DA thématique

Document
d’accompagnement
thématique
Inspection de l'Enseignement Agricole
Diplôme:
BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE
Sciences et Technologies de l’Agriculture et du vivant (STAV)
Thème :
Indications pour la mise en place de l’épreuve E4 : Mathématiques
Ce document d’accompagnement présente des exemples d’exercices qui pourraient constituer les futurs
sujets de l’épreuve E4 à partir de la session de 2015. L’objectif est, à ce jour, de donner l’esprit et de
montrer l’évolution de cette épreuve.
Rappel de la définition de l’épreuve
(Note de service DGER/SDPOFE/N2013-2075 du 28 mai 2013 concernant l’épreuve EPT E4)
Il s’agit d’une épreuve écrite terminale d’une durée de 2 heures.
Il s’agit d’évaluer les capacités développées dans le cadre de l’objectif 1 du module M4 « Mobiliser des
concepts et des raisonnements mathématiques pour résoudre des problèmes dans des champs
d’application divers ».
En outre, la nature même des mathématiques requiert la mobilisation et l’utilisation des acquis des classes
antérieures.
Le sujet est constitué d’exercices ou de problèmes portant sur le programme de mathématiques du module
M4 (Objectif 1). Toutefois les savoirs et savoir-faire requis dans les items 1.1.1 ; 1.1.2 ; 1.1.3 ; 1.1.4 ; 1.2.1 ;
1.2.3 et 1.2.5 ne peuvent constituer le ressort exclusif de ces exercices et problèmes.
Indications complémentaires
Conformément aux évolutions du référentiel, il s’agit aussi de faire évoluer l’épreuve, et par delà,
l’enseignement qui y prépare dès la classe de première (en continuité avec celui de seconde GT). Il
convient de mettre en œuvre des raisonnements scientifiques par la mobilisation et l’organisation de
connaissances (acquises ou fournies) et ce à des fins de résolution de problèmes concrets. Les élèves
doivent donc y être préparés en conséquence.
Les quatre exercices proposés ci-dessous donnent des exemples de nouveaux questionnements
possibles. Ils ne doivent plus viser uniquement (ou majoritairement) à évaluer une restitution systématique
et étendue de savoirs et savoir-faire, mais doivent permettre de montrer en quoi les apports et les
raisonnements mis en œuvre en mathématiques sont une aide précieuse dans la prise de décision.
A ces fins, les contextes des exercices posent des problématiques réelles, certaines questions étant
volontairement ouvertes, permettant plusieurs réponses possibles, afin d’éviter que la résolution d’un
problème ne soit qu’une exécution mécanique et programmée d’opérations élémentaires et/ou de
procédures très guidées. L’idée est de donner du sens à l’étude de notions mathématiques. Ces exercices
seront proposés dans ce document dans un deuxième temps sous une forme très ouverte pour offrir un
support possible de travail de recherche en classe.
Il est essentiel de sortir d’un certain stéréotype de sujets contraire à la démarche scientifique. Cela
passe par un changement des pratiques dont chacun doit se saisir progressivement. Il faut être curieux des
thèmes d’étude dans les matières techniques et professionnelles, envisager des rencontres avec des
ingénieurs, des chercheurs dans des instituts tels que l’INRA, prendre contact avec des RMT (réseaux
mixtes technologiques) afin de connaitre des problématiques réelles et concrètes qui pourraient fournir un
contexte d’apprentissage pertinent, un support d’enseignement et des contextes d’évaluation. Par ailleurs,
les thèmes tirés des préoccupations quotidiennes des élèves et de l’actualité demeurent toujours des bases
intéressantes pour ces contextualisations.
Cela ne signifie pas pour autant la suppression de l’évaluation de notions mathématiques pour ellesmêmes, mais cela doit être réalisé dans le cadre du contexte de l’exercice proposé.
