CAPES blanc

Préparation à l’épreuve écrite de physique du CAPES de physique et chimie 2005/2006
C.A.P.E.S. blanc du 30 novembre 2005
Si au cours de l’épreuve le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant la raison des initiatives qu’il est amené
à prendre de ce fait.
La tête dans les étoiles
Le sujet propose d’étudier quelques aspects de la nature des étoiles.
Il est formé de 7 parties indépendantes qui peuvent être traitées dans un ordre choisi par le
candidat qui, dans tous les cas, n’omettra pas de reporter devant ses réponses la numérotation
complète des questions traitées.
Données numériques
Masse de l'électron me = 5,49 .10-4 u
Masse du proton
mp = 1,0073 u
2
Masse du noyau 1 H m2 = 2,0142 u
Masse du noyau 23 H m3 = 3,0165 u
charge de l'électron e = 1,6 10-19 C
nombre d'Avogadro N = 6,02 1023
1
permittivité du vide ε 0 =
F. m-1
9
36 π 10
unité de masse atomique u = 930,8 Mev/c2
célérité de la lumière c = 3 108 m.s-1
Masse du noyau 24 He m4 = 4,0028 u
Norme du champ de pesanteur g0 = 10 m.s-2 Période de rotation de la Terre sur elle-même
T0 = 86164 s
Rayon de la Terre R = 6400 km
Constante de gravitation G = 6,67259 10-11 N.m2.kg-2
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Dans les parties I à III, sauf indication contraire, les différents corps seront repérés par rapport à un
référentiel R0(O,x0,y0,z0) centré au centre de la Terre et supposé galiléen.
I. Champ de gravitation
I-1°) Rappeler l'expression du champ gravitationnel élémentaire dφ , créé par un élément de
volume dτ portant une masse dm = µdτ en un point repéré par le vecteur r , µ étant la densité
volumique de masse. On notera G la constante de gravitation.
I.2°) La terre et les différents astres du système solaire possèdent la propriété suivante : ce
sont des sphères et leurs masses volumiques ne dépendent que de la distance r au centre de l'astre,
on dit encore que l'astre est à symétrie sphérique. Montrer que le champ de gravitation est radial et
que sa norme ne dépend que de r.
Dans toute la suite de ce problème on admettra qu'une répartition de masse à symétrie
sphérique crée en tout point extérieur un champ gravitationnel identique à celui d'un corps ponctuel
de même masse et placé au centre de la distribution.
I.3°) On considère deux masses m et M. M est un astre à symétrie sphérique qui est placé au
point A ; m est une masse ponctuelle placée en B ; on note AB = r ur
a) Calculer le travail élémentaire (δW) de la force de gravitation exercée par M sur m,
pour un déplacement radial dl = dr ur
b) On définit l'énergie potentielle gravitationnelle U par la relation δW = - dU.
Calculer U. On choisira comme origine de l'énergie potentielle, la situation où les deux masses sont
infiniment éloignées l'une de l'autre.
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II. Satellite en orbite circulaire
Dans cette partie, on propose d'étudier le mouvement d'un satellite artificiel supposé
ponctuel de masse m autour de la Terre, de masse M, de rayon R et supposée sphérique. Dans ce
référentiel la Terre tourne sur d'elle même avec une période T0. Le satellite décrit autour de la Terre
une orbite circulaire et uniforme de rayon r=R+l, où l est l'altitude du satellite dans le plan
(O,x0,y0).
On désigne par g0 le champ de gravitation terrestre au niveau du sol et par g0 sa norme.
II-1°) En repérant le satellite par ces coordonnées polaires dans le plan (O, x0, y0) montrer
que son accélération est purement radiale. Exprimer cette accélération en fonction de la vitesse et de
r.
II-2°) Définir un référentiel galiléen.
II-3°) Énoncer le principe fondamental de la dynamique.
II-4°) Définir le moment cinétique
II-5°) Exprimer la constante universelle de gravitation G en fonction de g0, M et R.
