logique propositionnelle, 1 1cm Logique séance 2

logique propositionnelle, 1
Logique
séance 2
M. Cozic
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
remerciements à ...
I
...D. Bonnay
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
0. introduction
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
la LP
I
la logique propositionnelle (LP) traite exclusivement des
connecteurs propositionnels, c’est la partie la plus simple
de la logique
I
pour étudier rigoureusement la notion de validité, elle
construit un langage artificiel
I
la LP repose sur deux principes fondamentaux:
(P1) principe de bivalence: tout énoncé a une et une seule
valeur de vérité, il est ou bien vrai (noté V ou 1) ou bien
faux (noté F ou 0)
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
le principe de bivalence
(P1) principe de bivalence: tout énoncé a une et une seule
valeur de vérité, il est ou bien vrai (noté V ou 1) ou bien
faux (noté F ou 0)
I
la LP est construite de telle sorte que le principe de
bivalence soit satisfait; le principe fait néanmoins l’objet de
nombreuses discussions en philosophie de la logique et du
langage:
(i) il n’est pas certain que le principe de bivalence soit
satisfait dans les langues naturelles
I
exemple: les prédicats vagues. Il y a des personnes telles
qu’il ne semble ni vrai, ni faux de dire qu’ils sont chauves
(ou grandes, ou corpulentes, etc). On parle alors de
cas-limites, et on dit qu’il y a un vide de valeur de vérité
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
le principe de bivalence
I
attention ! il y a évidemment un multitude d’énoncés de la
langue naturelle telle que l’on ne sait ni s’ils sont vrais, ni
s’ils sont faux. Mais ce n’est pas une violation du principe
de bivalence.
(ii) il n’est pas certain qu’il faille que le principe de bivalence
soit toujours satisfait
I
exemple: les futurs contingents = des énoncés portant sur
des événements futurs qui peuvent, ou pas, advenir
• N. Sarkozy se représentera en 2012
Certains soutiennent que la valeur de vérité de tels
énoncés n’est pas “objectivement” déterminée.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
énoncés atomiques vs. complexes
I
on a vu quel rôle jouaient les connecteurs propositionnels
dans la validité de certains arguments
I
les connecteurs propositionnels forment un nouvel énoncé
à partir d’un ou plusieurs énoncés
I
exemple:
• Si Marie est venue, Pierre est content
I
il y a donc des énoncés qui sont plus complexes que
d’autres: “Si Marie est venue, Pierre est content” est plus
complexe que “Marie est venue”
I
on appelle les énoncés comme “Marie est venue”, qui ne
contiennent aucun énoncé comme partie, un énoncé
atomique tandis que “Si Marie est venue, Pierre est
content” est un énoncé complexe
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
le principe de vérifonctionnalité
(P2) principe de vérifonctionnalité: la valeur de vérité d’un
énoncé complexe dépend exclusivement de la valeur de
vérité des énoncés qui le composent et de la façon dont
ses énoncés sont composés
I
conséquence: si, dans un énoncé complexe donné, je
remplace un des énoncés constituants par un énoncé de
même valeur de vérité, alors le nouvel énoncé complexe a
la même valeur de vérité que l’énoncé complexe initial
I
exemple:
Proust était écrivain et S. Royal a gagné la présidentielle
de 2007 FAUX
Proust était écrivain et F. Bayrou a gagné la présidentielle
de 2007 FAUX
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
le principe de vérifonctionnalité
I
il n’est pas certain que le principe de vérifonctionnalité soit
toujours satisfait dans la langue naturelle
I
exemple: les énoncés de croyance
• Pierre croit que S.Royal a gagné la présidentielle de 2007
(supposons que c’est FAUX)
• Pierre croit que le chômage a diminué en 2011 (cela peut
être VRAI - d’accord, Pierre est vraiment très mal informé)
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
le principe de vérifonctionnalité
I
attention: le principe dit aussi que la valeur de vérité d’un
énoncé complexe dépend de la façon dont les énoncés
constituants sont composés
I
exemple:
• Proust était écrivain et S. Royal a gagné la présidentielle
de 2007 FAUX
• Proust était écrivain ou S. Royal a gagné la présidentielle
de 2007 VRAI
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
1. les connecteurs propositionnels
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
la LP
I
en LP, on compose des énoncés à l’aide des connecteurs
propositionnels
I
la liste canonique des connecteurs est la suivante:
∧: la conjonction
∨: la disjonction
¬: la négation
→: le conditionnel
↔: le bi-conditionnel
I
l’inteprétation des connecteurs propositionnels sera faite
en sorte que le principe de vérifonctionnalité soit respecté
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La conjonction, ∧
Exemple: ‘Pierre est content et Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
La conjonction est un connecteur binaire
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La conjonction, ∧
Exemple: ‘Pierre est content et Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
La conjonction est un connecteur binaire
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La conjonction, ∧
Exemple: ‘Pierre est content et Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
La conjonction est un connecteur binaire
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La conjonction, ∧
Exemple: ‘Pierre est content et Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
La conjonction est un connecteur binaire
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La conjonction, ∧
Exemple: ‘Pierre est content et Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
La conjonction est un connecteur binaire
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La négation, ¬
Exemple: ‘Pierre n’est pas content.’
