Chapitre 10 Angles. (Voir : 6ème, chapitre 4.) I) Vocabulaire

5ème – Ch. 10
Chapitre 10
Angles.
(Voir : 6ème, chapitre 4.)
I)
Vocabulaire
Définitions : s
• Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté en commun, et sont situés
de part et d'autre (de chaque côté) de ce côté.
• Des angles sont complémentaires (ou supplémentaires) si leur somme est égale
à 90° (ou 180°).
Conséquences :
• Les angles d'un triangle sont supplémentaires.
• Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
Exemples :
• Angles adjacents.
x
(« Côte à côte » !)
n + n
n
xOy
yOz = xOz
y
O
z
Angles complémentaires.
x
•
y
•
•
n + n
On a xOy
yOz = 90°.
n et n
Donc les angles xOy
yOz sont (adjacents)
complémentaires.
O
z
Angles supplémentaires.
v
•
•
•
u
O
w
n + vOw
n = 180°.
On a uOv
n et vOw
n sont (adjacents)
Donc les angles uOv
supplémentaires.
Contre-exemples :
Les angles suivants ne sont pas adjacents !
II)
Figures clés
A) Deux droites sécantes
Définition : s
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5ème – Ch. 10
Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et les côtés de l'un
prolongent ceux de l'autre.
Propriété : s
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Exemple :
y
z
(« tête à tête » !)
n et n
• On a xOz
yOt opposés par le sommet O.
O
•
t
x
n = n
n = xOt
n ).
Donc xOz
yOt (et zOy
Contre-exemples :
Les angles suivants ne sont pas opposés par le sommet !
B) Deux droites et une sécante
Définitions :
Deux droites coupées par une sécante forment deux paires d'angles alternesinternes et quatre paires d'angles correspondants.
Exemples :
(d)
( d1 )
A1
2
l
l ; m
m sont des angles alternes-internes.
A3 et B
A4 et B
1
2
4
3
2
( d2 )
1
l
l ; m
m ; l
l ; m
m sont des
A1 et B
A2 et B
A3 et B
A4 et B
1
2
3
4
angles correspondants.
4
B3
Figure clé
Remarques :
• Alternes (de part et d'autre de la sécante) - Internes (entre les droites)
• Correspondants (même position par rapport à la sécante et à chacune des
droites) ; ni « alternes », ni « internes ».
Propriétés : s (énoncés directs)
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes
correspondants) définis par une sécante sont de même mesure.
Traduction par une figure : (axiome d’Euclide)
Hypothèses
(d)
d1
Si
alors
b̂
d
â
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(ou
Conclusion
a = b
2
et d1 // d2
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5ème – Ch. 10
Exemple :
(Δ)
D
B
(d 1)
70°
C
A
•
•
•
(d 2)
(d1) // (d2)
n
n
n =
On a, (d1) // (d2), CAB et ABD alternes-internes déterminés par (Δ) et CAB
70°.
Or, si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes définis par
une sécante sont de même mesure.
n.
n = 70° = ABD
Donc, CAB
Cas particulier :
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
III)
Reconnaître des parallèles
Propriétés : s (énoncés réciproques)
Si deux angles alternes-internes (ou correspondants) définis par deux droites et une
sécante sont de même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
Traduction par une figure :
Hypothèses
(d)
d1
Si
â
Conclusion
alors
b̂
d
2
d1 // d2
et a = b
Exemple :
m = 85°.
On considère la figure clé § II)B) où m
A2 = 85° et B
2
m correspondants formés par d1, d2 et la sécante (d) et m
m.
• On a, m
A2 et B
A2 = B
2
2
• Or, si des angles correspondants définis par deux droites et une sécante sont de
même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
• Donc, (d1) // (d2).
Cas particulier :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles
entre elles.
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