II-6°) Déterminer en fonction de m, R, l et g0 :
a) le module de la vitesse orbitale v du satellite,
b) l'énergie totale E du satellite,
c) le module du moment cinétique LO du satellite par rapport au centre O de la Terre,
d) la période de révolution T du satellite,
d) l'altitude lg pour laquelle un satellite tournant sur une trajectoire circulaire dans le
plan de l'équateur terrestre, reste toujours à la verticale du même point de la Terre,
II-7°) Calculer les valeurs de v, E, || LO ||, T et lg avec les données numériques suivantes : l =
2000 km, m = 120 kg.
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III. Étoile double
Une étoile double appartenant à notre galaxie est constituée de deux composantes de masse
m1 et m2 que l'on suppose concentrées en deux points M1 et M2. On admet que chaque composante
n'est soumise qu'à la force de gravitation exercée par l'autre, c'est-à-dire que l'on néglige dans toute
cette partie le champ de gravitation du reste de la galaxie.
III-1°) Soit G le centre de masse de l'étoile double. Donner sa définition.
III-2°) Montrer que l'on peut attacher au centre de masse G de l'étoile double un référentiel
galiléen RG(Gxyz). Les vecteurs unitaires des axes Gx, Gy et Gz seront désignés respectivement par
i , j et k .
III-3°) On étudie les mouvements de M1 et M2 dans (RG).
a) Définir la vitesse d'un point M à partir de son vecteur position.
b) Exprimer les quantités de mouvement p1 =m1 v1 et p2 = m2 v2 des deux composantes
en fonction de la vitesse relative v = v2 - v1 de M2 par rapport à M1 et de la masse réduite de
l'étoile µ=m1m2 / (m1+m2).
c) Calculer le moment cinétique en G de l'étoile double. Montrer qu'il est le même que
celui d'une particule de masse µ, de vitesse v , située en un point M tel que GM = M 1M 2 .
d) Calculer l'énergie cinétique de l'étoile double. Montrer qu'elle est la même que celle
de la particule définie ci-dessus.
e) Montrer que le mouvement de M est celui d'une particule de masse µ soumise à une
force égale à l'action exercée par M1 sur M2.
f) Comment peut-on déduire les trajectoires de M1 et de M2 de celle de M ?
III-4.a) Montrer que la trajectoire de M est plane et qu'elle est décrite suivant la loi des aires.
On choisit alors le repère (RG) de telle sorte que la trajectoire de M soit située dans le plan y=0, et
on repère le point M par ses coordonnés polaires (r,θ) dans la base orthonormée ( uρ , uθ ) avec θ
=( k , uρ ) et GM = r uρ . Établir que la trajectoire de M est une conique. Préciser son équation.
Montrer qu'un choix judicieux des axes Gx, Gy et Gz permet d'écrire r = p / (1+e cos θ).
b) Donner l'expression de p en fonction de la constante des aires Ca, de la constante
d'attraction universelle G et des masses m1 et m2.
c) Ayant fait le choix des axes précédents, donner les équations des trajectoires
décrites par M1 et M2. Donner les expressions des vitesses v1 et v2 de M1 et M2.
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IV Structure du noyau atomique
IV-1°) Un noyau atomique de l'élément X est représenté par
Z . Comment appelle-t-on ces nombres?
A
Z
X . Que représentent A et
IV-2°) a) Combien y a-t-il d'éléments naturels?
b) Combien connaît-on environ d'éléments artificiels aujourd'hui? Comment sont-ils
obtenus? En citer quelques-uns. Expliquer, sur un exemple au moins, le nom qu'on leur a donné.
IV-3°) a) Tous les éléments artificiels sont radioactifs. Quelles sont les différents types de
radioactivité qu'ils peuvent présenter?
b) Quelles sont les caractéristiques communes à toutes ces radioactivités?
IV-4°) Comparer la masse d'un noyau à celle de ses constituants. Définir l'énergie de liaison
du noyau atomique El ?
IV-5°) Donner l'allure de la courbe représentant l'opposé de
déduire les possibilités de réactions nucléaires.