Un exemple de sujet complet est proposé en fin de document montrant comment certains types
d’exercices de l’ancien référentiel (issus d’examens d’anciennes sessions) peuvent rester d’actualité. Ce
n’est qu’un exemple de modèle possible ; seuls les membres des commissions de choix de sujets
seront, à l’automne, concepteurs des sujets. Un sujet ne doit toutefois pas comporter uniquement des
exercices originaux, mais cette tendance doit s’intensifier au cours des années. L’architecture du sujet
devrait plutôt privilégier à l’avenir quatre exercices, plutôt que deux exercices et un problème, afin de
pouvoir aborder davantage de notions.
Contrairement aux sessions précédentes, il n’y aura plus de formulaire systématique dans les
sujets.
L’utilisation de la calculatrice doit être développée, toujours avec pertinence, surtout pour donner
des réponses avec une précision et une facilité bien supérieure à la technique « papier crayon ». Cela
n’enlève rien à la formation intellectuelle, bien au contraire. Le travail du technicien, voire de l’ingénieur est
de justifier une démarche à partir de l’interprétation de résultats obtenus grâce aux outils numériques dont il
dispose.
Les QCM restent d’actualité. La justification peut avoir un sens. Travailler sur la justification ou la
notion de contre-exemple pour mettre en défaut une assertion est très formateur dans la construction d’un
raisonnement en mathématiques.
Concernant l’algorithmique, il est essentiel que les élèves sachent construire et lire un algorithme
simple, toute virtuosité est exclue.
Il sera donné des éléments de réponse sur les quatre exercices. Parfois plusieurs réponses
peuvent être possibles. L’intérêt est de juger de la pertinence du résultat et de l’argumentation.
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
2
Exercices contextualisés
Exercice 1
Méthode de capture – recapture
On désire évaluer le nombre d’individus N d’une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on
capture 800 individus de cette espèce. Ces individus sont marqués, puis relâchés. Dans un deuxième
temps, on prélève 1000 animaux de cette même espèce successivement, en relâchant chaque individu
avant d’en capturer un autre, afin que les tirages soient indépendants. On compte 250 individus déjà
marqués.
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’individus marqués que l’on peut obtenir
lors du prélèvement de 1000 individus de cette espèce.
800
1. Justifier que X est distribué suivant la loi binomiale de paramètre n = 1000 et p =
N
2. A l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau suivant :
N
P(X=250)
2400
2,16×10
2500
2,252×10
2600
8,646×10
2700
0,0001436
-9
-7
-6
2800
2900
0,0052756
3000
0,0141761
3100
0,0245461
3200
0,0291241
3300
3400
0,0161025
3500
0,0081391
3600
0,0033252
3700
0,0011287
3800
0,0003259
3900
8,175×10
4000
1,813×10
-5
-5
3. A la lecture de ce tableau, donner un intervalle de longueur 600 auquel N pourrait appartenir en
expliquant votre démarche.
4. En utilisant l’échantillon de 1000 animaux prélevés, justifier qu’une estimation de la proportion (sur
1
l’île) d’animaux marqués de cette espèce est
, puis donner un intervalle de confiance au niveau
4
-5
0,95 (on donnera un arrondi à 10 près des bornes de l’intervalle).
5. En déduire un intervalle auquel N appartient sous les conditions de la question précédente.
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
3
Exercice 2 Durée de retour de fortes précipitations
On désire choisir un modèle qui permettra d’avoir une idée des périodes de retour de fortes précipitations.
L’idée n’est pas de prévoir la date de ces événements, mais une périodicité afin d’envisager les
infrastructures nécessaires qui peuvent limiter les conséquences de ces fortes précipitations. On s’appuie
sur le relevé statistique suivant, concernant une ville du sud de la France qui donne en fonction de la
hauteur (en millimètres) recueillie en trois heures, la durée de retour entre deux situations de fortes
précipitations exprimée en années. Par exemple, on peut s’attendre, pour cette ville, à ce que tous les 5
ans, il y ait un épisode pluvieux tel que l’on puisse avoir 70 mm de précipitations en trois heures.
h en mm
Durée retour
(en année)
20
1
50
2
60
3
70
5
90
10
120
20
140
30
160
50
200
100
1. On admet que l’on peut modéliser la durée de retour de fortes précipitations en fonction de la
hauteur h exprimée en millimètres, par une fonction f définie sur [20 ; 200] par f (h ) = a e b h
où a
et b sont deux réels. En utilisant les valeurs surlignées du tableau, déterminer les valeurs de a et b,
arrondies au millième.
