8 Angles et parallélisme [G2] 3 semaines Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique. Coder une figure. Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture. • Position relative de deux droites dans le plan. • Triangle : somme des angles. • Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes. Caractérisation angulaire du parallélisme. Connaître le vocabulaire et reconnaître des angles alterne-internes. Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux droites parallèles et une sécante et leurs réciproques. Triangle, somme des angles d’un triangle. Connaître et utiliser dans une situation donnée le résultat sur la somme des angles d’un triangle. Savoir l’appliquer au cas particulier du triangle équilatéral, d’un triangle rectangle et du triangle isocèle. Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle rectangle, triangle équilatéral. Sur papier uni, reproduire un angle au compas. Angles et parallélisme Activité : Dessiner un triangle quelconque. Découper ses 3 angles et les assembler. Que remarque-t-on ? S1 + S2 I. Somme des angles d’un triangle Propriété : La somme des angles d’un triangle fait 180° Conséquences : – Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60° – Dans un triangle rectangle, l’angle droit mesure 90°, donc la somme des 2 autres angles fait 90° (– Dans un triangle rectangle isocèle, les angles font 90°, 45° et 45°) Rappel : – Dans un triangle isocèle, les 2 angles à la base sont égaux Exercices : fiche + 3 et 4 p 181 – 5 à 7 p 181 Problèmes : 9 p 181 – 26 – 27 – 29 p 183 – 30 – 36 – 33 p 184 – 59 p 187 Activité 1 p 192 S3 II. Angles adjacents – Angles opposés par le sommet 1. Angles adjacents Définition : 2 angles sont adjacents si : - Ils ont le même sommet - Ils ont un côté commun - Ils ne se superposent pas © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques Exemple : z xOy et yOz sont adjacents O y x Remarque : xOy + yOz = xOz 2. Angles opposés par le sommet Définition : 2 angles sont opposés par le sommet si : - Ils ont le même sommet - Ils sont symétriques par rapport au sommet v Exemple : t’ O t tOv et t'Ov’ sont opposés par le sommet v’ Remarques : - tOv = t'Ov’ - t'Ov et tOv’sont aussi opposés par le sommet Exercices : 1 – 2 – 3 – 6 p 197 – 18 à 20 p 199 – 25 et 26 p 199 et éventuellement fiche © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques S4 III. Angles complémentaires – angles supplémentaires 1. Angles complémentaires Définition : On dit que 2 angles sont complémentaires si leur somme fait 90°. Remarque (orale) : Son Q – complémentaires et quatre-vingt dix Exemple : z y 70° 20° x O Remarque (orale) : si l’un fait 30°, l’autre … Remarque : 2 angles complémentaires ne sont pas forcément adjacents. 2. Angles supplémentaires Définition : On dit que 2 angles sont supplémentaires si leur somme fait 180°. Remarque (orale) : Son S – supplémentaires et cent quatre vingt Exemple : t 120° 60° A v Remarque (orale) : si l’un fait 90°, l’autre … Remarque : 2 angles supplémentaires ne sont pas forcément adjacents. Exercices : 4 – 5 p 197 – 21 à 23 p 199 – 32 p 200 © Julien Fonteniaud u Professeur de mathématiques IV. Tracer et reproduire un angle S5 1. Rappels – Tracer un angle Angle aigu Angle droit Angle obtus Angle plat La mesure de cet angle est comprise entre 0° et 90° Cet angle mesure 90° La mesure de cet angle est comprise entre 90° et 180° Cet angle mesure 180° Exercice : Fiche (Correction) 2. Reproduire un angle y' y 30° 30° O x O’ x' Méthode : Pour reproduire un angle, i. On trace la demi-droite [O’x’) ii. On trace un arc de cercle sur l’angle de départ iii. On mesure au compas la distance formé par l’angle et les 2 points d’intersection avec l’arc de cercle puis on la reporte sur le 2ème angle iv. On trace la demi-droite [O’y’) Exercices : Fiche (à finir en devoirs) Activité : Fiche S6 V. Angles alternes internes – angles correspondants 1. Angles alternes internes Définition : Si 2 droites sont coupées par une sécante, alors on appelle angles alternesinternes, les couples d’angles : © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques t’ o Entre les 2 droites o De part et d’autre de la sécante o Non adjacents A x x’ y’ Exemple : Les angles y’Bt’ et xAt sont situés : Entre les 2 droites (xx’) et (yy’) y De part et d’autre de la droite (tt’) Ils ne sont pas adjacents On dit qu’ils sont alternes internes B t Remarque : x’At et yBt’ sont aussi alternes internes. 2. Angles correspondants Définition : Si 2 droites sont coupées par une sécante, alors on appelle angles correspondants, les couples d’angles : o L’un entre les 2 droites, l’autre à l’extérieur o Du même côté de la sécante t’ o Non adjacents A x Exemple : Les angles t’Ax’ et t’By’ sont situés : Du même côté de (tt’) L’un entre les droites (xx’) et (yy’) L’autre, à l’extérieur des 2 droites, y non adjacent au premier On dit qu’ils sont correspondants. x’ y’ B t Remarque : t’Ax et yBt’ sont aussi correspondants. Exercices : 7 – 8 p 197 – 31 p 199 (27 à 30) Interro Correction exercices + Introduction Geogebra S7 + S8 VI. Caractérisation du parallélisme Propriété : Si 2 angles alternes internes ou si 2 angles correspondants sont égaux, alors les 2 droites qui les forment sont parallèles. Remarque : la réciproque est vraie : Propriété réciproque : Si 2 droites sont parallèles alors les angles alternes internes (ou les angles correspondants) formés à l’aide d’une 3ème droite sont égaux. Exemple : ̂ ˆ sont alternes internes et égaux donc les droites sont parallèles. © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques Exemple de rédaction utilisant un chaînon déductif o Je sais que : ……… hypothèse (ce que l’on sait) Je sais que les angles sont alternes internes et égaux o Or : …….. propriété Or si 2 angles alternes internes ou si 2 angles correspondants sont égaux, alors les 2 droites qui les forment sont parallèles o Donc : ……… conclusion Donc les droites sont parallèles Exercices : 11 à 14 p 198 (calculs d’angles) – 37 et 38 p 200 15 – 16 – 17 p 198 – 35 – 36 et 39 p 200 (montrer que des droites sont parallèles) Contrôle © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques