Cellule de Pockels

Cellule de Pockels
Effet Pockels: anisotropie induite par le champ E
Cellule de Pockels: structure de base
Type (1)
+
laser
Type (2)
+
laser
↔
–
↔ : Axe optique
↔
: Cristal uni-axe
↔
–
électrode
Conducteur (couche de métal)
Cellule de Pockels: principe d’opération
Type (1) comme exemple
1. Sans champ Eext
Sortie: même polarisation
Laser polarisé
linéairement
+
↔
sortie
Cristal devient uniaxe
- décomposition en 2 ondes avec
–
Eext
↔ : Axe optique
↔
2. Avec champ Eext
: Cristal uni-axe
2 vitesses de propagation
- polarisation de la sortie dépend
de l’ampleur du champ Eext
- cristal devient une lame d’onde
contrôlée par le champ électrique.
Question: pourquoi?
Interprétation qualitative
Type 1
↔ : Axe optique
+
Laser polarisé
linéairement
↔
–
e
e e
e +
+
+
+
↔
sortie
Eext
: Cristal uni-axe
Conséquence: Déplacement nonuniform mais périodique (uniaxe)
des électrons par rapport aux ions
moléculaires chargées positivement.
y’
E x’
P||
Onde sphérique,
v||=c/n||
P⊥
Onde sphérique,
v⊥=c/n⊥
onde plane
y’ || Eext
Eext
v|| ≠ v⊥→2 ondes, 2
vitesses→biréfringence
→lame d’onde
Eext
↔ : Axe optique
+
↔
Cristal uni-axe
Type (2)
laser
–
Eext
Génération d’une polarisation
non-unoiforme mais périodique
(uniaxe) permanente ∆P.
∆P
+
+ e
+ e
+
+ e
+ e
+ e
e
E
P||
Onde sphérique,
v||=c/n||
P⊥
Onde sphérique,
v⊥=c/n⊥
e
Onde plane
v|| ≠ v⊥→2 ondes, 2
vitesses→biréfringence
→lame d’onde
Eext
↔ : Axe optique
+
↔
Cristal uni-axe
Type (2)
laser
–
Eext
Génération d’une polarisation
non-unoiforme mais périodique
(uniaxe) permanente ∆P.
∆P
+
+ e
+ e
+
+ e
+ e
+ e
e
E déplacé
E
E
e
Onde plane
Milieu → anisotrope non-uniform dans l’espace parallèle aux plans
cristallins . E déplacé induit une P anisotrope → 2 ondes avec 2
polarisations ⊥ ; 2 vitesses.
Analyse plus quantitative:
anisotropie optique
(voir Chin, Ch. 6 et 8)
Anisotropie normale (naturelle)
E
(laser) Onde plane É-M
Milieu optique
P
Onde plane
Exemple: uniaxe
P
Axe optique
Chaque micro-volume de P émet de la radiation:
ondes sphérique et ellipsoïdale. Nous voulons trouver
les vitesses de ces deux ondes, c/n, donc, les indices n.
(laser) Onde plane É-M
E
Milieu optique
P
Onde plane
Plus quantitativement, on cherche la solution pour n ou ε.
La polarisation induite P: Σ(moments dipolaires)/volume
P = εoχE
D ≡ εE
≡ P + εoE = εo(1+χ )E
n2 = ε/εo
= 1+χ (fonction de P)
v = c/n (fonction de P)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Milieu isotrope: (n,ε)= cte (toutes directions de propagation)
Milieu anisotrope: (n,ε) ≠ cte (dépend de la direction de propagation )
}⇔
Milieu isotrope: (n,ε) = cte (toutes directions de propagation)
Milieu anisotrope:(n,ε)≠cte (dépend de la direction de propagation)
ε
0
D