Pour la suite, on considère comme expression, f (h ) = 0,57 e0,028 h .
2. On a représenté le nuage de points correspondant au relevé statistique.
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
4
Construire la représentation graphique de f dans le repère ci-dessus.
3. Résoudre f ( x ) = 12. On donnera un ordre de grandeur de la réponse grâce à la représentation
graphique, puis on le déterminera par le calcul à l’aide du modèle exprimé par la fonction f, les
résultats étant arrondis à l’unité.
4. Le maire de cette commune veut engager des travaux d’infrastructure, valables pour les 40
prochaines années, permettant la canalisation de l’eau en cas de fortes précipitations. Une
entreprise propose un projet permettant de gérer des précipitations au maximum de 145 mm sur 3
heures. Le maire doit-il retenir le projet de cette entreprise ? Argumenter la réponse.
5. Pour une ville du centre de la France, on a le relevé suivant :
h en mm
Durée retour
(en année)
20
1
25
3
30
5
40
10
50
20
60
30
65
100
Le modèle précédent utilisé est-il adapté ? Justifier.
Exercice 3
Evolution d’une tumeur cancéreuse
Tout cancer débute par la production d’une cellule cancéreuse. Au cours du temps, cette cellule va produire
un ensemble de cellules filles appelé tumeur. On observe que le temps de doublement T d’une tumeur
cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis pour une tumeur donnée de doubler son nombre de cellules) est
sensiblement constant pour un type de cancer donné. Ce temps dépend cependant du type de cancer.
Ce temps de doublement peut être évalué sur des cellules prélevées dans la tumeur et mises en culture.
Soit (xn) la suite égale au nombre de cellules cancéreuses au bout de n périodes. On pose x0 = 1.
9
Actuellement, la plus petite tumeur cancéreuse détectable est constituée de 10 cellules, ce qui correspond
à peu près à une tumeur de masse égale à 1 gramme.
n
1. Justifier que xn = 2 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables
X ; N : entiers naturels
Traitement
Affecter 1 à X
Affecter 0 à N
9
Tant que X < 10
Affecter 2X à X
Affecter N + 1 à N
Fin tant que
Afficher N.
Quel est l’objectif de cet algorithme ?
3. De source médicale, le temps nécessaire à la détection d’une tumeur issue d’une seule cellule
cancéreuse est égal à 30 fois son temps de doublement. Justifier cette affirmation.
Pour un cancer du sein T = 14 semaines.
4. On part d’une cellule cancéreuse. Combien de temps doit-il s’écouler pour que celui-ci soit
détectable dans le cas d’un cancer du sein ?
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Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
5
5. Après le traitement d’un cancer du sein, il est d’usage de surveiller la personne traitée sur une
période de 5 ans. Sachant qu’un traitement chirurgical peut laisser en résidu indétectable, une
3
masse tumorale de 10 cellules, expliquer l’origine du choix de 5 ans comme période de
surveillance d’un cancer du sein après traitement chirurgical.
Exercice 4
Surbooking aérien.
Une compagnie aérienne possède un avion de 300 places. On s’intéresse à un trajet quotidien et on relève
le nombre de personnes qui se sont présentées pour 300 billets vendus.
Un relevé statistique sur quatre années (que nous supposerons toutes de 365 jours) permet de faire état de
l’occupation de cet avion.
Nombre de Nombre de Nombre de Nombre de
personnes personnes personnes personnes
présentées présentées présentées présentées
Date
01-janv
299
285
280
296
02-janv
285
280
278
277
03-janv
291
282
284
290
04-janv
285
274
276
297
05-janv
300
288
300
292
…..
…..
…..
…..
…..
26-déc
283
282
285
274
27-déc
286
277
276
284
28-déc
291
280
300
294
29-déc
288
282
290
298
30-déc
286
288
283
264
31-déc
296
270
284
289
Moyenne
284
286
284
285
1. Déterminer le taux moyen d’occupation sur cette période de quatre années.
On considèrera par la suite que l’avion n’est rempli qu’à 95%.
