CAPES blanc

Préparation à l’épreuve écrite de physique du CAPES de physique et chimie 2005/2006
C.A.P.E.S. blanc du 30 novembre 2005
Si au cours de l’épreuve le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant la raison des initiatives qu’il est amené
à prendre de ce fait.
La tête dans les étoiles
Le sujet propose d’étudier quelques aspects de la nature des étoiles.
Il est formé de 7 parties indépendantes qui peuvent être traitées dans un ordre choisi par le
candidat qui, dans tous les cas, n’omettra pas de reporter devant ses réponses la numérotation
complète des questions traitées.
Données numériques
Masse de l'électron me = 5,49 .10-4 u charge de l'électron e = 1,6 10-19 C
Masse du proton mp = 1,0073 u nombre d'Avogadro N = 6,02 1023
Masse du noyau m
H
2
12 = 2,0142 u permittivité du vide 9
01036
1
π
ε
= F. m-1
Masse du noyau m
H
3
23 = 3,0165 u unité de masse atomique u = 930,8 Mev/c2
Masse du noyau m
He
4
24 = 4,0028 u célérité de la lumière c = 3 108 m.s-1
Norme du champ de pesanteur g0 = 10 m.s-2 Période de rotation de la Terre sur elle-même
T0 = 86164 s
Rayon de la Terre R = 6400 km Constante de gravitation G = 6,67259 10-11 N.m2.kg-2
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Dans les parties I à III, sauf indication contraire, les différents corps seront repérés par rapport à un
référentiel R0(O,x0,y0,z0) centré au centre de la Terre et supposé galiléen.
I. Champ de gravitation
I-1°) Rappeler l'expression du champ gravitationnel élémentaire
φ d, créé par un élément de
volume
τ
d portant une masse dm = µd τ en un point repéré par le vecteur
r
, µ étant la densité
volumique de masse. On notera G la constante de gravitation.
I.2°) La terre et les différents astres du système solaire possèdent la propriété suivante : ce
sont des sphères et leurs masses volumiques ne dépendent que de la distance r au centre de l'astre,
on dit encore que l'astre est à symétrie sphérique. Montrer que le champ de gravitation est radial et
que sa norme ne dépend que de r.
Dans toute la suite de ce problème on admettra qu'une répartition de masse à symétrie
sphérique crée en tout point extérieur un champ gravitationnel identique à celui d'un corps ponctuel
de même masse et placé au centre de la distribution.
I.3°) On considère deux masses m et M. M est un astre à symétrie sphérique qui est placé au
point A ; m est une masse ponctuelle placée en B ; on note r
urAB =
a) Calculer le travail élémentaire (δW) de la force de gravitation exercée par M sur m,
pour un déplacement radial d l = dr r
u
b) On définit l'énergie potentielle gravitationnelle U par la relation δW = - dU.
Calculer U. On choisira comme origine de l'énergie potentielle, la situation où les deux masses sont
infiniment éloignées l'une de l'autre.
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II. Satellite en orbite circulaire
Dans cette partie, on propose d'étudier le mouvement d'un satellite artificiel supposé
ponctuel de masse m autour de la Terre, de masse M, de rayon R et supposée sphérique. Dans ce
référentiel la Terre tourne sur d'elle même avec une période T0. Le satellite décrit autour de la Terre
une orbite circulaire et uniforme de rayon r=R+l, où l est l'altitude du satellite dans le plan
(O,x0,y0).
On désigne par 0
g le champ de gravitation terrestre au niveau du sol et par g0 sa norme.
II-1°) En repérant le satellite par ces coordonnées polaires dans le plan (O, x0, y0) montrer
que son accélération est purement radiale. Exprimer cette accélération en fonction de la vitesse et de
r.
II-2°) Définir un référentiel galiléen.
II-3°) Énoncer le principe fondamental de la dynamique.
II-4°) Définir le moment cinétique
II-5°) Exprimer la constante universelle de gravitation G en fonction de g0, M et R.