p : Pierre est content
p
1
0
M. Cozic
¬p
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La négation, ¬
Exemple: ‘Pierre n’est pas content.’
p : Pierre est content
p
1
0
M. Cozic
¬p
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La négation, ¬
Exemple: ‘Pierre n’est pas content.’
p : Pierre est content
p
1
0
M. Cozic
¬p
0
1
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La disjonction, ∨
Exemple: ‘il va pleuvoir ou il va neiger’
p : il va pleuvoir
q : il va neiger
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p∨q
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La disjonction, ∨
Exemple: ‘il va pleuvoir ou il va neiger’
p : il va pleuvoir
q : il va neiger
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p∨q
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La disjonction, ∨
Exemple: ‘il va pleuvoir ou il va neiger’
p : il va pleuvoir
q : il va neiger
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p∨q
1
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La disjonction, ∨
Exemple: ‘il va pleuvoir ou il va neiger’
p : il va pleuvoir
q : il va neiger
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p∨q
1
1
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
La disjonction, ∨
Exemple: ‘il va pleuvoir ou il va neiger’
p : il va pleuvoir
q : il va neiger
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p∨q
1
1
1
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
disjonction inclusive ou exclusive
I
l’interprétation de ∨ en fait une disjonction inclusive
I
“ou bien..., ou bien...” correspond à une disjonction
exclusive: “ou bien S, ou bien S 0 ” est vrai ssi exactement
l’un des deux énoncés S, S 0 est vrai
I
la grande question: le “ou” de la langue naturelle
correspond-il à la disjonction inclusive, à la disjonction
exclusive ou tantôt à l’une et tantôt à l’autre ?
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
disjonction inclusive ou exclusive
I
des énoncés comme
• Jean est arrivé en France mardi ou mercredi
• Pierre est né à Valenton ou à Limeil-Brévanne
semblent recevoir une interprétation exclusive
I
mauvais argument; pourquoi ? parce que pour discriminer
entre la disj. inclusive et la disj. exclusive, il faut regarder
ce qui se passe quand les deux énoncés constituants sont
vrais. Dans les autres cas de figure, les deux disjonctions
ont le même comportement !
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
disjonction inclusive ou exclusive
• Marie a rencontré Jean ou Paul à la soirée
I
il semble que si quelqu’un affirme cela, on a envie d’en
inférer que Marie n’a pas rencontré Jean et Paul à la
soirée, donc que la disjonction est exclusive
I
mais des philosophes du langage-linguistes soutiennent
que non: pour expliquer l’inférence, on a besoin que de la
disjonction inclusive et de principes généraux gouvernant
la conversation
I
idée: si le locuteur savait que Marie a rencontré Jean et
Paul à la soirée, et s’il voulait être le plus informatif
possible, alors il dirait directement
• Marie a rencontré Jean ou Paul à la soirée
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Le conditionnel, →
Exemple: ‘Si Pierre est content alors Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p→q
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Le conditionnel, →
Exemple: ‘Si Pierre est content alors Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p→q
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Le conditionnel, →
Exemple: ‘Si Pierre est content alors Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p→q
1
0
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Le conditionnel, →
Exemple: ‘Si Pierre est content alors Marie est triste.’