2. Afin de rentabiliser au mieux le voyage, la compagnie décide de vendre sur chaque vol 10 places
supplémentaires. On suppose que toutes les places sont vendues.
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de personnes se présentant un jour
donné.
Montrer que X est distribué suivant la loi binomiale de paramètres n = 310 et p = 0,95
Pour la suite, les résultats finaux seront arrondis au millième.
3. Déterminer P( X ≤ 300 ).
4. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve dans une situation embarrassante, c’est-à-dire
qu’au moins 301 personnes se présentent un jour donné.
5. La compagnie cherche à éviter trop de situations embarrassantes.
On appelle pn la probabilité qu’au moins 301 personnes se présentent un jour donné pour n places
vendues (n étant le même chaque jour de l’année).
On appelle Yn la variable aléatoire égale au nombre de situations embarrassantes au cours de
l’année. Yn est distribuée suivant la loi binomiale de paramètres 365 et pn
a. A l’aide des valeurs obtenues dans le tableau suivant, compléter la ligne donnant
l’espérance de Yn.
n
pn
301
302
-7
2×10
303
-6
304
305
306
307
308
309
310
-5
3,2×10 2,6×10 0,00014 0,00057 0,00188 0,00522 0,01256 0,02667 0,0509
E( Yn )
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
6
b.
En déduire le nombre de places à vendre pour éviter d’avoir, en moyenne, plus de 4
situations embarrassantes au cours d’une année.
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
7
Eléments de correction
Un indicateur d’évaluation permet d’apprécier l’acceptabilité de la réponse fournie.
L’atteinte des critères est évaluée de manière globale, et non pas parcellaire. Elle ne doit pas être
ème
de point.
subdivisée au 0,25
Une réponse fausse mais qui atteste que le candidat a compris la question qui lui est posée ou la
problématique qui lui est soumise montre que ce dernier possède des connaissances ou a su
mobiliser des connaissances pour apporter cette réponse.
Cela doit être pris en compte positivement.
Exercice 1
Question
1
Méthode de capture – recapture
Indicateurs d’évaluation
Proposition de correction
Connaissance des
conditions d’utilisation de
la loi binomiale
800 individus ont été marqués sur une population de N individus
au total. La probabilité qu’un individu marqué soit choisi lors d’un
800
. Les 1000 tirages sont indépendants
tirage aléatoire est p =
N
car chaque individu est relâché.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 1000 et p =
2
Utilisation de la
calculatrice.
3
Prise d’initiative et
argumentation.
il n’existe pas une unique
réponse.
4
Utilisation d’un intervalle
de confiance avec le choix
de paramètres
800
N
pour N = 2800, P(X=250) = 0,0117561
pour N = 3300, P(X=250) = 0,0249383
L’idée est de comprendre que l’on observe ce qui a le plus de
chance de se produire (ce qui s’appelle le maximum de
vraisemblance). Il faut donc choisir les valeurs de N donnant les
probabilités les plus grandes. Tout intervalle significatif contenant
3200 (valeur de N pour laquelle la probabilité est maximale) est
accepté.
Ainsi [ 3000 ; 3600 ] convient, ainsi que [ 2900 ; 3500 ].
Grâce à l’échantillon de 1000 individus de l’espèce prélevés, on
en a obtenu 250 marqués. Ainsi, une estimation ponctuelle de la
250
1
proportion (sur l’île) d’animaux marqués est f =
= .
1000 4
On sait alors qu’un intervalle de confiance au niveau 0,95 de la
probabilité p est :

f (1 − f )
f (1 − f ) 
; f + 1,96
f − 1,96
 = [ 0,22316 ; 0,27684 ]
1000
1000 

p=
5
Faire le lien entre toutes
les questions.
On peut évidemment
accepter la résolution par
égalité
800
∈ [ 0,22316 ; 0,27684 ].
