Coup de bélier et cheminée d`équilibre
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Coup de bélier et cheminée d'équilibre Frédéric Élie, mai 2014 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires et supérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner clairement l’auteur et la référence de l’article. Lorsque, dans une conduite, on fait varier brusquement le débit d'un liquide par une action quelconque (telle la fermeture d'une vanne, par exemple), un régime instationnaire apparaît dans le tronçon amont de la conduite. Ce régime est principalement caractérisé par la propagation d'ondes hydrauliques qui véhiculent une énergie élastique non négligeable (ondes de pression), suffisamment parfois pour apporter des dommages aux installations. Ces phénomènes sont assez courants (vous avez sans doute quelques fois remarqué qu'en fermant brutalement un robinet d'eau chez vous vous entendiez des tressautements dans les tuyaux), mais lorsqu'il s'agit de circuits destinés à l'alimentation de centrales hydrauliques (usines hydro-électriques notamment) produisant des centaines et des milliers de kilowatts, avec des débits d'écoulement très importants (plusieurs dizaines de mètres cubes par seconde), ces inconvénients doivent impérativement être évités. Une des techniques consiste à recourir à des dispositifs anti-bélier, parmi lesquels on notera les cheminées d'équilibre: celles-ci consistent à transformer les ondes de pression très énergétiques en oscillations en masse où l'énergie est amortie. Cet article présente, moyennant quelques calculs d'hydraulique, le phénomène du coup de bélier et le principe des cheminées d'équilibre. Moi, je ne m'approche pas, Méson: il y a plein de brebis, donc le bélier n'est pas loin !!! Tu as peur de prendre un coup de bélier, Photon? Hi! Hi! hi!... Brebis à la montée vers le col de Restefond-La Bonnette, versant vallée de l'Ubaye photo: Frédéric Élie (août 2008) ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 1/19 SOMMAIRE 1 – Définition du coup de bélier dans une conduite 2 – Définition de la cheminée d'équilibre, oscillations en masse 3 – Coup de bélier lors d'une fermeture instantanée: formule d'Allievi 3.1 – Description qualitative 3.2 - Surpression et célérité de l'onde d'un coup de bélier avec fermeture instantanée (relation d'Allievi) 3.3 - Surpression en cas d'une fermeture non instantanée (relation de Michaud) 3.4 - Modélisation « localisée » de la propagation 1D dans la conduite: en fermeture instantanée et en fermeture lente 4 – Cheminée d'équilibre, régime d'oscillations en masse 5 – Oscillations entretenues: condition de Thoma Références ******** 1 – Définition du coup de bélier dans une conduite Lorsque, dans une conduite, on fait varier brusquement le débit par une action quelconque, un régime instationnaire apparaît à l'extrémité aval de la conduite (on dit que l'on a affaire à un régime transitoire en charge). Un cas typique est celui où la conduite est le circuit d'amenée d'eau depuis une retenue (barrage, lac) jusqu'aux turbines de la salle des machines d'une usine hydro-électrique qui produit de l'électricité. Dans ces installations hydro-électriques, l'opération qui consiste à faire varier le débit dans la conduite peut résulter de deux exigences d'utilisation: ouverture suffisante et la plus rapide possible pour répondre à un appel de puissance instantanée, et à l'inverse, coupure du circuit d'arrivée en cas de risque d'emballement des turbines. Mais on observe, dans les expériences quotidiennes, les coups de bélier lorsque l'on ferme trop rapidement un circuit d'eau dans une habitation, accompagné d'un bruit de vibration bien caractéristique. La charge supplémentaire qu'apporte ce régime transitoire à la charge d'utilisation normale du circuit est largement supérieure à celle-ci; elle peut même conduire à des détériorations dans le circuit. Figure 1 – dispositif simplifié favorable à l'apparition d'un coup de bélier La figure 1 illustre la configuration où apparaît le coup de bélier: un réservoir est relié à une conduite longue sur laquelle est montée une vanne. Lorsque la vanne est ouverte, un régime permanent de débit constant Q0 est installé dans la conduite. Si l'on ferme rapidement la vanne, une surpression variable apparaît dans la conduite pendant une durée finie, génératrice d'ondes élastiques se propageant en elle. Nous verrons que selon la vitesse avec laquelle la fermeture de la vanne est réalisée, on aura des régimes transitoires différents. Le paramètre important est le rapport durée de la fermeture de la vanne ---------------------------------------------------------durée