Chapitre 5- Fonctions de transfert généralisées et Identification de

Chapitre 5 : Fonctions de transfert généralisées et Identification de modèles
Maîtrise d’Electronique EL4 DJEMAL Ridha
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Chapitre 5- Fonctions de transfert généralisées et
Identification de modèles
5.1. Fonction de Transfert du premier ordre généralisée
5.1.1. Exemple
On considère un système qui effectue un asservissement de vitesse d’un moteur à courant
continu.
Le modèle retenu comporte :
Une entrée de consigne E1(p).
Une entrée de perturbation E2(p) dont son effet se traduit par un ralentissement de la
vitesse de rotation du moteur.
Une sortie S(p) qui représente la vitesse de rotation du moteur.
(p)
+
-
+
-
S(p)
G.T.
E1(p)
E2(p)
p
k
1
Figure 5.1 : Système du premier ordre généralisé
La chaîne directe comprend une fonction du 1er ordre qui modélise le moteur à courant
continu.
La chaîne de retour est un capteur de vitesse de fonction de transfert constante G.T. Le
calcul de S(p) = F(E1(p), E2(p)) est menée comme suit :
)p(S.GT)p(E)p(  1
)p(E
p
k
).p()p(S 2
1
)p(E
p
k
)].p(S.GT)p(E[)p(S 21 1
Tout calcul fait S(p) est donnée par :
)p(E
pGT.k p
)p(E
pGT.k k
)p(S 21 11
1
Qui est de la forme S(p)=H1(p).E1(p) + H2(p).E2(p)
H1(p) étant une fonction du premier ordre classique. Quant à H2(p), elle est aussi du premier
ordre mais avec zéro.

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5.1.2. Définition
Les systèmes du 1er ordre généralisés sont des S.L. régis par une équation du type :
 dt )t(de
)t(e(k
dt )t(ds
)t(s '
Soit : p
p
k
)p(E )p(S
)p(H '
 1
1
On pose généralement
', d’où :
pp
k)p(H
1
1
Deux cas se présentent :
 >1 : système à avance de phase.
 <1 : système à retard de phase.
5.1.3. Exemples de systèmes du 1er ordre généralisé
5.1.3.1. Système du 1er ordre simple
On considère le montage de la figure V.2
qui représente un système du 1er ordre
simple constitué par un circuit RC. Ce
système est régi par la fonction de transfert
RCp)p(E )p(S
)p(H   11 de la forme p
k
1
s(t)
C
R
e(t)
i(t)
Figure 5.2 : Circuit RC
Réponse indicielle (échelon unitaire)
Soit )p(p k
)p(S 1, on a alors :
)e(k)t(s t  1
Comme le montre la figure V.3, le temps de
réponse
.
t
r
3
k
0,63k
3
t(s)
s(t)
Figure 5.3 : Réponse indicielle d’un
système du 1er ordre simple

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Réponse impulsionnelle
On considère dans ce cas p
k
)p(H 1
Soit : )t(u.e
k
)t(s t k/
t(s)
h(t)
Figure 5.4 : Réponse impulsionnelle
Réponse à une rampe
Soit p
k
)p(H 1)p(p k
)p(S 1
2. La
réponse s(t) s’écrit alors :
)t(u.ek)t(k)t(s t
On remarque que :
La réponse indicielle est l’intégrale de
la réponse impulsionnelle.
La réponse à une rampe est l’intégrale
de la réponse indicielle.
t(s)
s(t)
k
Figure 5.5 : Réponse à une rampe
5.1.3.2. Système du 1er ordre avec zéro
Soient p
E
pE )( et p
p
k
p
p
k
pE pS
pH  1
1
1
1
)( )(
)( ' avec
'
ppp kE
p
E
p
p
kpS
1)1( 1
.
1
1
)( , soit :
)(.)1()( tuekEekEts tt
. On a enfin :
)(.)1(1)( tuekEts t

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Deux cas de figures se présentent selon la valeur de  , il s’agit de >1 et <1
kE
kE
t(s)
s(t)
kE
kE
t(s)
s(t)
Système à avance de phase (>1) Système à retard de phase (<1)
Figure 5.6 : Réponse à un échelon d’un système du 1er ordre avec zéro
5.1.3.3. Système électrique à avance de phase
On considère le montage de la figure ci-
dessous :
s(t)
R
1
R
2
Ce(t)
Figure 5.7 : Système à avance de phase
Si on pose Cp
R
Cp
R
pZ 1
1
.
)(
1
1
Cp
R
Cp
R
pZ 1
1
.
)(
1
1
.Soit :
CpRRRR
CpRR
pZR
R
pE pS
pH
2121
12
2
2)1(
)(
)( )(
)( 
Cp
RR
RR
CpR
RR
R
pH
21
21
1
21
2
1
)1(
.)(
On pose C
RR
RR
21
21
et CR1 '
On vérifie bien que 1
'
2
21
21
21
1
R
RR
C
RR
RR
CR 
5.1.3.4. Système électrique à retard de phase
On considère le montage de la figure 5.8.

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s(t)
R1
R
2
C
e(t)
Figure 5.8 : Système à retard de phase
Soit CpCpR
Cp
RZ 2
21
1
 et
1
)( RZ Z
pH 
CpRR
CpR
pH )(1
1
)(
21
2
On pose CR2 '
CRR )( 21 
On vérifie bien que 1
'
21
2
RR
R
5.1.3.5. Système à déphasage non minimal
On appelle ainsi un système dont la transmittance contient des termes de la
forme p
p
kpH
1
1
)( . Déterminons la réponse indicielle d’un tel système :
p
a
p
a
k
pp p
kpS
1)1(
1
)( 21 . On trouve a1=1 et a2=-25
 pp
kpS
12
1
)(
En effectuant la transformée de Laplace inverse en se servant de la table de transformée, on
obtient :
)(2)( tuekts t
s
5.1.3.6. Réponse harmonique (Analyse fréquentielle)
Soit
j
j
kjH  1
1
)(
Représentation de Nyquist
22
22
22 1
)1()1(
1)1)(1(
)(
jkk
jj
kjH
On pose : )1()1()Re( 2222  kHX
)1()1()Im( 22  kHY
On obtient l’équation du cercle exprimée par : 22
22)1(
2)1( 
kk
XY
Cette équation se ramène aux deux représentations suivante selon la valeur de.