N
800
800
≥ 0,22316 ⇔ 800 ≥ 0,22316 N ⇔
≥ N ⇔ 3584,9 ≥ N
N >0
N
0,22316
800
800
≤ 0,27684 ⇔ 800 ≤ 0,27684 N ⇔
≤ N ⇔ 2889,8 ≤ N
N
>
0
N
0,27684
en donnant le bon intervalle arrondi à l’unité sachant que N est
entier, N ∈ [ 2890 ; 3584 ]
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
8
Exercice 2 Durée de retour de fortes précipitations
Question
Indicateurs
d’évaluation
Détermination
du modèle.
1
Valoriser la
mise en
équation et sa
résolution.
Proposition de correction
ae 20 b = 1
ae 20 b = 1
ae 20 b = 1

⇔  ae 160 b
⇔
 160 b
ae
e 140 b = 50
= 50
 20 b = 50
ae

1

≈ 0,572
a=
20 b


ln 50
=
1
ae
20 *
ae 20 b = 1


140
⇔
⇔
⇔
e
ln 50
140 b = ln 50
≈ 0,028
b =

ln 50
140

≈ 0,028
b =
140

Remarque : Si le candidat prend des valeurs approchées intermédiaires, il ne
trouvera pas le même résultat suivant qu’il utilise ae 20 b = 1 ou ae160 b = 50 ,
mais il faut toutefois valoriser de telles démarches.
2
3
Représentation
graphique
Résolution
graphique et
numérique.
Grâce à la représentation graphique, le maire peut s’attendre à un épisode
pluvieux dont le cumul sur 3h peut atteindre 109 mm.
Toute valeur cohérente avec le graphique réalisé par l’élève doit être prise en
compte
0,57 e 0,028 h = 12 ⇔ e0,028 h
4
Analyse d’une
situation grâce
à des outils vus
précédemment
5
Analyse d’une
situation
 12 
ln

12
0,57 
 12 

=
⇔ 0,028h = ln
≈ 109
⇔h=
0,028
0,57
 0,57 
Un travail analogue au précédent, qu’il soit graphique ou numérique, arrive
sur une période de 40 ans à un épisode de fortes précipitation d’environ 152
mm en 3h. Donc l’entreprise n’est pas à même d’offrir les infrastructures
nécessaires. Par ailleurs c’est sans compter qu’un épisode plus fort peut
s’intercaler.
Il faudra valoriser toute réflexion pertinente.
Pour la ville du centre de la France, on confronte les relevés au calcul par le
modèle (ou en plaçant les points sur le graphique précédent).
On note de très grandes disparités qui montrent que le modèle précédent
utilisé n’est pas adapté.
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Diplôme : Bac Techno STAV
Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
9
Exercice 3
Question
1
2
Evolution d’une tumeur cancéreuse
Indicateurs
d’évaluation
Modélisation
d’une situation.
Compréhension
d’un algorithme
Proposition de correction
Soit (xn) la suite égale au nombre de cellules cancéreuses au bout de n périodes
On part d’une cellule cancéreuse, donc x0 = 1.
Puis à chaque période le nombre de cellules doublent, donc xn+1 = 2 xn.
(xn) est donc une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2,
n
donc xn = 2 .
Remarque : il est assez probable qu’un certain nombre d’élèves résolvent cet
exercice de manière heuristique en écrivant la suite 1, 2, 4, 8, 16, ….. La
n
justification que cette suite correspond à la suite (2 ), s’il est fait, doit être
valorisée.
L’objectif de l’algorithme est de déterminer pour la suite (xn) le rang à partir
9
duquel (xn) dépasse 10 .
On cherche la valeur de n pour laquelle 2n ≥ 109
2n ≥ 109 ⇔ ln( 2n ) ≥ ln(109 ) ⇔ n ln( 2) ≥ ln(109 ) ⇔ n ≥
3
4
Résolution
d’une
inéquation
Interprétation
de résultat
dans une
situation réelle
ln(109 )
≈ 29,9
ln( 2)
L’utilisation de la table de valeur sur la calculatrice est acceptable sous réserve
que le candidat précise que la tumeur ne peut qu’augmenter avec le temps. La
programmation de l’algorithme également.
