Chapitre 10 Angles. (Voir : 6ème, chapitre 4.) I) Vocabulaire

5ème – Ch. 10
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Chapitre 10 Angles.
(Voir : 6ème, chapitre 4.)
I) Vocabulaire
Définitions : s
• Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté en commun, et sont situés
de part et d'autre (de chaque côté) de ce côté.
• Des angles sont complémentaires (ou supplémentaires) si leur somme est égale
à 90° (ou 180°).
Conséquences :
• Les angles d'un triangle sont supplémentaires.
• Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
Exemples :
• Angles adjacents. (« Côte à côte » !)
x
y
z
O
n
x
Oy +
n
yOz =
n
x
Oz
• Angles complémentaires.
x
y
z
O
• On a
n
x
Oy +
n
yOz = 90°.
• Donc les angles
n
x
Oy et
n
yOz sont (adjacents)
complémentaires.
• Angles supplémentaires.
u
v
wO
• On a
n
uOv +
n
vOw = 180°.
• Donc les angles
n
uOv et
n
vOw sont (adjacents)
supplémentaires.
Contre-exemples :
Les angles suivants ne sont pas adjacents !
II) Figures clés
A) Deux droites sécantes
Définition : s

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Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et les côtés de l'un
prolongent ceux de l'autre.
Propriété : s
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Exemple : (« tête à tête » !)
O
zy
xt
• On a
n
x
Oz et
n
yOt opposés par le sommet O.
• Donc
n
x
Oz =
n
yOt (et
n
zOy =
n
x
Ot ).
Contre-exemples :
Les angles suivants ne sont pas opposés par le sommet !
B) Deux droites et une sécante
Définitions :
Deux droites coupées par une sécante forment deux paires d'angles alternes-
internes et quatre paires d'angles correspondants.
Exemples :
A
4
2
3
4
1
2
B
1
3
d
d
1
2
(d) ()
)(
Figure clé
l
3
A et
l
1
B
;
m
4
A et
m
2
B
sont des angles alternes-internes.
l
1
A et
l
1
B
;
m
2
A et
m
2
B
;
l
3
A et
l
3
B
;
m
4
A et
m
4
B
sont des
angles correspondants.
Remarques :
• Alternes (de part et d'autre de la sécante) - Internes (entre les droites)
• Correspondants (même position par rapport à la sécante et à chacune des
droites) ; ni « alternes », ni « internes ».
Propriétés : s (énoncés directs)
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes (ou
correspondants) définis par une sécante sont de même mesure.
Traduction par une figure : (axiome d’Euclide)
Hypothèses Conclusion
Si
(d) d
d
aˆ
b
ˆ
1
2 et d1 // d2
alors
a = b

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Exemple :
A
B
C
D
(Δ)
(d1)
(d2)
70°
(d1) // (d2)
• On a, (d1) // (d2),
n
CAB et
n
A
BD alternes-internes déterminés par (Δ) et
n
CAB =
70°.
• Or, si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes définis par
une sécante sont de même mesure.
• Donc,
n
CAB = 70° =
n
A
BD .
Cas particulier :
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
III) Reconnaître des parallèles
Propriétés : s (énoncés réciproques)
Si deux angles alternes-internes (ou correspondants) définis par deux droites et une
sécante sont de même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
Traduction par une figure :
Hypothèses Conclusion
Si
(d) d
d
aˆb
ˆ
1
2 et
a = b
alors
d1 // d2
Exemple :
On considère la figure clé § II)B) où
m
2
A = 85° et
m
2
B
= 85°.
• On a,
m
2
A et
m
2
B
correspondants formés par d1, d2 et la sécante (d) et
m
2
A =
m
2
B
.
• Or, si des angles correspondants définis par deux droites et une sécante sont de
même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
• Donc, (d1) // (d2).
Cas particulier :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles
entre elles.