d'aller-retour de l'onde dans le circuit Si ce rapport est très faible (fermeture quasi-instantanée), la surpression dans le circuit atteint un ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 2/19 maximum important par suite des interférences constructives entre les ondes aller et les ondes retour. Si ce rapport est élevé (fermeture lente), la variation progressive du débit est analogue à une succession, en nombre infini, de fermetures partielles qui ont chacune pour effet de générer des surpressions qui se succèdent et qui sont différentes de la situation d'une fermeture instantanée, ce qui conduit à une surpression globale moins importante que pour la fermeture instantanée. Le premier cas (fermeture instantanée) fait l'objet du modèle d'Allievi, le second (fermeture progressive) fait l'objet du modèle de Michaud. Nous les étudierons par la suite. 2 – Définition de la cheminée d'équilibre, oscillations en masse Une manière de réduire les surpressions dans une conduite consécutives à la fermeture d'une vanne de pied, consiste à transformer les ondes de pression dans la conduite par des oscillations en masse dans un dispositif connecté à la conduite. C'est la fonction de la cheminée d'équilibre: colonne verticale ouverte, avec une surface libre, connectée en dérivation à la conduite, en amont de la vanne de pied (figure 2). figure 2 – cheminée d'équilibre Lorsque les ondes de surpression partent de la vanne de pied vers le réservoir, elles rencontrent une première surface libre au niveau de la cheminée d'équilibre et ne se propagent pas plus avant vers la retenue ou le réservoir. Leur énergie est transmise à la masse d'eau contenue dans la cheminée, et comme elle a une surface libre, cette masse va osciller également sous l'action de cette énergie et absorber ainsi les ondes de surpression de la conduite. Le phénomène est comparable à une oscillation dans un tube en U où l'une des branches est le réservoir et l'autre la cheminée. Nous verrons que la cheminée joue un rôle d'amortissement des ondes de surpression si sa section est supérieure à une valeur minimale: c'est la condition de Thoma. 3 – Coup de bélier lors d'une fermeture instantanée: formule d'Allievi 3.1 - Description qualitative Voir la figure 3. La conduite, de longueur L, est supposée horizontale, de sorte que la variation de pression due à la pesanteur n'intervienne pas: la pression P est alors la même dans toute la conduite; elle est égale à la pression P0 du régime permanent augmentée de la surpression ΔP due à la fermeture de la vanne de pied: P=P 0 P La vitesse de l'eau dans la conduite est constante: U (m/s), car l'écoulement est permanent. Les événements suivants se succèdent juste après la fermeture de la vanne de pied: – L'instant initial t = 0 est celui où la fermeture instantané est réalisée. Juste avant cet instant la vitesse V du fluide est U: V = U. – A la fermeture t = 0, la vitesse V s'annule à la section correspondant à la vanne de pied, mais elle ne s'annule pas simultanément dans toutes les sections de la conduite. – La vitesse V s'annule aux sections successives vers l'amont (i.e. vers le réservoir) avec une célérité c. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 3/19 figure 3 – coup de bélier dans une conduite: étapes successives du champ de vitesse après fermeture de la vanne de pied (c: vitesse de propagation de l'onde, c'est-à-dire vitesse avec laquelle se déplace le front qui sépare la zone où V = U de celle où V = 0) – Si s est une section où V = 0, entre s et la vanne de pied on a V = 0, mais entre s et le réservoir on a encore V = U. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 4/19 – – – – – Entre s et la vanne de pied où V = 0, la pression augmente à cause de la conservation de l'énergie le long des lignes de courant (relation de Bernoulli). Cette augmentation de pression va s'emmagasiner d'une part dans la compression du volume d'eau dans le tronçon considéré, et d'autre part dans la dilatation élastique de la paroi de la conduite sur ce même tronçon. Tout se passe comme si l'ensemble (eau + conduite) se comporte comme un ressort comprimé sous l'action de la surpression d'une masse d'eau. A l'instant t = L/c, le front d'onde atteint la surface libre en amont (c'est-à-dire la surface libre du réservoir). A la surface libre, l'onde se réfléchit et change de signe, donc elle devient une onde de dépression qui retourne dans la conduite: l'eau circule en retour avec la vitesse V = -U. A t = 2L/c, donc après le temps L/c depuis la première réflexion, l'onde de dépression rencontre la vanne de pied (restée fermée), et s'y réfléchit sans changer de signe. La pression diminue alors dans la conduite (toujours selon la relation de Bernoulli) et l'onde de dépression se dirige vers l'amont (le réservoir). A t = 3L/c, cette onde de dépression se réfléchit à la surface libre du réservoir en changeant de signe, ce qui donne une onde de compression qui retourne vers l'aval (la vanne de pied). Et ainsi de suite. Ces alternances sont théoriquement infinies pour un fluide parfait, mais pour un fluide réel, les effets de frottement dus à la viscosité (pertes de charge) dissipent l'énergie et les ondes s'amortissent très rapidement. 