Si T = 14 semaines, alors le temps pour que cette tumeur soit détectable est 14×
30 = 420 semaines soit environ 8 ans.
3
Cela revient à fait le raisonnement précédent, mais avec x0 = 10 . On obtient
n
3
alors xn = 2 ×10 .
On obtient alors,
2n103 ≥ 109 ⇔ 2n ≥
5
Modélisation
d’une situation
analogue.
109
103
⇔ ln( 2n ) ≥ ln(10 6 ) ⇔ n ln( 2) ≥ ln(106 ) ⇔ n ≥
ln(106 )
≈ 19,9
ln( 2)
Donc il faut surveiller pendant 14×20 = 280 semaines, soit environ 5 ans.
Remarque : Là encore, l’utilisation de la table de valeur est acceptable si le
3
9
candidat précise bien que pour passer de 10 à 10 , il y a 20 périodes.
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Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques
Date : septembre 2014
10
Exercice 4
Surbooking aérien.
Question
Indicateurs
d’évaluation
1
Résolution
d’une
problématique
simple
2
Connaissance
des conditions
d’utilisation de
la loi binomiale
3
4
5a
5b
Utilisation de la
calculatrice
Utilisation de
l’événement
contraire
Bon choix des
paramètres
dans le calcul
d’une
espérance
Résolution
d’une
problématique
simple
Proposition de correction
La moyenne du nombre de jours d’occupation ayant été faite sur le même nombre
de jours, il suffit de prendre la moyenne des moyennes, soit
284 + 285 + 286 + 284
284,75
= 284,75 . Or
≈ 0,95
4
300
On peut alors affirmer qu’en moyenne l’avion n’a été, au cours de ces quatre
années, occupé qu’à environ 95%.
310 passagers sont susceptibles de se présenter, de manière indépendante, avec
une probabilité de 0,95.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes se présentant un jour
donné.
X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 310 et p = 0,95.
P( X ≤ 300) = 0,949 au millième près.
On cherche à calculer P( X ≥ 301) = 1 – P ( X ≤ 300) = 1 – 0,949 = 0, 051 au
millième près.
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
n
-7
-6
-5
pn 2×10 3,2×10 2,6×10 0,0001 0,0006 0,0019 0,0052 0,0126 0,0267 0,051
-5
E(Yn) 7×10 0,0011 0,0093 0,0506 0,2075 0,6861 1,906 4,5826 9,7341 18,577
On utilise E(Yn) = 365 pn
On cherche n tel que E(Yn) = 365 pn ≤ 4, soit n = 307
Version ouverte des quatre premiers sujets pour un travail en classe
Exercice 1 Méthode de capture – recapture
On désire évaluer le nombre d’individus N d’une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on
capture 800 individus de cette espèce. Ces individus sont marqués, puis relâchés. Dans un deuxième
temps, on prélève 1000 animaux de cette même espèce successivement, en relâchant chaque individu
avant d’en capturer un autre, afin que les tirages soient indépendants. On compte 250 individus déjà
marqués.
Déterminer un intervalle de confiance au niveau 0,95 auquel appartient la proportion d’animaux de l’espèce
étudiée, puis donner un encadrement de N.
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Exercice 2 Durée de retour de fortes précipitations
On désire choisir un modèle qui permettra d’avoir une idée des périodes de retour de fortes précipitations.
L’idée n’est pas de prévoir la date de ces événements, mais une périodicité afin de prévoir les
infrastructures nécessaires qui peuvent limiter les conséquences de ces fortes précipitations. On s’appuie
sur le relevé statistique suivant, concernant une ville du sud de la France qui donne en fonction de la
hauteur (en millimètres) recueillie en trois heures, la durée de retour entre deux situations de fortes
précipitations exprimée en années. Par exemple, on peut s’attendre, pour cette ville, à ce que tous les 5
ans, il y ait un épisode pluvieux tel que l’on puisse avoir 70 mm de précipitations en trois heures.
Durée retour
h en mm
(en année)
20
1
50
2
60
3
70
5
90
10
120
20
140
30
160
50
200
100
1. On admet que l’on peut modéliser la durée de retour de pluie en fonction de la hauteur h exprimée
en mm, par une fonction f définie sur [20 ; 200] par f (h ) = a e b h
où a et b sont deux réels.