p : Pierre est content
q : Marie est triste
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
M. Cozic
p→q
1
0
1
1
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
I
du point de vue du conditionnel matériel,
• Si Pierre est content, Marie est triste (p → q)
a les conditions de vérité de
• Pierre n’est pas content ou Marie est triste (¬p ∨ q)
I
le conditionnel est le connecteur dont l’interprétation est la
plus problématique; ces difficultés sont connues depuis
l’Antiquité
• Si Nicolas Sarkozy n’avait pas été élu président, Zinédine
Zidane l’aurait été
• Si Pierre ajoute du sucre dans son café, il le trouvera
meilleur
∴ Si Pierre ajoute du sucre et de l’essence dans son café,
il le trouvera meilleur
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
I
1
1
0
0
p
2
22 connecteurs binaires possibles:
1
0
1
0
q
f1
0
0
0
0
⊥
f2
0
0
0
1
-
f3
0
0
1
0
6
←
f4
0
1
0
0
9
f5
1
0
0
0
∧
f6
0
0
1
1
¬p
M. Cozic
f7
0
1
0
1
¬q
f8
0
1
1
0
↔
f9
1
0
0
1
=
f10
1
0
1
0
q
f11
1
1
0
0
p
f12
0
1
1
1
|
f13
1
0
1
1
→
f14
1
1
0
1
←
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
f15
1
1
1
0
∨
f16
1
1
1
1
>
2. le langage de la LP
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Définition L’alphabet A d’un langage propositionnel est la donnée
1. d’un ensemble de formules atomiques At = {p, q, r , ...}
2. d’un ensemble de connecteurs : {∨, ∧, ¬, →, ↔}
3. d’une parenthèse ouvrante et d’une parenthèse fermante
{), (}
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Définition Une expression formée à partir d’un alphabet A est une
suite finie d’éléments de l’alphabet.
I
Le langage propositionnel L(A) fondé sur l’alphabet A est
l’ensemble des expressions formées à partir de A.
I
exemple:
"))))¬ ∨ p → q", "(p ∧ r )", "q" sont des expressions du
langage propositionnel.
I
rem1: les guillemets marquent le fait qu’on fait mention et
non usage d’une expression
I
rem2: on simplifie et s’en dispense par la suite quand on
fait mention d’expressions du langage formel
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Notation
1. φ, ψ, χ pour désigner des expressions quelconques du
langage propositionnel
2. ◦ pour désigner un connecteur binaire quelconque
I
φ, ψ, χ,..., et ◦ appartiennent au méta-langage, pas au
langage objet.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Définition L’ensemble Form des formules du langage propositionnel
L(A) est l’ensemble des expressions tel que
(i) toute formule atomique p ∈ At est une formule
(ii) si φ est une formule, alors ¬φ est une formule
(iii) si φ et ψ sont des formules et ◦ un connecteur
propositionnel, alors (φ ◦ ψ) est une formule
(iv) seules les expressions engendrées par un nombre fini
d’applications des règles précédentes sont des formules
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
√
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
√
×
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
√
×
√
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
√
×
√
×
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
√
×
√
×
√
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Les expressions suivantes sont-elles des formules ?
p
pq
(p ∨ q)
(p ∨ q
¬p
(¬p)
¬((p → q) ∨ (p ∧ r ))
¬(p¬q)
√
×
√
×
√
×
√
×
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
I
On peut représenter la manière dont une formule a été
construite en appliquant les règles de formation à l’aide
d’un arbre de formation :
(p ∨ (¬p → q))
p
(¬p → q)
¬p
q
p
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Théorème (Théorème de lecture unique)
A chaque formule est associée un unique arbre de
formation.
I
différence importante d’avec la langue naturelle, qui
présente des ambiguités syntaxiques.
