Géométrie: définitions

Géométrie: définitions
La droite est une succession illimitée de points
(AB)
∆
dans les 2 sens. Elle n’a donc ni point de départ, ni
point d’arrivée.
La demi-droite est une succession illimitée de
points dans un sens, avec un point de départ.
[AB)
A
B
Le segment est une portion de droite ayant un point
de départ et un point d'arrivée.
[AB]
A
B
La bissectrice est une demi-droite qui partage un
angle en deux parties égales.
C'est également l'axe de symétrie de cet angle.
2
A
P
1
Tout point de la bissectrice est à égale distance des
côtés de cet angle.
Le point de concours des trois bissectrices
d’un triangle est le centre du cercle inscrit à ce triangle.
Le point de concours des trois bissectrices est toujours à l’intérieur du triangle (cercle inscrit).
La médiane est un segment abaissé du sommet
d'un triangle sur le milieu du côté opposé.
C
AI = IB
A
B
I
le point de concours des trois médianes d’un
triangle, est le centre de gravité de ce triangle.
Le centre de gravité d’un triangle est situé aux deux
tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Le point de concours des trois médianes est toujours
à l’intérieur du triangle (centre de gravité).
Dans un triangle rectangle, la médiane à l'hypoténuse vaut la moitié de l'hypoténuse; cette dernière est également le diamètre du cercle circonscrit.
Théorème direct :
- le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce triangle ;
- le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois
sommets du triangle.
C
CG = 2/3 CM
GM = 1/3 CM
CG = 2 GM
2/3
1/3
A
AO = médiane
AO = rayon
BC = diamètre
OA = OB = OC
OA = BC/2
G
B
M
A
B
O
C
Réciproque :
- si un triangle est inscrit dans un cercle en ayant un
diamètre du cercle pour côté, alors ce triangle est
rectangle ;
- dans un triangle, si le milieu d’un côté est équidistant des trois sommets, alors ce triangle est rectangle.
05.10.06
Définitions importantes, v2.0
1/5
La médiatrice est une droite abaissée perpendiculairement au milieu d'un segment.
A
M = 90°
B
M
AM = MB
Tout point de la médiatrice d’un segment est à
M
égale distance des extrémités de ce segment.
MA = MB
AO = BO
A
B
O
Réciproque : si un point est à égale distance des
extrémités d’un segment, il est alors sur la médiatrice
de ce segment.
Le point de concours des trois médiatrices
d’un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce
triangle.
Dans un triangle rectangle, le point de concours
des trois médiatrices est sur le milieu de l’hypoténuse
(qui est également le diamètre du cercle circonscrit.
Dans un triangle, la hauteur est un segment abaissé d’un sommet, perpendiculairement sur le côté opposé ou son prolongement.
=
h
×
B
h
B
Le point de concours des trois hauteurs d’un
triangle est l’orthocentre de ce triangle.
Ce point de concours est :
-
à l’intérieur du triangle si les 3 angles de celui-ci
sont aigus ;
sur le sommet de l’angle droit du triangle rectangle ;
à l’extérieur du triangle si l’un de ses angles est
obtus.
A
Hauteurs abaissées
de A et de B
B
C
La distance la plus courte d’un point à un autre
A
est la droite passant par ces 2 points.
∆
B
La distance la plus courte d’un point à une droite
est la perpendiculaire abaissée du point sur cette
droite.
05.10.06
Définitions importantes, v2.0
A
∆
2/5
Un angle aigu est un angle plus petit que 90°.
A
Un angle obtus est un angle plus grand que 90°.
A
Un angle droit est un angle de 90°.
A
Un angle plat est un angle de 180°.
A
Deux angles dont la somme est de 90° sont complémentaires.
D
C
A
B
Deux angles dont la somme est de 180° sont supplémentaires.
C
D
B
A
Si les 2 droites D1 et D2 sont parallèles, alors les 2
angles alternes-internes sont égaux.
B
Réciproque : si deux angles alternes-internes sont
égaux, alors les 2 droites D1 et D2 sont parallèles.
D1
D2
A
Si les 2 droites D1 et D2 sont parallèles, alors les 2
angles correspondants sont égaux.