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El /A en fonction de A . En
V Fusion nucléaire
V 1°) Pour que deux noyaux puissent interagir il est nécessaire que la distance qui sépare
leurs centres soit de l'ordre de leur diamètre. Donner un ordre de grandeur de cette distance.
V-2°) a) Quelle est la force qui s'exerce entre deux noyaux lorsque la distance qui les sépare
est supérieure à la valeur précédente?
b) Quelle est alors l'énergie d'interaction? Donner un ordre de grandeur de cette
énergie quand la distance entre les deux noyaux est celle estimée au V 1°)
V-3°) Comment peut-on sur terre réaliser la fusion nucléaire? Décrire brièvement les
diverses solutions possibles.
V-4°) Comment expliquer que de telles réactions se produisent dans le cœur des étoiles.
V-5°) En particulier dans les étoiles jeunes, essentiellement composées d'hydrogène, celui-ci
donne naissance à de l'hélium. La première étape du processus est la suivante:
1
1
2
0 +
1 p + 1 p → 1H + 1e + υ
Quelle est l'énergie libérée par cette réaction? Sous quelle forme se trouve-t-elle?
V-6°) Cette réaction est suivie des deux étapes suivantes:
1
2
3
1 p + 1 H → 2 He + γ
He + 23He → 24 He + 11p + 11p
Déterminer l'énergie libérée par l'ensemble du processus.
3
2
V-7°) a) L'étoile rayonne dans tout l'espace un flux énergétique Φ = 5.1026 W . En
supposant que la seule source d'énergie soit les réactions précédentes combien y a-t-il de noyaux
d'hélium créés chaque seconde?
b) Quelle est la variation journalière de masse de cette étoile?
V-8°) Cette étoile nous apparaît jaune. Expliquer pourquoi on ne peut en déduire la
température qui permet les réactions nucléaires au cœur de l'étoile ( bien que l'on connaisse la loi du
déplacement de Wien qui donne la température du corps noir en fonction de la longueur d'onde de
son maximum d'émission: λ.T = 2900 µm.K ). Quel renseignement peut-on néammoins déduire de
la couleur observée?
V-9°) Cette étoile est située à 2000 années-lumière de nous. Quel est le flux énergétique,
issu de cette étoile, qui pénètre dans notre œil?
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Pour améliorer l'observation de cette étoile on a recours à un instrument d'optique.
VI Un instrument d'optique.
VI-1°) Enoncer le principe de Fermat. Qui était Pierre de Fermat ? Citer au moins une autre
de ses contibutions à la physique ou aux mathématiques.
VI 2°) Qu'appelle-t-on points conjugués pour un instrument?
VI 3°) Déduire du principe de Fermat la relation suivante pour un dioptre sphérique de
CA
sommet S , de centre C , séparant deux milieux d'indice n et n' : n
= Constante où A et A'
IA
sont des points conjugués sur l'axe du dioptre et I un point courant sur le dioptre.
VI-4°) a) Définir les conditions de Gauss pour un système centré.
b) Quel en est l'intérêt?
c) Que devient la relation du VI-3°) dans les conditions de Gauss?
d) En déduire la relation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au
sommet.
VI-5°) Qui était Carl Gauss? Citer au moins une autre de ses contibutions à la physique ou
aux mathématiques.
VI-6°) a) Définir une lentille mince.
b) Déduire de la question VI-4°) la relation de conjugaison pour une lentille mince
biconvexe symétrique.
c) Donner l'expression de la distance focale de cette lentille en fonction de R rayon
de ses deux faces et de n indice du verre de la lentille.
VI-7°) Pour collecter plus de lumière provenant de l'étoile on peut être tenté d'augmenter le
diamètre des lentilles constituant un instrument. Au XIXième siècle, sous l'impulsion de Camille
Flammarion, un projet de construction d'une gigantesque lunette, munie d'un objectif formé d'une
seule lentille de très grand diamètre, vit le jour. Malgré des moyens considérables, une collecte
nationale avait été organisée, ce projet ne donna pas les résultats escomptés. Quelles sont à votre
avis les raisons essentielles de cet échec?