Déterminer un modèle possible.
2. Le maire de cette commune veut engager des travaux d’infrastructure, valables pour les 40
prochaines années, permettant la canalisation de l’eau en cas de fortes précipitations. Une
entreprise propose un projet permettant de gérer des précipitations au maximum de 145 mm sur 3
heures. Le maire doit-il retenir le projet de cette entreprise ? Argumenter la réponse.
3. Pour une ville du centre de la France, on a le relevé suivant.
h en mm
Durée retour
(en année)
20
1
25
3
30
5
40
10
50
20
60
30
65
Le modèle précédent utilisé est-il adapté ? Justifier.
Exercice 3
100
Evolution d’une tumeur cancéreuse
Tout cancer débute par la production d’une cellule cancéreuse. Au cours du temps, cette cellule va produire
un ensemble de cellules filles appelé tumeur. On observe que le temps de doublement T d’une tumeur
cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis pour une tumeur donnée de doubler son nombre de cellules) est
sensiblement constant pour un type de cancer donné. Ce temps dépend cependant du type de cancer.
Ce temps de doublement peut être évalué sur des cellules prélevées dans la tumeur et mises en culture.
Pour un cancer du sein T = 14 semaines. Actuellement, la plus petite tumeur cancéreuse détectable est
9
constituée de 10 cellules, ce qui correspond à peu près à une tumeur de masse égale à 1 gramme.
Après le traitement d’un cancer du sein, il est d’usage de surveiller la personne traitée sur une période de 5
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3
ans. Sachant qu’un traitement chirurgical peut laisser, en résidu indétectable, une masse tumorale de 10
cellules, expliquer l’origine du choix de 5 ans comme période de surveillance d’un cancer du sein après
traitement chirurgical.
Exercice 4
Surbooking aérien.
Une compagnie aérienne possède un avion de 300 places. Un relevé statistique sur quatre années (que
nous supposerons toutes de 365 jours) permet de faire état que l’occupation de cet avion n’est que de 95%.
Que pensez-vous du fait de vendre 310 places ?
Exemple de sujet type bac
L’idée n’est pas de mettre que des sujets ouverts. Ce sujet n’est donné qu’à titre indicatif, pour
comprendre que certains types d’exercices en rapport avec l’ancien programme restent d’actualité. Toutes
les nouvelles thématiques sont susceptibles d’apparaître, mais ne peuvent être toutes présentes dans un
même sujet.
Exercice 1
Préciser pour chacune des propositions qui suivent si elle est vraie ou fausse puis justifier la
réponse.
Proposition 1
On admet que la variable aléatoire X, qui à une personne prise au hasard dans un pays donné, associe sa
taille en centimètres est distribuée suivant la loi normale de paramètres µ = 177,5 et σ = 6,5.
On peut dire qu’il y a environ 35 % d’habitants de ce pays qui mesurent plus de 180 cm.
Proposition 2
Une fonction définie sur ]
- ∞ ; + ∞[, strictement croissante et positive admet + ∞ comme limite en + ∞.
Proposition 3
u0 = 0
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par 
et v n = eu n pour tout entier naturel n.
un +1 = un − 2
La suite (v n ) est géométrique.
Proposition 4
∫
1
e 2 x dx =
0
∫
2
e x dx
0
Proposition 5
On jette une pièce équilibrée 10 fois.
La probabilité d’obtenir cinq piles et cinq faces est la même que celle d’obtenir 10 piles.
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Exercice 2 : (Sujet STAV Nouvelle – Calédonie 2013)
Une usine fabrique des toiles de pergola. Ces toiles peuvent présenter deux types de défauts :
• Un défaut de couleur de la toile.
• Un défaut d’étanchéité de la toile.
Sur un lot de 200 toiles, on obtient les résultats suivants :
Présente un défaut
d’étanchéité
Ne présente pas de
défaut d’étanchéité
Total
Présente un défaut de couleur
8
8
16
Ne présente pas de défaut de
couleur
4
180
184
Total
12
188
200
On admet que la répartition des deux types de défauts observée sur ce lot est identique en proportion à
celle de l’ensemble de la production.
