD/CD est la valeur de DCBA =
ABCD.
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Si a, b, c, d sont quatre droites (réelles) coplanaires et
concourantes en un point S, alors la valeur du jet abcd est
égale à
± (sin ad . sin cb)/(sin ab . sin cd)
selon que les droites a, c sont ou ne sont pas séparées par les
droites b, d.
⋅ La valeur d’un jet harmonique est égale à –1.
⋅ Si la valeur d’un jet U est égal à u, alors la valeur du jet –U (le
jet opposé à U qui est égal au produit du jet U par le jet –1 )
est égale à –u.
La théorie des Würfe de von Staudt
Les coordonnées enfin …
La notion de valeur d’un jet permet de définir celle
d’abscisse d’un élément dans une forme élémentaire :
⋅ Soit A, B, C trois éléments d’une forme élémentaire.
L’abscisse d’un point P quelconque de la forme sera définie
par la valeur du jet ABCP.
⋅ Les abscisses respectives de A, B, C sont 0, 1, ∞.
⋅ La donnée de trois éléments (ordonnés) d’une forme
élémentaire définit sur celle-ci un système d’abscisses
(Abscissensystem) (A, B, C).
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Si x est l’abscisse d’un élément P par rapport au repère (A, B,
C), alors l’abscisse de ce point est 1 – x par rapport au
système d’abscisses (B, A, C) et 1/x par rapport au système
d’abscisses (C, B, A).
⋅ Si P, P1, P2, P3 sont quatre éléments d’une forme élémentaire
d’abscisses x, x1, x2, x3 par rapport à un même repère, alors la
valeur du jet PP1P2P3 est égale à :
x−x x −x
.
x−x x −x
3
2
1
1
2
3
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Changement de systèmes d’abscisses :
Soit deux systèmes d’abscisses (A, B, C) et (E, F, G), soit x
l’abscisse de P par rapport à (A, B, C) et y l’abscisse de P par
rapport à (E, F, G).
Alors si e, f, g désignent les abscisses de E, F, G dans le
système (A, B, C) et si a, b, c désignent les abscisses de A, B, C
dans le système (E, F, G) alors
f − g x−e
b−c y−a
y=
.
et x =
.
f −e x− g
b−a y−c
La théorie des Würfe de von Staudt
• Plus généralement, trois éléments E, F, G d’une forme
élémentaire et trois nombres e, f, g définissent un système
d’abscisse par rapport auquel les abscisses respectives de E,
F, G sont e, f, g.
• Si P est un élément quelconque de la forme d’abscisse par
rapport à ce repère égale à x et si la valeur de EFGP est y
alors
f − g x−e
gy ( f − e) − e( f − g )
y=
.
et x =
f −e x− g
( f − e) y − ( f − g )
La théorie des Würfe de von Staudt
⋅ Expression analytique des relations projectives :
Soit (A, B, C) un repère d’une forme élémentaire g, et (E1, F1,
G1) un repère d’une forme g1. Soit x l’abscisse d’un élément
P, x1 celle d’un élément P1.
Si on considère comme correspondants P et P1 lorsque
axx1 – bx – gx1 – d = 0,
et si a, b, g, d vérifient ad – bg ≠ 0, alors la relation ainsi
définie entre les deux formes est projective.
Et réciproquement …