Aide-mémoire

269
Aide-mémoire
Dans un nombre décimal, on appelle :
– partie entière le nombre à gauche de la virgule.
– partie décimale le nombre à droite de la virgule.
Exemple
3,75 est l’écriture décimale du quotient de 15 par 4.
D1
Dans une suite de calculs avec parenthèses, on effectue en
priorité les calculs placés dans les parenthèses en commençant
par les parenthèses les plus intérieures.
Exemple
A = 5 ¥(5 – (3 + 4))
= 5 ¥(5 – 7)= 5 ¥(– 2) = – 10
À un rang donné (à l’unité, au dixième, au centième,…), la
valeur approchée d’un nombre :
– par défaut est le nombre immédiatement inférieur ;
– par excès est le nombre immédiatement supérieur.
Exemples
Pour le quotient 19 : 35 ª0,542857142…
•la valeur approchée par défaut au centième est 0,54 ;
•la valeur approchée par excès au centième est 0,55.
D2
Pour un nombre positif, on appelle troncature sa valeur
approchée par défaut.
Exemple
La troncature au millième du quotient de 19 par 35 est
0,542.
D3
À un rang donné, l’arrondi d’un nombre est la valeur appro-
chée par excès ou par défaut la plus proche de ce nombre.
Si deux valeurs sont aussi proches, l’arrondi est, par conven-
tion, la valeur approchée par excès.
Exemple
L’arrondi au millième du quotient de 19 par 35 est 0,543.
Pour 1 : 8 = 0,125, l’arrondi au centième est 0,13 par
convention.
D4
aet bsont des nombres.
a+ best la somme des termes aet b.
a– best la différence entre les termes aet b.
a¥best le produit des facteurs aet b.
Si best un nombre non nul, a: best le quotient de apar b.
Exemples
12,5 + 2,8 est la somme des termes 12,5 et 2,8.
7,5 – 3,1 est la différence entre les termes 7,5 et 3,1.
2,5 ¥4est le produit des facteurs 2,5 et 4.
15 : 4 = est le quotient de 15 par 4.
15
4
D5
Dans une suite de calculs sans parenthèses, on effectue en
priorité les puissances, puis les multiplications et les divi-
sions et enfin les additions et les soustractions.
Exemples
B = 12 –4 ¥6 = 12 –24 = – 12
C = 5 ¥32= 5 ¥9 = 45
D = 15 –42+3 ¥7 = 15 –16 +21 = 20
partie décimale
partie entière
1. Vocabulaire
2. Priorités opératoires
Pour multiplier un nombre décimal par 10 ou 100 ou 1 000, on
décale la virgule de 1 ou 2 ou 3 rangs vers la droite.
Exemples
•39,45 ¥10 = 394,5 •39,45 ¥100 = 3 945
Pour diviser un nombre décimal par 10 ou 100 ou 1 000, on
décale la virgule de 1 ou 2 ou 3 rangs vers la gauche.
Exemples
•394,5 : 100 = 3,945 •394,5 : 1 000 = 0,394 5
3. Multiplier et diviser par 10, 100 ou 1 000
1
Généralités sur les opérations
2
Aide-mémoire
R1
R2
P1
P2
Généralités sur les nombres
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270270
Aide-mémoire
Diviser par 0,1 (respectivement 0,01 ; 0,001) revient à multiplier par 10
(respectivement 100 ; 1 000).
Multiplier par 0,1 (respectivement 0,01 ; 0,001) revient à diviser par 10
(respectivement 100 ; 1 000).
Exemples
5 : 0,01 = 5 ¥100 = 500
47 ¥0,001 = 47 : 1 000 = 0,047
Pour calculer un quotient, lorsqu’une expression figure au
numérateur ou au dénominateur, on commence par calculer
cette expression avant d’effectuer la division.
Exemple
E = = = 3
18
6
33 – 15
3 ¥2
Quand on transforme une somme ou une différence de termes
en un produit, on dit qu’on factorise.
Exemple
3,5 ¥15 –3,5 ¥11 = 3,5 ¥(15 –11)
Quand on transforme un produit de facteurs en une somme ou
en une différence de termes, on dit qu’on développe.
Exemple
12 ¥(20 +8) = 12 ¥20 +12 ¥8
Le plus petit nombre :
– entre deux nombres négatifs est celui qui est le plus éloigné de 0.
– entre un nombre positif et un nombre négatif est le nombre négatif.