B
Réciproque : si deux angles correspondants sont
égaux, alors les 2 droites D1 et D2 sont parallèles.
D1
D2
A
Deux angles opposés par le sommet sont
égaux.
Ils ont même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
A
Deux angles adjacents ont:
-
même sommet
et un côté commun et
sont sur le même plan
A
Un triangle est une figure géométrique fermée à
trois côtés et dont la somme des angles est de 180°.
05.10.06
Définitions importantes, v2.0
3/5
Tout côté d’un triangle doit être plus petit que la
somme des 2 autres.
C
Pratiquement, le plus grand côté d’un triangle est
plus petit que la somme des 2 autres
A
B
AB < AC + BC
AB < AC + BC
Tout côté d’un triangle doit être plus grand que la différence des 2 autres.
C
Pratiquement, le plus petit côté d’un triangle est plus
grand que la différence des 2 autres
B
A
AB > BC – AC
AB > BC – AC
C
Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle de 90° et donc deux côtés perpendiculaires.
Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse.
A
B
Un triangle isocèle est un triangle dont les deux
A
angles à la base sont égaux.
Les 2 côtés formant le 3
ème
angle sont égaux.
ème
La bissectrice du 3
angle est également médiane,
médiatrice et hauteur du côté opposé, ainsi qu'axe de
symétrie du triangle.
C
Un triangle équilatéral est un triangle ayant ses
trois angles égaux (3x 60°) et ses trois côtés égaux.
B
A
Les 3 bissectrices sont également médianes, médiatrices et hauteurs des côtés opposés, ainsi qu'axes
de symétrie du triangle.
C
B
Un quadrilatère est une figure géométrique fermée
quelconque à 4 côtés.
La somme des angles est de 360°
Avec un quadrilatère, on peut former 2 triangles
quelconques (2 x 180°).
Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés opposés (la petite et la grande bases) sont parallèles.
b
Le trapèze rectangle est un trapèze dont deux angles
consécutifs valent 90°.
Le trapèze isocèle a ses 2 côtés non parallèles
égaux : les angles à la base sont égaux 2 par 2.
B
= + ×
Le parallélogramme est un quadrilatère dont les
côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Les angles opposés sont égaux.
Deux angles consécutifs valent 180°.
Ses diagonales se coupent en leur milieu.
05.10.06
Définitions importantes, v2.0
h
= ×
b
4/5
Le rectangle est un parallélogramme dont les 4
angles valent chacun 90°.
= ×
b
Ses diagonales sont de même longueur.
Il a 2 axes de symétrie (les médiatrices des côtés)
l
Le losange est un parallélogramme dont les 4 côtés sont égaux.
D
Ses diagonales sont perpendiculaires et sont les 2
axes de symétrie.
d
=
×
Le carré est un parallélogramme dont les 4 côtés
sont égaux. Les 4 angles valent chacun 90°.
c
Il reprend les caractéristiques du rectangle et du losange.
=
c
La circonférence est une courbe plane et fermée
E
Arc
dont tous les points sont équidistants d’un point intérieur appelé centre. Cette distance est le rayon du
cercle (OM).
C
Flèche
M
F
Rayon
La corde est un segment reliant deux points de la
Corde
D
circonférence (CD).
Le diamètre est la plus grande corde du cercle
O
A
Diamètre
B
(AB).
Un arc est une portion de cercle délimitée par une
corde (CED).
La flèche représente la distance de la corde à l’arc
G
(EF).
Un triangle rectangle ayant pour hypoténuse le diaème
sommet (G) sur le cermètre d’un cercle a son 3
cle.
C = 2πR = πD
A = πR = πD /4
Une droite n’ayant aucun point de contact avec
un cercle est une droite quelconque.
2
2
Sécante
B
Une droite ayant 1 seul point de contact A avec
un cercle est une tangente.
Elle forme un angle de 90° avec le rayon du cercle.
C
r
Une droite ayant 2 points de contact B et C avec
un cercle est une sécante.
A
Droite quelconque
Tangente
05.10.06
Définitions importantes, v2.0
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