Algorithme de planification de mouvement contrôlé par automate

Algorithme de planification de mouvement contrˆol´e par
automate
Younes Derfou. . .
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Younes Derfou. . . . Algorithme de planification de mouvement contrˆol´e par automate. 2017.
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Algorithme de plani…cation de mouvement
contrôlé par automate
Younes Derfou… : [e-mail]
Département de Mathématiques et d’Informatiques,
Faculté des Sciences Meknes, B.P. 11201 Zitoune Meknes, Maroc
April 3, 2017
Abstract
Nous introduisons dans ce travail une généralisation de la notion
d’algorithme de plani…cation de mouvement à un langage formel sur un
alphabet in…ni X: Nous de…nissons ensuite la notion d’algorithme de plan-
i…cation de mouvement généré par une grammaire hors contexte et celle
d’algorithme de plani…cation de mouvement contrôlé par automate. Nous
dé…nissons ensuite la complexité topologique associée à un langage formel
et celle controlée par un automate. En examinant des cas particuliers
nous retrouvons quelques résultats établits par M. FARBER[1], YULI B.
RUDYAK [6] [8]...
1 Topologie sur un langage formel
1.1 Topologie limite inductive sur la fermeture de Kleene
X
Soit Xun espace topologique. On dé…nit une topologie sur X(k)=X:X:::X (le
langage sur l’alphabet Xformé des mots de longueur k) en convenant qu’une
partie Ode X(k)est ouverte si elle est une réunion quelconque d’ensemble de la
forme : O1:O2:::Ok( Concaténation des Oi) où O1; :::; Oksont des ouverts de X:
On munit ensuite la fermeture de Kleene Xde la topologie limite inductive
à l’aide de la famille des injections canoniques ik:X(k),!X
Remark 1 Xpeut être considéré comme un sous espace topologique de X(k)
et par suite un sous espace topologique de Xà l’aide de l’injection continue
i:X ,!X(k)x7! x:$:::$ où $est le mot vide
Remark 2 Tout language Lsur l’alphabet Xest considéré comme un sous
espace topologique de Xpour la topologie induite.
1

2 Compléxité Topologique ( au sens de M.Farber)
Pour tout espace topologique connexe par arc, on note P X =XIl’espace
des chemins continue sur X,P X =f: [0;1] ! Xg:On dé…nit ensuite
l’application :P X ! XXpar ! ((0); (1)):(P X est équipé de la
topologie compacte ouverte )
De…nition 3 Un algorithme de plani…cation de mouvement est une application
continue s:XX! P X veri…ant : s=IdXX
Theorem 4 Un algorithme de plani…cation de mouvement s:XX! P X
existe si et seulement si Xest contractil.
De…nition 5 La complexité topologique de Xest le plus petit entier kpour
lequel Il existe un recouvrement Ouvert fUigk
i=1 de XXtel que : Pour tout
i2 f1; :::; kgil existe une locale section si:Ui! P X ( ie application
continue si:si:Ui! P X telle que si(x) = x8x2Ui)On écrit alors
T C(X) = k( S’il n’existe aucun entier k veri…ant les conditions ci-dessus on
pose T C(X) = 1):
3 Higher Topological Complexity
De…nition 6 On appelle Schwarz genus d’une …bration p:E! B, le plus
petit entier npour lequel il existe U1; :::; Unun recouvrement ouvert de Bet des
sections locales si:Ui! Etelle que psi=IdUi
Considérons maintenant Pn:P X ! X::: X=Xnla …bration dé…nit
par Pn() = ((0); (t1); :::; (1)) où (0 = t0; t1; :::; tn1= 1) est une subdivi-
sion de l’intervalle [0;1] de pas égale 1
n1ie tk=k n1:
De…nition 7 La complexité topologique supérieure ( n-higher topological com-
plexity ) est par dé…nition T Cn(X) = genus(Pn) + 1 ( en particulier pour
n= 2 on retrouve le cas classique T C2(X) = T C(X)) [16]
4 Complexité topologique veri…ant un langage
formel sur un espace topologique X.
4.1 Algorithme de plani…cation de mouvement d’ordre n
véri…ant au langage Lsur X:
De…nition 8 Soit Lun language sur l’alphabet X; et nun entier non nul tel
que L\X(n)6=;;on appelle algorithme de plani…cation de mouvement d’ordre
nassocié au langage Lsur Xtoute application continue sL:L\X(n)! P X
véri…ant : PnsL=IdL\X(n);c.a.d pour tout mot x=u0u1:::un1du langage
L\X(n)sL(x)(0) = u0; sL(x)( 1
n1) = u1; sL(x)( 2 n1) = u2; :::; sL(x)(1) = un
2

()et on dira que l’algorithme sLveri…e le langage Là l’ordre net on note
sL
n
`L
Notation 9 Un algorithme de plani…cation de mouvment véri…ant un langage
Lsur Xsera noté sL
n
`Lou simplement sL:
Proposition 10 Si Xest contractil alors, pour tout language Lsur l’alphabet
X, et pour tout entier n2Nil existe au moins un algorithme de plani…cation
de mouvement d’ordre n sn
L:L\X(n)! P X
Example 11 Si L=fuxu =x; u; y 2Xgalors l’algorithme de plani…cation de
mouvement sLcoïncide avec le loop algorithme de plani…cation de mouvement
sLP [27]
4.2 Héritage et polymorphisme d’un algorithme de plan-
i…cation de mouvement véri…ant un langage.
4.2.1 Classe Java pour un algorithme de plani…cation de mouvement
sLvéri…ant le langage L=X(n)
Nous allons donner ici un code sous forme de classe Java pour un algorithme de
plani…cation de mouvement dé…nit sur tous les mots d’ordre n; et les autres type
d’algorithmes de plani…cation de mouvement : Loop algorithme [27], algorithme
starting …xed point [28];vont être obtenu par héritage polymorphique.
3

Notation 12 L’algorithme sLvéri…ant un langage L=X(n)sera noté simple-
ment sn
4.2.2 Algorithme Java pour un loop algorithme obtenu par héritage
polymorphe
Un loop algorithme de plani…cation de mouvement est un algorithme dans lequel
tous chemin est de la forme :
Il est ainssi associé au langage des mots à bord de la forme : ax1x2:::xnaet
peut être obtenu par héritage polymorphe en appliquant l’anotation @Over-
ride à la méthode ExamineChemin() de la superclasse representant l’algorithme
sn
4