Partie A
On prélève une toile au hasard dans la production.
1. Calculer la probabilité que cette toile présente les deux défauts.
2. Sachant que la toile présente un défaut de couleur, calculer la probabilité qu’elle présente aussi un
défaut d’étanchéité.
Partie B
Le coût de fabrication d’une toile est de 100 €. Toutes les toiles sont garanties et en cas de défaut, cette
garantie permet au client de faire réparer la toile aux frais du fabricant.
Les frais de réparation sont les suivants :
• 50 € pour un défaut de couleur uniquement ;
• 70 € pour un défaut d’étanchéité uniquement;
• 80 € pour les deux défauts.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque toile prélevée au hasard dans la production, associe son prix
de revient, c'est-à-dire son coût de fabrication augmenté éventuellement des frais de réparation.
1. Préciser les valeurs prises par X.
2. En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau
xi
100
150
P(X = xi)
3. Calculer la valeur exacte de l’espérance de X notée E(X).
Que représente cette valeur pour le fabricant ?
Exercice 3 : (d’après sujet STI 2D – STL Métropole juin 2013)
On éteint le chauffage dans une pièce d’habitation à 22 h. La température y est alors de 20 °C.
Le but de ce problème est d’étudier l’évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l’énergie
dissipée à l’extérieur, au cours de la nuit, de 22 h à 7 h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 °C.
On désigne par t le temps écoulé depuis 22 h, exprimé en heures, et par f( t ) la température de la pièce
exprimée en °C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction f définie sur [0; 9]
Partie A :
1. Prévoir le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0; 9].
On admet désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle [0; 9] par f (t ) = 9e −0,12t + 11
2. Justifier par un calcul mathématique le sens de variation trouvé à la question précédente.
3. Calculer f (9). En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quelle heure la température est inférieure à 15°C.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
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Partie B :
Le flux d’énergie dissipée vers l’extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction g telle que,
pour tout nombre réel t de l’intervalle [0; 9], g (t ) = 0,7e −0,12t .
L’énergie E ainsi dissipée entre 22 h et 7 h, exprimée en kilowattheures (kWh), s’obtient en calculant
l’intégrale
E=
∫
9
g (t )dt
0
1. Calculer la valeur exacte de l’énergie dissipée.
2. Déterminer une valeur arrondie de E à 0,1 kWh près.
Exercice 4
Méthode de capture – recapture
On désire évaluer le nombre d’individus N d’une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on
capture 800 individus de cette espèce. Ces individus sont marqués, puis relâchés. Dans un deuxième
temps, on prélève 1000 animaux de cette même espèce successivement, en relâchant chaque individu
avant d’en capturer un autre, afin que les tirages soient indépendants. On compte 250 individus déjà
marqués.
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’individus marqués que l’on peut obtenir
lors du prélèvement de 1000 individus de cette espèce.
800
1. Justifier que X est distribué suivant la loi binomiale de paramètre n = 1000 et p =
N
2. A l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau suivant :
N
P(X=250)
2400
2,16×10
2500
2,252×10
2600
8,646×10
2700
0,0001436
-9
-7
-6
2800
2900
0,0052756
3000
0,0141761
3100
0,0245461
3200
0,0291241
3300
3400
0,0161025
3500
0,0081391
3600
0,0033252
3700
0,0011287
3800
0,0003259
3900
8,175×10
4000
1,813×10
-5
-5
3. A la lecture de ce tableau, donner un intervalle de longueur 600 auquel N pourrait appartenir en
expliquant votre démarche.
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4. En utilisant l’échantillon de 1000 animaux prélevés, justifier qu’une estimation de la proportion (sur
1
l’île) d’animaux marqués de cette espèce est
, puis donner un intervalle de confiance au niveau
4
-5
0,95 (on donnera un arrondi à 10 près des bornes de l’intervalle).
5. En déduire un intervalle auquel N appartient sous les conditions de la question précédente.
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