architecture du théorème de Pythagore

Une plongée sous le théorème de Pythagore, à la découverte de la structure qui le porte.
Mon but n'est pas ici de démontrer le théorème de Pythagore, mais de le démonter... Ou, si vous le préférez, de le
déconstruire, de le détricoter : de redescendre aux quatre théorèmes dont il est directement issu, puis aux théorèmes
dont ces quatre-là sont, à leur tour, issus, etc.
Jusqu'à atteindre les axiomes... Ou plus exactement, ici, les « métaxiomes », puisque l'architecture que je déconstruis
est celle de l'axiomatique simplifiée du livre «... Donc, d'après... ».
Pourquoi ce jeu de déconstruction ?
Peut-être pour rappeler qu'un théorème ne vient pas du néant, qu'il a sa place dans une arborescence... Tout comme
chacun de nos cours a sa place dans la progression que nous concevons pour chaque nouvelle rentrée.
Et peut-être parce qu’une meilleure vision de cette arborescence pourrait nous aider à mieux concevoir ladite
progression !
Bien évidemment, cela ne veut absolument pas dire que, pour bien enseigner au collège, nous devrions parfaitement
maîtriser l'arborescence des 205 théorèmes que j'ai démontrés dans le livre : l'architecture du théorème de Pythagore
- qui ne met en scène que 30 théorèmes - m'a occupé pendant presque une semaine... Et je ne suis pas du tout certain
de pouvoir un jour vous présenter l'arborescence générale : elle apparaît évidemment en creux dans le livre, mais je
n'ai jamais tenté de la dessiner.
En revanche, il me semble qu'avoir en tête une idée approximative de l'axiomatique qui sous-tend la géométrie que
nous enseignons ne peut qu'être bénéfique. Tout comme il peut nous être utile de maîtriser la démonstration d'un
certain nombre de théorèmes que nous ne ferons pourtant que citer en classe, sans jamais les y démontrer !
(Un certain nombre : pour ma part, j'ai bien peur d'être incapable de retrouver de mémoire les démonstrations de la
majorité des 205 théorèmes du livre... Et pourtant, je les ai bien rédigées !)
Les numéros que j'utilise pour les théorèmes et les métaxiomes, dans l'architecture de la page suivante, sont ceux que
je leur ai attribués dans le livre : pour qu'il ne vous soit pas nécessaire de le consulter, je les ai « copiés - collés » sur
deux pages, à la suite de l'architecture. Et non, je ne suis tout de même pas allé jusqu'à « copier - coller » également
leurs démonstrations  !
J'en profite pour vous rappeler l'existence d’un feuillet de quatre pages, listant les principaux théorèmes du livre,
également publié sous licence « Creative Commons », et que vous pouvez distribuer à vos élèves de troisième (voire de
quatrième). Vous le trouverez sur http://mathemagique.com/complements.html , en cliquant sur « côté profs : servez-
vous »… Ou en(re)lisant l'article que je lui ai consacré, ici :
http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/02/special-profs-petit-memento-des.html .
Merci de l'intérêt que vous portez à mon travail,
à bientôt ?
Philippe Colliard
P.S. : pour que l'architecture soit complète, j'aurais dû y faire figurer les définitions invoquées par les théorèmes et
les métaxiomes concernés... Mais là, ça devenait vraiment illisible !
Publié sous licence
Creative Commons France
Certains droits réservés.
Philippe Colliard
http://www.mathemagique.com
septembre 2014

Une première approche de l’architecture.
Mon idée était de répertorier les théorèmes et les métaxiomes sur lesquels s'appuyait directement le théorème de
Pythagore - en quelque sorte son « premier cercle »... Puis de répertorier les théorèmes et les métaxiomes sur lesquels
s'appuyait chacun des théorèmes du premier cercle (le « deuxième cercle »). Etc. Jusqu'à épuisement.
Puis d'en construire une arborescence.
La première partie n'était pas trop difficile... L'arborescence, un peu plus !
Première partie : les « cercles »
Théorème de Pythagore
1er cercle :
2ème cercle :
3ème cercle :
4ème cercle :
5ème cercle :
6ème cercle :
7ème cercle :
S’appuie directement sur :
théorèmes
métaxiomes
T-158
41
105
133
134
8
9
15
41
30
105
10
101
133
37
41
105
phy3
134
104
114
15
10
9
15
30
29
8
101
24
95
8
37
5
35
36
1
(41)
104
24
(105)
114
103
113
14
5
9
9
24
15
17
23
9
29
15
18
23
24
8
35
29
8
36
phy7
95
11
13
103
101
113
104
105
11
8
10
13
11
15
14
17
4
15
18
10
13
14
15
16
13
14
23
14
15
(24)
(29)
(10)
(104)
(105)
4
3
8
10
11
(10)
(11)
(13)
14
11
(15)
16
1
15
2
3
1
1
(11)
(15)