VI-8°) Une lunette plus raisonnable est formée d'un objectif assimilable à une lentille mince
de distance focale image f1' = 0,6 m , de diamètre Φ1 = 9 cm et d'un oculaire, lui aussi assimilable
à une lentille mince convergente de distance focale f2' = 2 cm . Schématiser la marche des rayons
lumineux dans la lunette lorsque celle-ci est utilisée pour observer l'étoile par un astronome
emmétrope qui vise parfaitement bien l'étoile.
VI-9°) La lunette est maintenant utilisée par un astronome très myope, son punctum
remotum est à 0,6 m, et qui de surcroît vise mal. Quel(s) règlage(s) modifie-t-il? Schématiser à
nouveau la marche des rayons.
VI-10°) a) Déterminer alors, par sa taille et sa position, la pupille de sortie de l'instrument.
Où l'astronome doit-il placer son œil?
b) Quel est alors le flux lumineux issu de l'étoile qui pénètre dans son œil?
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On désire maintenant analyser la lumière de l'étoile.
VII Spectroscopie.
Un réseau par réflexion est formé par la succession d'un grand nombre de bandes, de même
largeur b équidistantes de a , diffractant la lumière dans toutes les directions, séparées par des
zones absorbantes:
Coupe schématique du réseau: les bandes diffractantes sont planes,
les creux sont absorbants
Il est éclairé par un collimateur qui forme un faisceau de rayons parallèles. Soit i l'angle
entre la normale Ox au réseau et les rayons incidents, i’ l’angle entre la normale et un rayon
diffracté. Le schéma suivant représente deux zones diffractantes successives:
x
A
B
i
i'
O2
O1
a
VII-1°) a) Quel est l'avantage des réseaux par réflexion sur les réseaux par transmission?
b) Quel est l'avantage des réseaux blazés sur les réseaux plans?
c) Comment sont-ils fabriqués?
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VII-2°) a) Déterminer la différence de marche entre deux rayons diffractés par deux bandes
successives dans la même direction i' .
b) En déduire la formule des réseaux qui donne la direction i' des maxima d'intensité
lorsque le réseau est éclairé, sous l'incidence i , par une lumière monochromatique de longueur
d'onde λ .
c) Expliquer simplement , sans aucun calcul, que dans une direction i" ne différant de que
très légèrement de i' l'intensité observée est quasi nulle. Ceci nécessite néammoins une condition
portant sur le réseau et son utilisation. Laquelle?
VII-3°) a) Dans la pratique la mesure des longueurs d'onde utilise le montage autocollimateur de
Littrow. Le réseau est placé sur la platine d'un goniomètre. Le collimateur éclaire le réseau, les
rayons réfléchis par le réseau traversent à nouveau le collimateur et forment alors une image de la
fente source. Montrer que cette image se forme dans le plan de la fente source elle-même. Faire un
schéma.
VII-4°) a) On incline alors légèrement le plan du réseau sur la verticale afin que l'image se forme un
peu au-dessus de la source. On amène l'image de la source sur la verticale de celle-ci (la fente et son
image sont donc alignées). Quelle est alors la relation entre i et i' .
b) On répète l'opération pour l'ordre opposé. De quel angle ∆ doit-on tourner le réseau?
Déterminer λ en fonction de a et de ∆ .
c) Application numérique: a = 2.10-3 mm ; ∆ = 34°28' pour les ordres 2 et –2 .
VII-5°) Pour étudier la composition de la lumière issue de l'étoile on ôte l'oculaire de la lunette et
l'on place au foyer de l'objectif la fente d'entrée du collimateur. L'observation du spectre de l'étoile
montre un continuum, présentant un maximum dans le jaune, traversé de raies noires. Expliquer
cette observation.
VII-6°) Comment déduit-on, de la mesure de la longueur d'onde correspondant à ces raies noires, la
composition de la photosphère de l'étoile d'une part, sa vitesse par rapport à la terre d'autre part ?
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