3.2 - Surpression et célérité de l'onde d'un coup de bélier avec fermeture instantanée (relation d'Allievi) Soit (s0) la section au niveau de la vanne de pied. L'onde se propage avec la célérité c, que nous allons calculer. Pendant la durée dt, cette onde parcourt la distance: dx = c dt, et rencontre la section (s) voisine de (s0), distante de dx. Si l'on désigne par s la surface de la section de la conduite, supposée constante, la masse d'eau contenue dans le tronçon (s0s) est: d m= s dx = s c dt où ρ masse volumique de l'eau. Soit V(x,t) la vitesse de l'eau dans la conduite au niveau de la section (s). La masse dm a une impulsion dp = d(mV) qu'elle acquiert sous l'action de la force due à la surpression ΔP: F = sΔP. Le principe fondamental de la dynamique donne: dp =F dt Or: dp d dm dV = mV = V m dt dt dt dt La vitesse d'écoulement étant constante V = U, on a dV/dt = 0 et: dp dm = U = c s U =s P dt dt d'où la surpression en (s): P= c U (1) Par ailleurs, cette surpression s'obtient en appliquant le théorème de l'énergie: l'énergie cinétique de la masse d'eau est égale à la somme des travaux de compression de l'eau et de déformation de la conduite. La conduite est circulaire, de diamètre D. Une variation de pression ΔP à température constante entraîne dans le fluide une variation de volume: v =T P v ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 5/19 où χT coefficient de compressibilité de l'eau. Cette même variation ΔP entraîne une variation de l'épaisseur e de la conduite: e 1 = P e E où E est le module d'Young. 1 W e = T P² x s et le travail de déformation de la 2 Il s'ensuit que le travail de compression est: conduite est: W T= 1 P² Dxs 2 Ee L'énergie cinétique est, quant à elle: 1 1 mV² = s x U² , et donc: 2 2 1 1 D s x U² =W e W T = P² x s T 2 2 Ee d'où la surpression: P= U 1 D T Ee (2) D Ee Il est usuel d'exprimer ΔP en hauteur d'eau H: H m= P = g U g² T (2bis) La comparaison de (2) et (1) donne la célérité: c= où c 0= c0 1 D T E e (3) 1 est la célérité du son dans l'eau (réf. [5]). (3) est la formule d'Allievi. T AN: conduite en acier: E = 20000 daN/mm², eau: 1/χT = 20000 daN/cm² Si D = 2 m, e = 2 cm, alors: c = 1 km/s Si U = 5 m/s, alors ΔP = 500 m de hauteur d'eau (50 bars): c'est énorme ! 3.3 - Surpression en cas d'une fermeture non instantanée (relation de Michaud) Une vanne n'est jamais fermée sur une durée infiniment petite: l'opération de fermeture prend une durée finie T. Pour modéliser le phénomène, on assimile la fermeture progressive de la vanne à une succession de n fermetures partielles instantanées, séparées les unes des autres d'une durée T/n. Au cours de chaque fermeture partielle la section de la conduite diminue de s/n (où s est la section initiale): – La première fermeture partielle entraîne la propagation vers l'amont (le réservoir) d'une onde de surpression d'amplitude ΔP1 = ΔP/n, où ΔP représente la surpression qu'aurait la conduite en cas de fermeture instantanée complète, donnée par (1): P= c U – L'onde de surpression se réfléchit avec changement de signe à la surface libre du réservoir au bout du temps L/c. – Au bout du temps de retour, soit L/c, c'est-à-dire au bout du temps total 2L/c depuis la première ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 6/19 – – fermeture partielle, une onde de dépression atteint l'extrémité aval, c'est-à-dire la section (s 0) où se trouve la vanne de pied (cf. figure 3). En (s0) l'onde de dépression, issue de la première fermeture partielle, se réfléchit vers l'amont sous forme d'une onde de dépression. Et c'est la même chose pour les autres ondes de dépression issues des fermetures partielles suivantes. Si la durée de fermeture est telle que T > 2L/c, la première onde de dépression d'amplitude ΔP1 = ΔP/n arrive sur la vanne (s0) alors qu'elle n'est pas complètement fermée: cette onde se superpose alors à l'onde de surpression issue des fermetures partielles effectuées pendant la durée T. Il s'ensuit que la surpression dans les tronçons voisins de la vanne est plus petite que celle qu'aurait engendrée une fermeture instantanée. Nous verrons au paragraphe 3.4 que la surpression est égale à: P= – 2L U T (4) C'est la relation de Michaud. Si T < 2L/c (fermeture rapide quoique non instantanée), lorsque la première onde de dépression revient sur la vanne, celle-ci est déjà complètement fermée. En conséquence, la surpression ne peut pas diminuer par interférences destructives avec les autres ondes issues des fermetures partielles: elle conserve sa valeur maximale donnée par (1). Tout se passe comme si la fermeture était instantanée, cependant les effets d'élasticité de paroi en moins. 