Deuxième partie : l’arborescence
Dans cette arborescence (page suivante), vous remarquerez vraisemblablement une rareté : le théorème T-9.
C'est un théorème « orphelin » : il semble ne s'appuyer sur rien - ni autre théorème, ni métaxiome !
C'est évidemment impossible.
En réalité, comme je l'ai écrit en P.-S. de l'introduction, pour que l'architecture soit complète, j'aurais dû y faire figurer
les définitions invoquées par les théorèmes et les métaxiomes concernés...
Manque de chance, il se trouve que T-9 s’appuie sur une définition (D-57) et sur des théorèmes numériques (portant
sur la structure de groupe de ( R,+) )... Donc "hors-cadre".
Pour me faire pardonner, voici, en prime, un éclairage de T-9 :
« … Donc, d’après… », p. 80 :
D-57 Angles supplémentaires : 2 angles adjacents qui, à eux deux, forment un angle plat.
... Puis, par abus de langage, 2 angles,
même non adjacents, dont la somme des mesures vaut 180°.
« … Donc, d’après… », p. 89 - 90 :
D-65 Demi-droites opposées : deux demi-droites adjacentes d'une même droite.
[BP) et [BA) sont opposées.
Et voici maintenant une première définition, restreinte à des angles non nuls et strictement inférieurs à l'angle plat, de
deux angles opposés par le sommet. Cette définition va me permettre de mettre en évidence une propriété de la
symétrie centrale... Puis la symétrie centrale, à son tour, me permettra de rédiger une définition générale de deux
angles opposés par le sommet (générale parce qu'elle s'appliquera à tous les angles).
D-66 Angles opposés par le sommet (définition restreinte) :
deux angles, strictement compris entre l'angle nul et l'angle plat,
tels que chaque côté de l'un des angles soit opposé à un côté de l'autre angle.
P
B
A
P
B
A
Mais M’sieur,
vous avez dit qu'un angle,
c'était une surface...
« Compris entre », c'est pas
pour des nombres ?
A1 et A3 sont opposés par le sommet,
A2 et A4 le sont également.
A1
A2
A3
A4
Bon, d'accord... Tu marques un point ! J'aurais dû écrire : « dont l’écart
angulaire est strictement compris entre celui d'un angle nul et celui d'un
angle plat »... J'ai fait un « abus de langage ». C’est parfois acceptable :
lorsque tout le monde comprend, comme toi, qu’il s’agit d’un abus de
langage, pour alléger une expression. Mais il ne faut pas en … Abuser. 

Deux remarques rapides, et puis un théorème - très simple, mais bien utile. Tu t'en rendras bientôt compte !
Première remarque : puisque deux demi-droites opposées ont la même origine,
deux angles opposés par le sommet ont le même sommet.
Deuxième remarque : puisque deux droites sécantes définissent un plan unique,
deux angles opposés par le sommet sont coplanaires.
Et le théorème promis :
T-9 Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure
Démonstration, pour les angles A1 et A3 du dessin précédent :
A1 et A4 sont supplémentaires.
Mais A3 et A4 le sont également, donc A1 = A3 … Et c’est fini 
(Tu as bien sûr remarqué qu'avant « donc », je parle des angles... Et qu’après, je parle de leurs mesures !)
Voilà. Maintenant, il me semble que vous êtes armés pour affronter l'arborescence. Je vous rappelle que vous trouverez
les énoncés des théorèmes et des métaxiomes impliqués dans les deux pages qui la suivent.
Je vous conseille, si cela vous est possible, d'imprimer l'arborescence.
Bonne lecture - et courage !
Pas de panique  … J’ai peut-être été un peu rapide.
Appelle a1 l’écart angulaire de A1, en degrés,
a3 celui de A3 et a4 celui de A4 :
A1 et A4 sont supplémentaires donc a1 + a4 = 180
A3 et A4 sont supplémentaires donc a3 + a4 = 180
Mais alors : a1 + a4 = a3 + a4
a1 + a4 – a4 = a3 + a4 – a4
a1 = a3
Eh, pas d’accord ! Comment
ça, c’est fini ???
Je ne comprends pas !

T-133 T-134
T-114
T-113
T-105 T-104 T-103
T-101
T-95
T-41 T-37
T-30 T-35 T-36
T-29
T-24
T-18 T-17 T-23
T-16
T-15
T-14
T-13
T-11
T-10
T-1 T-4 T-9 T-8 T-5
M-1
M-2
M-3
M-8
M-9
M-10
M-11
M-13
M-14
M-15
Mphy-3
Une architecture du théorème de Pythagore (T-158)
en bleu : l'enchaînement des théorèmes utilisés
en rouge : les métaxiomes utilisés
La nomenclature est celle du livre "... Donc, d'après..."
T-158
: utilise...
: connecteurs
Mphy-7