Il arrive qu’une même phrase puisse être ‘engendrée’ de
plusieurs manières différentes, et ‘lue’ de plusieurs
manières différentes.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
(1) Jean est venu et Pierre est parti ou Marie était mal.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
(1) Jean est venu et Pierre est parti ou Marie était mal.
A l’oral, l’intonation permet parfois de lever les ambiguités :
‘(1a)’ Jean est venu et Pierre est parti ... ou Marie était mal.
‘(1b)’ Jean est venu et ... Pierre est parti ou Marie était mal.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
(1) Jean est venu et Pierre est parti ou Marie était mal.
A l’oral, l’intonation permet parfois de lever les ambiguités :
‘(1a)’ Jean est venu et Pierre est parti ... ou Marie était mal.
‘(1b)’ Jean est venu et ... Pierre est parti ou Marie était mal.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
(1) Jean est venu et Pierre est parti ou Marie était mal.
A l’oral, l’intonation permet parfois de lever les ambiguités :
‘(1a)’ Jean est venu et Pierre est parti ... ou Marie était mal.
‘(1b)’ Jean est venu et ... Pierre est parti ou Marie était mal.
Dans notre langage formel, il n’y a pas d’ambiguité car il y a
des parenthèses :
((p ∧ q) ∨ r )
(p ∧ (q ∨ r ))
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
A chacune des deux formules ((p ∧ q) ∨ r ) et (p ∧ (q ∨ r ))
correspond bien un arbre de formation différent :
(p ∧ (q ∨ r ))
p
((p ∧ q) ∨ r )
(q ∨ r )
q
(p ∧ q)
r
p
M. Cozic
r
q
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
On s’autorisera quelques libertés (de plus en plus)
I
suppression des parenthèses extérieures
((p ∧ q) ∨ r )
(p ∧ q) ∨ r
I
regroupement des conjonctions et disjonctions
((p ∧ q) ∧ r )
p ∧ q ∧ r
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Combien de parenthèses ?
Combien de parenthèses dans une formule ?
p, (p ∧ q), ¬(p ∧ q), ((p ∧ q) ∨ r ) ...
Toutes les formules ont un nombre paire de parenthèses.
C’est à peu près évident, “on le voit bien”
Mais ... comment est-ce qu’on le montre ?
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Analogie
Comment est-ce qu’on construit l’ensemble des entiers ?
I
On prend 0
I
et on clôt par successeur
Comment est-ce qu’on construit l’ensemble des formules ?
I
On prend les atomes
I
et on clôt par les opérations logiques
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Induction sur les entiers
Comment est-ce qu’on démontre que tous les entiers ont une
certaine propriété P ?
I
Soit on montre, pour un entier quelconque n, que n a bien
la propriété P
I
Soit on fait une démonstration par induction :
I
I
On montre que 0 a P
On montre que si n a P, alors n + 1 a P
(“P passe au successeur”)
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Exemple
Prenons comme propriété P la propriété suivante :
pour tout entier n, on a 0 + ... + n =
I
0 a bien P
I
P passe au successeur
Supposons que 0 + ... + n =
0 + ... + n + n + 1
= n(n+1)
+ n + 1 par H.I.
2
n(n+1)+2(n+1)
=
2
n+1(n+2)
=
X
2
M. Cozic
n(n+1)
2
n(n+1)
2
(H.I.)
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Induction sur les formules
Pour montrer que toutes les formules ont une certaine propriété
P, il suffit de montrer que :
I
Si p ∈ At, alors p a la propriété P
I
Si φ a P, alors ¬φ a P
I
Si φ, ψ ont P, alors (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ) et (φ ↔ ψ)
ont P.
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2
Prenons comme propriété P la propriété suivante :
pour toute formule φ, φ a un nombre pair de parenthèses
I
Les formules atomiques ont 0 parenthèse.
I
Supposons que φ a 2n parenthèses, alors ¬φ a 2n
parenthèses.
I
Supposons que φ a 2m et ψ 2n parenthèses,
alors (φ ∧ ψ) a 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1) parenthèses
et même chose pour (φ ∨ ψ), (φ → ψ) et (φ ↔ ψ). X
M. Cozic
logique propositionnelle, 1 Logique séance 2