3.4 – Modélisation « localisée » de la propagation 1D dans la conduite: en fermeture instantanée et en fermeture lente Ça y est: c'est parti pour un nouveau tour dans les équations de mécanique des fluides, vous allez vous régaler ! Comme dans tout phénomène ondulatoire, une modélisation localisée des propagations des grandeurs physiques est possible sous la condition qu'on se limite à l'hypothèse des grandes fréquences. La description « localisée » consiste à mettre en relation ces grandeurs entre deux points A et B du circuit, par l'intermédiaire d'une matrice où intervient l'impédance du circuit. Une impédance est le rapport entre une grandeur intensive (comme ici la pression P) et une grandeur extensive (comme ici le débit volumique Q) (1): Z= P cU c = = d'après (1) Q Us s (L'analogie électrique est: grandeur intensive = tension E, grandeur extensive = courant i; donc Z = E/i). Nous verrons que l'intérêt de cette méthode est multiple: – Prévoir le comportement de la surpression en une section du circuit, en particulier à la section de 1 Une grandeur intensive est telle que la grandeur A de l'union de deux systèmes S 1 U S2 n'est pas égale à la somme de la grandeur dans chacun d'eux: A (S1 U S2) ≠ A(S1) + A(S2); pour une grandeur extensive, par définition, c'est le cas: A (S1 U S2) = A(S1) + A(S2). La pression à la sortie de deux tronçons qui se rencontrent dans une conduite n'est pas la somme de leurs pressions, c'est la même; en revanche le débit à la sortie de deux tronçons qui se rencontrent dans une conduite est égale à la somme des débits issus de ces tronçons: en effet les volumes d'eau qui pénètrent dans la conduite s'ajoutent. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 7/19 la vanne de pied. En déduire ce qui se passe lors de la fermeture, selon qu'elle est lente ou rapide. Prévoir les phénomènes de résonance. Déduire la formule de Michaud pour la fermeture lente. – – – Pour cela, nous appliquons à un écoulement 1D les équations de Navier-Stokes (fluide visqueux) auxquelles on adjoindra les lois de comportement (ou équations d'état) du fluide et d'élasticité de la conduite: ∂V V⋅ grad V = f − grad P ∇ ² V (2) ∂t ∂ V⋅grad div V =0 (conservation de la masse) (b) ∂t d =T d P (c) équation de compressibilité du fluide: (a) (d) variation de la section s de la conduite sous la pression P: ds D = d P (D: diamètre, e: épaisseur s Ee du tuyau, E: module d'Young) =V ex ) les équations (a) et (b) se Pour un écoulement unidirectionnel (1D), horizontal, suivant Ox ( V réécrivent: (a bis) (b bis) ∂V ∂V ∂P ∂²V V =− ∂t ∂x ∂x ∂ x² ∂ ∂ ∂V V =0 ∂t ∂x ∂x Compte tenu de (c): ∂ ∂P =T que l'on injecte dans (b bis); en introduisant la vitesse du son c 0 ∂t ∂t dans le fluide, telle que: c 0 ²= 1 T (5) il vient pour (b bis): ∂P ∂P ∂V V c 0 ² =0 ∂t ∂x ∂x d HS 1 V² P ∂V 1 ∂P = V d'où 2g g dx g ∂x ∂ x d HS ∂V ∂ P ∂ 1 ∂ P* V = V²P = = g où P* est la pression totale ∂x ∂x ∂x 2 ∂x dx On introduit la charge spécifique: Or la quantité: (6) [ H S= ] 1 P *= V²P 2 En première approximation, sur un parcours dans la conduite de longueur L, la quantité être assimilée à une variation de pression totale par unité de longueur: 2 Remarque: en toute rigueur, il existe un terme supplémentaire dans le 2e membre de (a): 1 3 ∂ P */∂ x peut grad div V qui est =0 comme pour un fluide incompressible. En fait, il est ignoré parce que souvent négligé même si l'on n'a pas div V =0 n'a de sens que pour un les effets qu'il représente sont intégrés aux lois de fermeture sur P. D'autre part div V écoulement au moins 2D où V =V x ex V y ey donc ∂V x ∂ V y =0 : la déformation suivant Ox est compensée ∂x ∂y par une déformation suivant Oy, dimension qui est posée comme négligeable ici. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 8/19 ∂P* P * ≈ ∂x L La théorie et l'expérience montrent que sur une longueur L, les effets de frottement entraînent une diminution de la pression, ou perte de charge, qui dépend de L, du diamètre D de la conduite et de la rugosité de paroi h/D (h: hauteur moyenne des aspérités), selon une loi générale de perte de charge: P* 1 1 h = V² R e , L 2 D D (7) où Λ = Λ(Re, h/D) est le coefficient de perte de charge paramétré par le nombre de Reynolds R e= V D / et la rugosité h/D, objet du diagramme de Moody (figure 4), réf. [1]. Λ Λ figure 4 – Diagramme de Moody Quelques expressions de Λ: – – – – – 64 Re 0,3164 2000 < Re < 105: = (Blasius) régime turbulent lisse R e 1/ 4 0,221 105 < Re < 108: =0,0032 (Nikuradse) régime turbulent lisse R e 0,237 2 1 Re = 2 ln Re = Rec = 2000 (critique): (Kirschmer-Prandtl-Karman) 2,51 1 h 2,51 =−2 ln Re > 2000: (Colebrook) régime turbulent rugueux 3,7 D R e Re < 2000 (laminaire): = [ ] (a bis) s'écrit alors: ∂V ∂V ∂ P ∂²V V = ∂t ∂x ∂x ∂ x² d'où: ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 9/19 ∂V ∂ P * ∂²V = ∂t ∂x ∂ x² En stationnaire ( ∂V /∂t=0 ) on aurait donc (8) ∂ HS ∂P* ∂²V qui est égal à (7). Le second = g = ∂x ∂x ∂ x² membre de (8) est donc, en régime non stationnaire, le terme de perte de charge, donc: ∂V ∂V ∂ P 1 1 V = V² R e , h / D ∂t ∂x ∂x 2 D (9) On dispose finalement des équations (6) et (9). On néglige maintenant les pertes de charge et on introduit le débit Q = sV; (6) et (9) deviennent: Q=s V ∂P ∂P ∂V V c 0 ² =0 ∂t ∂x ∂x ∂V ∂V 1 ∂P V =0 ∂t ∂x ∂x dQ ∂V ∂V s ∂P =s V =− soit: dt ∂x ∂x ∂x Or: dQ ∂ P =0 s dt ∂ x Comme ∂V 1 ∂Q = on a aussi: ∂x s ∂x (10) ∂ P ∂Q ∂V − V c 0 ² =0 ∂t s ∂x ∂x V ∂Q /∂ x (linéarisation) d'où: On néglige le terme de convection s ∂ P ∂Q =0 c0 ² ∂ t ∂ x (11) (10) et (11) sont ici les équations de base pour l'écoulement 1D dans la conduite horizontale, sans perte de charge. Pour une modélisation à constantes localisées, on introduit: – la capacité spécifique: – l'inertance spécifique: s c0 ² L0 = s C 0= et les équations (10) et (11) se réécrivent comme les courants et les tensions dans un circuit électrique: dQ ∂ P =0 dt ∂ x ∂ P ∂Q C0 =0 ∂t ∂x L0 Les fonctions P et Q ont pour transformées de Laplace (12) avec par définition: P et Q ∫ Q x , ue u t du Q x , t=TL−1 Q= ∫ P x , u e u t du P x ,t =TL−1 P= ce qui donne: ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 10/19 ∂ P =0 ∂x ∂ Q =0 C 0 u P ∂x L0 u Q (13) 1 ∂ Q 1 ∂²Q P=− L0 u Q− =0 ce qui donne l'équation d'onde pour le débit: C0 u ∂ x C 0 u ∂ x² ∂ ² Q −L0 C 0 u² Q=0 ∂ x² (13bis) s'intègre pour , et de manière analogue pour Q (13bis) P , en: Q x =a cosh u L0 C 0 x b sinh u L0 C 0 x (14) P x =a ' cosh u L 0 C 0 x b ' sinhu L 0 C 0 x Déterminons les coefficients a, b, a', b' de (14). Pour cela, appliquons les équations (14) aux points A et B, où B correspond à l'entrée de la conduite (x = 0), et A correspond à la vanne de pied (x = L); les équations (13), compte tenu de (14), permettent de relier la pression et le débit par l'intermédiaire de l'impédance Z0= L0 : en posant C0 K =u L 0 C 0 il vient: x =a cosh K x b sinh K x Q P x =−Z 0 b cosh K x−Z 0 a sinh K x En x = 0 les égalités précédentes donnent: Or (13) donne aussi en x = 0: Q0=a P 0=−Z 0 b ∂ P 0 = L0 u ab ' K=0 ∂x 0 ∂Q C 0 u P 0 =C 0 u a' b K =0 ∂x L0 u Q0 Comme 0 et a=Q P 0 , Q 0 : b=− 0 P les coefficients a' et b' peuvent aussi s'exprimer à l'aide de Z0 L0u L0 u a=− a=−Z 0 a=−Z 0 Q0 K u L0 C 0 u L0 C 0 K a '=− b=− =−Z 0 b= P 0 C 0u C0 u b '=− en remplaçant dans (14), on a pour tout x: P x= P 0cosh K x −Z 0 Q0 sinh Kx x=− P 0 sinh K x Q0 Q cosh K x Z0 (14 bis) En exprimant (14 bis) en x = L (vanne), on obtient en particulier la relation entre les grandeurs d'entrée (x = 0) et celles au niveau de la vanne: ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 11/19 P L=cosh K L P 0−Z 0 sinh K L Q 0 L=− 1 sinh K L P 0cosh K L Q 0 (15) Q Z0 que l'on peut représenter sous forme matricielle: cosh u L0 C 0 L −Z 0 sinh u L0 C 0 L P L = P 0 1 − sinh u L 0 C 0 L cosh u L0 C 0 L Q L Q 0 Z0 (15 bis) Si l'on assimile le tronçon de conduite entre l'entrée x = 0 (point B) et la vanne x = L (point A) à un circuit équivalent électrique, où la pression P correspond à la tension, et le débit Q correspond au courant, la matrice de la relation (15 bis) est la matrice de transfert [T] d'un quadripôle dont l'entrée est B et la sortie est A; on peut même vérifier que l'on peut représenter la relation entre l'état hydrodynamique d'une section A et celui d'une section B de la conduite par un quadripôle en « T », où les tensions V2 et V1 jouent le rôle respectivement de P(A) et P(B), et les courants i 2 et i1 jouent le rôle respectivement de Q(A) et Q(B) (figure 5). figure 5 – représentation par un quadripôle en T du tronçon de la conduite entre l'entrée 1 et la vanne 2 La relation de transfert entre les sections 1 (entrée B, x = 0) et 2 (vanne