Diviser pour régner

Algorithmique et Complexit´ e
4. Strat´ egie I : Diviser pour R´ egner et Tri
4.1 Diviser pour R´ egner
Nicole Bidoit
Universit´ e Paris XI, Orsay
Ann´ ee Universitaire 2008–2009
1

Diviser pour r´ egner
De l’adage politique divide ut imperes ` a une strat´ egie fondamentale de l’algorithmique
R´ esoudre le probl` eme Ppar un algorithme Aqui, pour chaque instance Ide taille n
1. coupe l’instance Ien 2(ou plus!) instances I1et I2
2.r´
esoud le probl` eme Ppour I1et I2avec l’algorithme A
3. compose les solutions P(I1)et P(I2)pour produire la solution P(I).
”Diviser pour r´ egner” versus ”algorithme r´ ecursif”
complexit´ e: Diviser pour gagner en temps
֒→Exploiter les propri´ et´ es des sous-instances
֒→Bien ”couper” (sans que ce soit compliqu´ e)
֒→Composition facile
De nombreux exemples :
la recherche, le tri,
exponentiation (calcul de an)
la multiplication d’entiers, de matrices, de polynˆ omes
enveloppe convexe de points, diagramme de Vorono¨ı ...
2 Strat´ egies algorithmiques

Diviser pour r´ egner
Recherche dichotomique Binary Search
Entr´ ee : un tableau Ttri´ eet un ´ el´ ement e
1. Couper le tableau T[1..n]en 2: T[1..⌊n
2⌋]et T[⌊n 2⌋+1..n]
2. Chercher edans les 2 sous instances
(-: la recherche est triviale pour une des deux sous-instances ! ←− le gain est l` a
3. eest trouv´ e dans Tsi il est trouv´ e dans l’une des deux sous-instances.
Recherche dans une liste contigu¨ e non tri´ ee
mˆ eme strat´ egie que ci-dessus ←− aucun gain
Recherche d’un ´ el´ ement majoritaire (Exercice)
Soit T[1..n]un tableau repr´ esentant une liste d’´ el´ ements de taille n.
Un ´ el´ ement ede Test majoritaire si l’ensemble {i|T[i]=e}est de cardinalit´ e
strictement sup´ erieure ` an
2.
Proposer un algorithme simple ; analyser sa complexit´ e ?
Proposer un algorithme ”diviser pour r´ egner” ; analyser sa complexit´ e ?
3 Strat´ egies algorithmiques

Diviser pour r´ egner
Tri fusion Merge Sort
Entr´ ee : tableau Trepr´ esentant un ensemble d´ el´ ements muni d’un ordre
1. Couper le tableau T[1..n]en 2 : T[1..⌊n
2⌋]et T[⌊n 2⌋+1..n]
2. Trier chacune des 2 sous instances avec la mˆ eme m´ ethode
3. Tri(T) est la fusion des deux sous-instances tri´ ees.
la fusion intercale les ´ el´ ements des deux tableaux
Tri rapide Quicksort
Entr´ ee : tableau Trepr´ esentant un ensemble d’´ el´ ements muni d’un ordre
1. Couper le tableau T[1..n]en 2 en utilisant un ´ el´ ement pivot T[k]
tous les edans T[1..m]sont ≤au pivot et tous les edans T[m+1..n]sont >au pivot
2. Trier chacune des 2 sous instances avec la mˆ eme m´ ethode
3. Tri(T) est la concat´ enation des deux sous-instances tri´ ees.
Le gain d´ epend du choix du pivot
Le cas le meilleur (Exercice)
Le cas le pire (Exercice)
4 Strat´ egies algorithmiques

Diviser pour r´ egner – Produit de Matrices
Cas des matrices 2×2
M´ ethode classique.
a b
c d
e f
g h
=
ae+bg af+bh
ce+dg cf+dh
8 multiplications
4 additions
Algorithme de Strassen.
a b
c d
e f
g h
=
r s
t u
p1=a(f−h)
p2= (a+b)h
p3= (c+d)e
p4=d(g−e)
p5= (a+d)(e+h)
p6= (b−d)(g+h)
p7= (a−c)(e+f)
et donc r=p5+p4−p2+p6
s=p1+p2
t=p3+p4
u=p5+p1−p3+p7
7 multiplications
18 additions
Strassen est meilleur, en terme de nombre de multiplications ...
5 Strat´ egies algorithmiques