1

r
r


Milieu isotrope: D = εE ↔ D2 =  0 ε
 
 D3   0 0
D1   ε11

v ~r
  
Milieu anisotrope: D = ε E ↔ D2 = ε 21
  
 D3   ε 31
ε12 ε13  E1 
ε 22 ε 23  E2 
 
ε 32 ε 33  E3 
≠
i.e. D E
0  E1 
 
0  E2 i.e. D||E
 
ε  E3 
On peut prouver que (voir Chin, ch. 6)
On peut diagonaliser ε~ :
ε ij = ε ji
0 
 ε11 0
ε~ =  0 ε 22 0 


0 ε 33 
 0
Conséquence:
Densité d’énergie électrique du
champ É-M dans le milieu, We:
r r
We = ( 1 / 2 )E ⋅ D
2We = ( E1
ou
2We = (Ex
2
2We = ε x E x
2We =
D x2
εx
E2
0  E1 
 ε11 0
E3 ) 0 ε 22 0  E2 

 
0 ε 33  E3 
 0
Ey
ε x

Ez ) 0
0

2
+ ε y Ey
+
D y2
εy
+
2
+ ε z Ez
D z2
εz
0
εy
0
0  E x 
 
0  E y 
ε z  Ez 
D x2
D y2
D z2
(1)
+
+
εx εy εz
r
D
r
Soit r ≡ ( x y z ) ≡
( sans dim ension)
2Weε 0
z
r ~r
εi
2
ni ≡ , (i = x, y, z ); D = ε E
ε0
2We =
Éq. (1) →
r
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
nx n y nz
(Ellipsoïde d’indice)
y
x
La trajectoire de r sur la surface de l’ellipsoïde donne les solutions pour n.
2We =
D x2
εx
+
D y2
εy
+
r
r ≡ (x
D z2
εz
ni2
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
nx n y nz
y
z) ≡
r ~r
εi
≡
; D = εE
ε0
r
D
2We ε 0
( sans dim ension )
z
r
(Ellipsoïde d’indice)
y
La trajectoire de r sur la surface de
l’ellipsoïde donne les solutions pour n.
x
Interprétation physique
r
r ≡ (x
y
z) ≡
r
D
2We ε 0
=
r
~
εE
2We ε 0
=(
ε~
2We ε 0
r
)E
i.e. r est la réponse du milieu face au E dans un micro-volume à (0,0,0).
2
2
2
z
Ellipsoïde d’indice
x
y
z
+ 2 + 2 =1
2
nx n y nz
r
r ≡ (x
y
r
D
z) ≡
2Weε 0
Pour une direction de propagation, k̂ , la
solution de r est limitée à la trajectoire de
l’ellipse dont la surface est ⊥ à k̂ .
k̂
r
y
x
Q kˆr ⊥ Dr rr ; voir Chin , ch .6 