A, x = L) s'exprime par: V 2 =[T ] V 1 I2 −I 1 (avec les conventions de signes sur le sens des courants), où l'on montre que la matrice de transfert s'exprime à l'aide des impédances Z1, Z2, Z3 par: Z3 Z2 Z Z T 12=Z 1Z 3 1 3 Z2 1 T 21= Z2 Z T 22=1 1 Z2 T 11=1 [ [T ]= T 11 T 12 T 21 T 22 ] avec: Les impédances sont déterminées en comparant les Tij avec les éléments de la matrice de (15 bis), L , I 1≡Q 0 : L , V 1≡ P 0 , I 2≡Q compte tenu de la correspondance V 2≡ P ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 12/19 Z3 =cosh K L Z2 Z Z T 12=Z 1Z 3 1 3 =−Z 0 sinh K L Z2 → 1 1 T 21= =− sinh K L Z2 Z0 Z T 22=1 1 =cosh K L=T 11 Z2 T 11=1 Z0 sinh KL cosh KL −1 Z 3=−Z 0 sinh KL cosh KL−1 Z 1=−Z 0 =Z 3 sinh KL Z 2=− et l'on vérifie que les impédances Z1, Z2, Z3 satisfont bien la deuxième relation: T 12=Z 1Z 3 Z1 Z3 =−Z 0 sinh K L Z2 On peut maintenant déduire la valeur de l'impédance mécanique du circuit à la section A (vanne) à partir des valeurs des impédances Z1, Z2, Z3 ci-dessus, qui interviennent dans le quadripôle en T. Pour cela on considère le circuit fermé en B (ce qui revient à poser V 1 = 0, c'est-à-dire pression P(B) = 0), le circuit de la figure 5 devient alors celui de la figure 5bis: figure 5bis – calcul de l'impédance en 2 circuit fermé en 1 V 2=Z 3 I 2Z 2 I 1I 2 et d'autre part: Z 1 I 1=−Z 2 I 1 I 2 donc: Z2 ² V 2= Z 3Z 2− I =Z A I 2 où ZA est l'impédance cherchée. En d'où: Z 1Z 2 2 On a donc, d'une part: I 1=− Z2 I Z 1Z 2 2 remplaçant Z1, Z2, Z3 par leurs valeurs, on trouve: Z A=−Z 0 tanhu L0 C 0 L (16) La vitesse de fermeture de la vanne a des conséquences sur l'impédance mécanique du circuit en A (vanne). En effet, (16) prend les expressions approchées suivantes lorsque: – la fermeture est lente: u << 1 → Z A≈−Z 0 u L0 C 0 L=−L0 u L soit: – Z A≈− L u s (17) la fermeture est rapide: u >> 1 → Z A≈−Z 0 soit: Z A≈− c0 s (18) L'expression de l'impédance mécanique au niveau de la vanne (16) permet d'autre part de prédire les conditions de résonance dans le circuit due à la fermeture, et les trépidations du circuit sont les effets de cette résonance. Jusqu'à présent, rien n'a été supposé pour la variable conjuguée du temps u qui intervient dans la transformée de Laplace. En supposant maintenant que les perturbations du circuit dues à la fermeture sont harmoniques, on a: u = - jω (où ω est la pulsation, ω = 2πf où f fréquence). ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 13/19 Alors: Z A≈ j L ; l'impédance mécanique ZA est donc de type s – en fermeture lente, (17) devient: – inertielle (c'est-à-dire proportionnelle à jω: ZA = Mjω, où M joue le rôle d'une inertie, c'est-à-dire une masse linéique M = ρL/s); dans le cas général, (16) s'écrit, en régime harmonique (puisque: – tanh (jω) = j tan(ω)): Z A= j Z 0 tan L 0 C 0 L ce qui montre que le débit Q(A) et la pression P(A) sont toujours en quadrature. La résonance Z A=∞ (intensité de pression très élevée) a lieu pour les modes de vibration tels que: L0 C 0 L= L=2n1 , n=0, 1, 2... c0 2 Ainsi, les résonances sont favorisées pour les tronçons de circuits longs, entre l'entrée et la vanne, et les perturbations à basses fréquences apparaissent plus facilement (et elles sont plus gênantes car moins vite atténuées) que pour les circuits courts. Reste à évaluer la surpression dans le circuit engendrée par la fermeture de la vanne. Pour cela, on utilise l'équation (10) à laquelle on donne une expression approchée: si Δt est la durée avec laquelle la fermeture se produit, et en supposant une loi de fermeture linéaire, approximativement: − Or Q 0 =s U 0 donc: P x =P 0 x (10) devient Q 0 P−P 0 ≈0 s t x P= x La surpression ΔP = P – P0 s'écrit donc: Q dQ ≈− 0 dt t U0 t Q0 s t La pression est maximale en x = L (vanne): P max =P 0 L U0 t (19) Ceci montre qu'un temps de fermeture quasi-nul (fermeture instantanée), Δt → 0, entraîne une pression maximale très importante: les effets d'élasticité des parois de la conduite interviennent, ce qui conduit à la formule d'Allievi (3) vue au § 3.2. Un temps de fermeture fini, Δt > 0, conduit à une valeur beaucoup plus faible de P max, et la surpression se déduit de (19) selon la relation de Michaud (4): P= 2L U t 0 (20) Le facteur 2 provient du fait que l'onde de compression a le temps de faire un aller-retour lors d'une fermeture lente: L est remplacée par 2L. 4 – Cheminée d'équilibre, régime d'oscillations en masse Pour réduire les contraintes importantes qu'apporte aux structures les coups de bélier lors de variations plus ou moins brusques du débit d'écoulement dans une conduite, on installe au plus près de la vanne de fermeture une cheminée à surface libre destinée à absorber les ondes élastiques qu'elles convertissent en oscillations en masse du liquide présent dans la cheminée et au contact de la conduite. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 14/19 Pour modéliser les oscillations en masse dans une cheminée d'équilibre, on adopte les hypothèses suivantes, avec les notations de la figure 6: figure 6 – schéma de principe d'une cheminée d'équilibre – – – – – – – – la vanne de fermeture est pratiquement située en A; à la fermeture de A, l'eau en écoulement dans la conduite a pour seule issue la cheminée, et lorsqu'elle s'y engage, elle a pour effet de faire monter le niveau depuis N 0 jusqu'au niveau N, de cote z; le niveau initial de la cheminée N 0 correspond à la ligne de charge associée au débit Q 0 depuis l'entrée B de la galerie et qui se réduit le long de celle-ci par suite des pertes de charge; le niveau maximum atteint dans la cheminée est Nmax, de cote zmax; le niveau N1 dans la cheminée correspond au niveau sans perte de charge, donc il est le même que celui de la surface libre du réservoir; le niveau maximum zmax est calculé en disant que l'énergie potentielle de la tranche N 0Nmax est égale à l'énergie cinétique de l'eau dans la conduite au moment de la fermeture de la vanne A; lorsque Nmax est atteint, l'énergie potentielle se convertit en énergie cinétique et l'eau dans le tronçon N0Nmax redescend vers la conduite, et le cycle recommence; il en résulte que l'ensemble réservoir + conduite + cheminée est soumis à des oscillations en masse du liquide, à la façon de ce que l'on observe dans un tube en U. On note: • s et s' sections de la conduite et de la cheminée, toutes deux invariables; • L = AB longueur de la conduite; • u et v = dz/dt vitesses moyennes dans la conduite et dans la cheminée; Dans un premier temps, on néglige les pertes de charge, donc N0 = N1. On verra à la fin les équations générales avec prise en compte des pertes de charge. • La variation de pression P dans une section de la conduite est égale à la variation de pression hydrostatique dans la cheminée due au dénivelé z. Dans la conduite, un tronçon AB d'eau est donc soumis à la force de poussée: F =−P s=− g z s • L'accélération de la masse d'eau m contenue dans le tronçon est donc donnée par le principe fondamental de la dynamique: m ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 du =F dt page 15/19 m= s L d'où: L du z=0 g dt • Or • La conservation du débit volumique Q entre la conduite et la cheminée (équation de continuité) s'exprime par: Q=s u=s ' v=s ' dz ; en remplaçant dans l'équation précédente, celle-ci donne dt l'équation du mouvement pour z dans la cheminée: d² z g s z =0 dt² L s ' (21) La colonne d'eau oscille donc comme un oscillateur harmonique de période: T =2 L s' g s (22) et d'amplitude zmax constante que nous déterminons par le théorème de l'énergie cinétique comme annoncé auparavant: • Énergie potentielle de la colonne d'eau entre N0 et Nmax: zmax E p = ∫ dV g z 0 où dV volume élémentaire d'un tronçon d'épaisseur dz: dV = s'dz, d'où: 1 E p = s ' z² max 2 • Énergie cinétique du tronçon AB: 1 1 E c = m u²= s L u² 2 2 à l'instant de la fermeture u = U0 vitesse constante dans la conduite, d'où: 1 1 E p =E c s ' z² max= s L U 0 ² 2 2 d'où l'amplitude des oscillations en masse dans la cheminée d'équilibre: z max=U 0 L s g s' (23) Remarque: en comparant (22) et (23) on voit que: z max= U 0T U 0 = 2 (24) La relation (24) montre que si zmax et U0 sont connues, la fréquence d'oscillation f = ω/2π s'en déduit. La période d'oscillation et l'amplitude varient en sens inverse: une cheminée d'équilibre large a une période grande et une amplitude faible, et l'on cherchera à avoir s' beaucoup plus grand que s. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 16/19 Application numérique: L = 10 km (conduite forcée) s = 10 m² s' = 100 m² (s'/s = 10) U0 = 2 m/s (75 km/h) on obtient: T = 10 mn, zmax = 20 m. La période d'oscillation T est de l'ordre de plusieurs minutes pour les cheminées d'équilibre employées dans les ouvrages d'installations hydro-électriques (barrages) tandis que les périodes des coups de bélier sont de l'ordre de quelques secondes. En effet, en ordre de grandeur la célérité dans l'eau est: c 0≈ 1 T et la longueur d'onde de l'ordre de L d'où une période du coup de bélier T ' ≈ L/c=L T ; A.N.: ρ = 1000 kg/m3, 1/χT = 2.109 Pa, L = 10000 m → T = 7 secondes. Ces différences de valeurs pour les périodes d'oscillation en masse et du coup de bélier justifient le fait d'avoir considéré les deux phénomènes séparément. Les cheminées d'équilibre sont donc des ouvrages assez imposants (voir photos ci-après). Cheminée d'équilibre d'un circuit d'irrigation, Cimelta, Madagascar Cheminée d'équilibre St-Georges de Commiers Cheminée d'équilibre de St-Alban, Québec Cheminée d'équilibre à Montevideo La prise en compte des pertes de charge pour prédire les oscillations dans la cheminée d'équilibre est un peu plus compliquée. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 17/19 D'après la relation (7), et en utilisant la charge spécifique: H S= P* g il vient: • perte de charge dans la conduite: P1 * h u² L =H S1= 1 R e1, 1 g 2g D D • où l'indice 1 se rapporte à la conduite (D: diamètre); perte de charge dans la cheminée: P2* h v² L ' =H S2= 2 R e 2, 2 g 2 g D' D' • où l'indice 2 se rapporte à la cheminée (D': diamètre, L': longueur) et v = dz/dt. L'équation (21) doit alors être remplacée pour tenir compte de ces forces de frottement: sL du =− g z s P 1 * s P 2 * s ' dt s L du =−z s H S1 sH s2 s ' g dt L du s' z− H S1− H S2=0 g dt s à laquelle on adjoint l'équation de continuité modifiée par la présence d'un débit résiduel dû à l'action des turbines QR: s u=s ' Q dz Q R soit: u= s ' dz R dt s dt s Finalement l'équation différentielle du mouvement de la surface libre dans la cheminée, z(t), est non linéaire dont la résolution est difficile en général: L s ' d²z 1 L dQ R u² L 1 dz z − 1 − g s dt² s g dt 2g D 2 g dt s ' dz Q R u= s dt s 2 L' =0 D' 2 (25) 5 – Oscillations entretenues: condition de Thoma Si l'installation alimente un réseau de consommation électrique à puissance constante, via un alternateur, elle doit disposer d'un système de régulation de la vitesse d'écoulement. Or lorsque le niveau monte dans la cheminée d'équilibre, la pression hydrostatique à sa base augmente, ce qui entraîne une augmentation de la puissance fournie à la turbine, qui tourne plus vite, donc à l'alternateur. Le système de régulation est tel que si la vitesse de rotation de la turbine augmente, il ferme l'admission au niveau de la vanne de pied. La fermeture produit une élévation du niveau dans la cheminée encore plus importante, et comme on l'a vu au §4, une augmentation de l'amplitude des oscillations. Lorsque le niveau dans la cheminée redescend, au bout de la période T, la pression à la base diminue et le régulateur ouvre la vanne. Et le cycle recommence. Le régulateur de débit a donc pour effet de transformer les oscillations en masse dans la cheminée en oscillations entretenues. Mais celles-ci doivent être stables, donc suffisamment amorties, pour que l'ensemble de l'installation hydro-électrique puisse délivrer une puissance constante. Sans entrer dans les détails (cf. [6] et [7]) il existe une condition sur la surface de la section de la ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 18/19 cheminée d'équilibre pour la stabilité de l'installation hydro-électrique, donc pour que les oscillations soient suffisamment amorties: s' U0² L s 2 g H 0 H S1 (26) où H0 est la hauteur de chute du régime (c'est-à-dire la hauteur de chute d'eau qui apporte la puissance spécifiée aux turbines). L'inégalité (26) est la condition de D. Thoma ( 3), qui fixe le diamètre minimal de la cheminée d'équilibre pour obtenir la stabilité. Elle n'est valable que pour les installations hydroélectriques fonctionnant en réseaux séparés (ce qui est devenu rarement le cas aujourd'hui où les installations fonctionnent en interconnexions). Mais elle offre un premier ordre de grandeur pratique pour un avant-projet d'installations. Références: [1] Michel Hug (sous la direction de): Mécanique des fluides appliquée aux problèmes d'aménagement et d'énergétique – Eyrolles, 1975 [2] R. Ginocchio: Aménagements hydro-électriques – Eyrolles, 1959 [3] L. Escaude: Hydraulique générale – Privat, 1943 [4] P. Chapouthier: Cours d'hydraulique de l'École Nationale des Ponts et Chaussées – ENPC, 1956 [5] Frédéric Élie: Acoustique non linéaire, saturation extraordinaire et propagation paramétrique – site http://fred.elie.free.fr, mai 2009 [6] A. Stucky: Chambres d'équilibre – École Polytechnique de l'Université de Lausanne, 1950 [7] M. Bouvard: A propos de la condition de Thoma dans les cheminées cylindriques à étranglement optimum – Rev. La Houille Blanche, n° spécial A/1952 – article publié par SHF et disponible sur le site http://www.shf-lhb.org 3 L'ingénieur D. Thoma établit ce critère de stabilité à l'occasion de la mise en service, en 1908, de la station hydro-électrique de Heimbach (Ruhr, Allemagne), suite au constat que, dès la mise en route, le système des turbines et des régulateurs manqua de stabilité. ©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, mai 2014 page 19/19