Exemples
•– 7 – 5
•3  – 8
•Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : on garde le
signe commun, puis on additionne les parties numériques.
•Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on garde
le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique, puis on sous-
trait (plus grande partie numérique) – (plus petite partie numérique).
Exemples
•–2 + (–6) = –8
•7 + 3 = 10
•(–5) + 3 = –2
•13 + (–9) = 4
4. Quotients
La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
En langage mathématique :
Si k, aet bsont des nombres relatifs, alors :
k¥(a+b) = k¥a+k¥bet k¥(a–b) = k¥a–k¥b.
5. Distributivité de la multiplication
1. Vocabulaire
2. Comparaison
3. Addition et soustraction
Nombres relatifs
3
Les nombres relatifs sont les nombres précédés d’un signe « + » ou « – ». Ce sont les nombres négatifs et positifs.
D6
On appelle partie numérique d’un nombre relatif le nombre
sans son signe. Pour les nombres relatifs positifs, il n’est pas
obligatoire d’écrire le signe « + ».
Exemples
– 5,3 est un nombre relatif négatif : 5,3 est sa partie
numérique et « – » est son signe.
D7
R3
R4
P3
P4
P5
P6
R5
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271
Aide-mémoire
Aide-mémoire
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.Exemple
7 –(–2) = 7 +2 = 9
Pour organiser un calcul qui comporte une suite d’additions
et de soustractions :
– on remplace les soustractions par des additions d’opposés ;
– on rassemble les nombres de même signe, puis on effectue
les additions ;
– on termine par l’addition des nombres de signes différents.
Exemple
A = – 12 + 4 – (-5,5) + (– 2,5) – 6
A = – 12 + 4 + 5,5 + (– 2,5) – 6
A = 4 + 5,5 + (– 12) + (– 2,5) + (– 6)
A = 9,5 + (– 20,5)
A = – 11
Règle des signes
Le produit (ou le quotient) de deux nombres relatifs :
• de même signe est positif.
• de signes contraires est négatif.
Exemples
•(– 5) ¥3 = – 15 •(– 2) ¥(– 6) = 12
•= – 5 •= 4
– 36
– 9
– 25
5
Pour multiplier deux nombres relatifs :
– on observe le signe de chaque facteur et on détermine le signe du pro-
duit en appliquant la règle des signes ;
– on multiplie les deux parties numériques.
P9 Exemples
•8 ¥5 = 40 •(– 8) ¥5 = – 40
•8 ¥(– 5) = – 40 •(– 8) ¥(– 5) = 40
Pour diviser par un nombre relatif non nul, on multiplie par son inverse.
P10 Exemple
16 : 0,125 = 16 : = 16 ¥8 = 128
1
8
4. Multiplication et division
Deux nombres qui ont la même partie numérique mais qui ont
des signes différents sont dits opposés.
Exemple
7,3 et – 7,3 sont des nombres opposés.
D8
Exemple
est l’écriture fractionnaire du quotient de 7 par 5.
7
5
aest un nombre relatif non nul. On dit que le nombre best l’inverse de asi a¥b= 1.
D9
aet bsont des nombres décimaux avec bπ0.
On dit que est une écriture fractionnaire du quotient de
apar b.
a
b
P7
R6
P8
Écritures fractionnaires
4
1. Vocabulaire
La valeur d’une écriture fractionnaire ne change pas si on multiplie (ou si on divise)
le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
En langage mathématique :
est une écriture fractionnaire (bπ0). Si kπ0, alors :
= et = .
a:k
b :k
a
b
a¥k
b ¥k
a
b
a
b
P11 Exemples
•= =
•= =
6
4
12 : 2
8 : 2
12
8
6
10
3 ¥2
5 ¥2
3
5
2. Égalités de quotients
D10
Exemple
= = , on a simplifié la fraction par 3.
9
12
3
4
3 ¥3
4 ¥3
9
12
Simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui est
égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
D11
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Aide-mémoire
Exemple
est une fraction irréductible.
4
5
Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle
est irréductible.
D12
Égalité du produit en croix
et sont deux écritures fractionnaires avec bπ0 et dπ0.
Dire que = revient à dire que a¥d= b¥ c.
c
d
a
b
c
d
a
b
P12 Exemple
Sur la droite graduée, on a = = .
L’égalité du produit en croix permet d’écrire :
3AM = AB et AM = AB.
1
3
1
3
2
6
AM
AB
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur,
alors le plus grand des deux est celui qui a le plus grand numérateur.
En langage mathématique :
et sont des écritures fractionnaires avec k0. Si ab, alors :
.
b
k
a
k
b
k
a
k
P13 Exemple
car ces deux fractions ont le
même dénominateur et 2 5.
5
7
2
7
aet bsont des nombres relatifs avec bπ0. Si ab, alors 1 et
si abalors 1.
a
b
a
b
P14 Exemples
•1 car 11 13 •1 car 19 17
19
17
11
13
AB
M
3. Comparaison
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture
fractionnaire :
– on met les deux nombres au même dénominateur s’ils ne le sont pas
(en utilisant la propriété P11)
– on additionne (ou soustrait) les deux numérateurs en gardant le
dénominateur commun.
R7 Exemple
+ = + = + =
23
12
15
12
8
12
5 ¥ 3
4 ¥ 3
2 ¥ 4
3 ¥ 4
5
4
2
3
4. Addition et soustraction
Pour calculer la fraction d’une quantité (ou d’une
fraction), on multiplie cette quantité (ou cette fraction)
par .
a
b
a
b
R9 Exemples
Pour calculer de 100, on calcule ¥100 = 75.
Pour calculer de , on calcule ¥= .
2
15
2
3
1
5
2
3
1
5
3
4
3
4
Pour multiplier deux écritures fractionnaires, on multiplie les numé-
rateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle
des signes.
En langage mathématique :
et sont deux écritures fractionnaires avec bπ0 et dπ0.
Alors ¥= .
a ¥c
b ¥d
c
d
a
b
c
d
a
b
R8 Exemples
¥==
3 ¥=¥==
24
7
3 ¥ 8
1 ¥ 7
8
7
3
1
8
7
– 14
15
– 2 ¥ 7
5 ¥ 3
7
3
– 2
5
5. Multiplication
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Aide-mémoire
Aide-mémoire
Puissances
5
1. Puissances d’un nombre relatif
6. Division
Exemples
est l’inverse de 2 car 2 ¥= 1.
est l’inverse de car ¥= 1.
5
3
3
5
5
3
3
5
1
2
1
2
est une écriture fractionnaire non nulle.
L’inverse du nombre est .
b
a
a
b
a
b
D13
Exemples
•104= 10 000 •10–3 = 0,001
nest un entier supérieur ou égal à 1 :
10n= 10 ....0 et 10–n= 0, 0 ...0 1
nzéros nzéros
D15
Exemples
34= 3 ¥3 ¥3 ¥3 = 81
2–4 = = =
1
16
1
2 ¥2 ¥2 ¥2
1
24
aest un nombre relatif non nul, nun entier supérieur ou égal à 1.
•On appelle puissance n-ième de aet on note anle produit de n
facteurs égaux à a.
En langage mathématique :
an= a¥a¥.... ¥a(nfacteurs égaux à a)
•a1= a; 0n = 0 et pour aπ0, a0= 1 par convention.
•Lorsque aπ0, l’inverse de anse note a–n et a–n = .
1
an
D14
2. Opérations sur les puissances
3. Puissances de 10
Pour diviser un nombre par une écriture fractionnaire non nulle
(aπ0 et bπ0), on multiplie par son inverse .
En langage mathématique :
est une écriture fractionnaire non nulle (aπ0 et bπ0) et xest
un nombre. Alors x: = x¥.
En particulier, a: b= a¥.
1
b
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
P15 Exemples
:= ¥= =
:7= ¥= =
4
21
4
3 ¥7
1
7
4
3
4
3
65
24
5 ¥13
3 ¥8
13
8
5
3
8
13
5
3
aet bsont deux nombres relatifs non nuls, met nsont
deux entiers relatifs. On a les règles de calcul suivantes :
• am¥an= am+n•= am–n
• (a¥b)m= am¥bm•
()
m= am
bm
a
b
am
an
P16 Exemples
• 34¥3–2 = 34–2 = 32• = 53–7 = 5–4
• (2 ¥5)4= 24¥54•
()
2= 82
72
8
7
53
57
{
{
Pour élever une puissance de 10 à une autre puissance, on
multiplie les exposants.
En langage mathématique :
Si met nsont des entiers relatifs, alors (10m)n=10m¥n.
P17 Exemples
(104)3 = 104¥3 = 1012
(10–24)2 = 10–24¥2 = 10–48
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