i.e. la surface de l’ellipse coïncide avec le front d’onde plane
Note: La trajectoire de r sur la surface de l’ellipsoïde donne
les solutions pour n
Pendant la propagation, le champ D varie autour de l’ellipse.
Ellipsoïde d’indice
r
r ≡ (x
y
Pendant la propagation, le champ D
varie autour de l’ellipse.
r
D
z) ≡
2Weε 0
y
O
x
Chaque D correspond à une n, donc, une vitesse;
2 D ↔ 2 P ↔ 2 sources de radiation ↔ 2 ondes
avec 2 vitesses/indices différentes:
D1 = D10 cos( ωt − k1z' );
D2 = D20 cos( ωt − k2 z' );
k̂
r
Note: La trajectoire de r sur la surface de
l’ellipsoïde donne les solutions pour n;
i.e. les solutions de D autour de l’ellipse.
On décompose D en 2 vecteurs, D1
et D2 dans les direction 1 et 2.
z
k1 = ωn1 / c
k2 = ωn2 / c
r
z’: position de O dans la direction de propagation k̂
D2
r
O
D1
Ellipsoïde d’indice
r
r ≡ (x
y
r
D
z) ≡
2Weε 0
Pendant la propagation, le champ D dans
ce front d’onde plane varie autour de l’ellipse.
D1 = D10 cos( ωt − k1z' );
D2 = D20 cos( ωt − k2 z' );
k1 = ωn1 / c
k2 = ωn2 / c
y
O
x
r
z’: position de O dans la direction de propagation k̂
D20
↔ 2 ondes avec une différence de phase ε:
D1 = D10 cos( ωt − k1z' )
D2 = D20 cos( ωt − k1z' +ε )
ε = (k1 − k2 )z'
k̂
r
Note: La trajectoire de r sur la surface de
l’ellipsoïde donne les solutions pour n
↔ 2 ondes avec 2 vitesses/indices différents:
z
O
D10
Ellipsoïde d’indice
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
nx n y nz
r
r ≡ (x
r
z, k̂
(1)
y
r
D
z) ≡
2Weε 0
y
x
Pour une direction de propagation, k̂
la solution de r est limitée à la
trajectoire de l’ellipse dont la surface est ⊥ à k̂
x2 y 2 z 2
Cas spécial 1: nx = ny = n0 . (1) → 2 + 2 + 2 = 1 ↔ uniaxe
n0 n0 nz
r
si k̂ est dans la direcion de z; x 2 y 2
+ 2 = 1 → l’axe z : l’axe optique.
→ l’ellipse devient un cercle.
2
n0 n0
z,
Ellipsoïde d’indice
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
nx n y nz
r
r ≡ (x
(1)
y
r
D
z) ≡
2Weε 0
y
x
Cas spécial 2: nx = ny = nz = n0 .
z
x2 y 2 z 2
(1) → 2 + 2 + 2 = 1 ↔ Milieu isotrope
n0 n0 n0
y
x
Résumé:
(laser) Onde plane É-M
E
Milieu optique
P
Onde plane
La réponse du milieu optique lors de l’interaction avec
le champ E de l’onde E-M est fondamentalement P.
Q P = εoχE → χ est considéré comme la réponse.
QD ≡ εE ≡ P + εoE = εo(1+χ )E
→ D ou ε est considéré comme la réponse.
r r
QWe = ( 1 / 2 )E ⋅ D ↔ Ellipsoïde d’indice

 x2 y 2 z 2
 +

1
+
=
 n2 n2 n2

y
z
 x

∴ Ellipsoïde d’indice est considéré comme la réponse.
Bref:
(laser) Onde plane É-M
E
Milieu optique
P
Onde plane
La réponse du milieu optique lors de l’interaction avec
le champ E de l’onde E-M
↔ P (polarisation induite)
↔D
↔ε
↔ n (nx, ny , nz)
2
2
2
x
y
z
↔
+ 2 + 2 =1
2
nx n y nz
(Ellipsoïde d’indice)
Anisotropie induite par la
force externe
Changement de l’indice par une force externe
Si une force est appliqué sur le milieu, il va induire
un changement ∆P;
Forces:
mécanique, électrique, magnétique, acoustique, etc.
Un changement ∆P ↔ un changement au P
↔ Un changement à la réponse du milieu optique
↔ Un changement à l’indice ou l’ellipsoïde d’indice.
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1⇒
2
nx n y nz
x2 y 2 z 2
 force externe  = 1
+
+
+
∆
M


2
2
2


nx n y nz
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
 force externe  = 1
+
+
=
1
⇒
∆
+
+
+
M