II-6°) Déterminer en fonction de m, R, l et g0 :
a) le module de la vitesse orbitale v du satellite,
b) l'énergie totale E du satellite,
c) le module du moment cinétique O
Ldu satellite par rapport au centre O de la Terre,
d) la période de révolution T du satellite,
d) l'altitude lg pour laquelle un satellite tournant sur une trajectoire circulaire dans le
plan de l'équateur terrestre, reste toujours à la verticale du même point de la Terre,
II-7°) Calculer les valeurs de v, E, || O
L||, T et lg avec les données numériques suivantes : l =
2000 km, m = 120 kg.
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III. Étoile double
Une étoile double appartenant à notre galaxie est constituée de deux composantes de masse
m1 et m2 que l'on suppose concentrées en deux points M1 et M2. On admet que chaque composante
n'est soumise qu'à la force de gravitation exercée par l'autre, c'est-à-dire que l'on néglige dans toute
cette partie le champ de gravitation du reste de la galaxie.
III-1°) Soit G le centre de masse de l'étoile double. Donner sa définition.
III-2°) Montrer que l'on peut attacher au centre de masse G de l'étoile double un référentiel
galiléen RG(Gxyz). Les vecteurs unitaires des axes Gx, Gy et Gz seront désignés respectivement par
i, j et k.
III-3°) On étudie les mouvements de M1 et M2 dans (RG).
a) Définir la vitesse d'un point M à partir de son vecteur position.
b) Exprimer les quantités de mouvement 1
p=m11 vet 2 p= m22 v des deux composantes
en fonction de la vitesse relative v = 2
v - 1 v de M2 par rapport à M1 et de la masse réduite de
l'étoile µ=m1m2 / (m1+m2).
c) Calculer le moment cinétique en G de l'étoile double. Montrer qu'il est le même que
celui d'une particule de masse µ, de vitesse v, située en un point M tel que GM = 21MM .
d) Calculer l'énergie cinétique de l'étoile double. Montrer qu'elle est la même que celle
de la particule définie ci-dessus.
e) Montrer que le mouvement de M est celui d'une particule de masse µ soumise à une
force égale à l'action exercée par M1 sur M2.
f) Comment peut-on déduire les trajectoires de M1 et de M2 de celle de M ?
III-4.a) Montrer que la trajectoire de M est plane et qu'elle est décrite suivant la loi des aires.
On choisit alors le repère (RG) de telle sorte que la trajectoire de M soit située dans le plan y=0, et
on repère le point M par ses coordonnés polaires (r,θ) dans la base orthonormée (
ρ
u,
θ
u) avec θ
=( k,
ρ
u) et GM = r
ρ
u. Établir que la trajectoire de M est une conique. Préciser son équation.
Montrer qu'un choix judicieux des axes Gx, Gy et Gz permet d'écrire r = p / (1+e cos θ).
b) Donner l'expression de p en fonction de la constante des aires Ca, de la constante
d'attraction universelle G et des masses m1 et m2.
c) Ayant fait le choix des axes précédents, donner les équations des trajectoires
décrites par M1 et M2. Donner les expressions des vitesses 1
v et 2 v de M1 et M2.
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IV
Structure du noyau atomique
IV-1°) Un noyau atomique de l'élément X est représenté par . Que représentent A et
Z . Comment appelle-t-on ces nombres?
X
A
Z
IV-2°) a) Combien y a-t-il d'éléments naturels?
b) Combien connaît-on environ d'éléments artificiels aujourd'hui? Comment sont-ils
obtenus? En citer quelques-uns. Expliquer, sur un exemple au moins, le nom qu'on leur a donné.
IV-3°) a) Tous les éléments artificiels sont radioactifs. Quelles sont les différents types de
radioactivité qu'ils peuvent présenter?
b) Quelles sont les caractéristiques communes à toutes ces radioactivités?
IV-4°) Comparer la masse d'un noyau à celle de ses constituants. Définir l'énergie de liaison
du noyau atomique El ?
IV-5°) Donner l'allure de la courbe représentant l'opposé de El /A en fonction de A . En
déduire les possibilités de réactions nucléaires.
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