2
2
2
2
2
2


nx n y nz
nx n y nz
Changement de l’indice par la force électrique
Force externe = tension électrique (V)
l’ellipsoïde d’indice →
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 + ∆M (V ) = 1
2
nx n y nz
Conséquence de ∆M(V):
rotation de l’ellipsoïde d’indice
↔Nouvelle anisotropie
↔Nouveaux indices
Explication
Changement de l’indice par la force électrique (1)
Onde É-M + milieu anisotrope + champ E(ext) → ?
(1) La réponse du milieu au champ É-M est l’ellipsoïde d’indice:
x
2
nx2
+
Soit
où
y
2
n 2y
+
z
2
nz2
= 1 ou
ηij ≡ ε 0 / ε ij ;
2
x1
n12
+
x2
2
n22
+
x3
2
n32
ηij = η ji ;
r
= 1 ( E = 0 ) (1 )
(Q ε ij = ε ji (chin,ch.6))
ε11 = ε1 ;ε 22 = ε 2 ;ε 33 = ε 3 ; ni2 = ε i / ε 0 ; i = 1,2 ,3.
Éq.( 1 ) ⇔ η xx x12 + η yy x22 + η zz x32 = 1
ou ηij (0 ))xi x j = 1
(2) E(ext) modifie la réponse (l’ellipsoïde d’indice ou ni ou ηij)
r
r
r
ηij (E = 0) → ηij (E ) = ηij (0 ) + ∆ηij (E )
(2)
Changement de l’indice par la force électrique (2)
(2) Le champ E(ext) modifie la réponse (ni ou ηij)
r
r
ηij → ηij (E ) = ηij (0 ) + ∆ηij (E )
(1)
L’expansion par la série de Taylor:
r
 ∂ηij 
( Ek − 0 )
ηij (E ) = ηij (0 ) + ∑ 

k
2
1  ∂ ηij 
+ ∑

2 k ,l  ∂Ek ∂El 
 ∂Ek  Ek = 0
( Ek − 0 )( El − 0 ) + ....
E k = El = 0
(2 )
Comparer (1) et (2) →
r
 ∂ηij 
( Ek − 0 )
∆ηij (E ) = ∑ 

k  ∂Ek  E = 0
k
2

ηij 
∂
1
( Ek − 0 )( El − 0 ) + ....
+ ∑

2 k ,l  ∂Ek ∂El 
E k = El = 0
Changement de l’indice par la force électrique (3)
r
 ∂ηij 
Réponse linéaire ou effet Pockels
−
0
∆ηij (E ) = ∑ 
(
)
E
k

∂
E
k 
k  Ek = 0
2

∂
ηij 
1
+ ∑
(Ek − 0)(El − 0) + ....
(3)

2 k ,l  ∂Ek ∂El 

 E k = El = 0
Réponse quadratique ou effet Kerr
r
ηij (E ) = ηij (0 ) + rijk Ek
où
}
En gardant seulement le
terme linéaire
↵
 ∂ηij 
(rij )k ≡ rijk ≡ ∑  ∂E 
Soit
k 
k  Ek = 0
r
Éq. 3 →
∆ηij (E ) ≅ (rij )k Ek
r
r
Mais
ηij (E ) = ηij (0 ) + ∆ηij (E )
ηij (0)xi x j = 1
r
∴ Ellipsoïde d’indice modifié par E: ηij (E )xi x j = 1
Changement de l’indice par la force électrique (4)
r
∴ Ellipsoïde d’indice modifié par E: ηij (E )xi x j = 1 (4)
( )
r
ηij E = ηij (0 ) + rijk Ek
2
où
rijk
 ∂η ji 
 ∂ηij 
≡ ∑
= ∑
≡ r jik


k  ∂Ek  E k = 0
k  ∂Ek  E k = 0
(4)→
2
2
x1
x2
x3
2
2
2
ηij (0 )xi x j = η xx x1 + η yy x2 + η zz x3 = 2 + 2 + 2
n1
n2
n3
x12
n12
+
x2 2
n22
+
x32
n32
+ rijk Ek xi x j = 1
123
M(V=Ed)
(Qηij = η ji )
Ex.
laser
E
–
d
rijk: propriété du milieu,
provenant de la réponse nonlinéaire χ(2) du milieu
V+
↔: Axe optique
du KDP
Conséquence de la force électrique: exemple spécial, KDP.
x12
x2 2
+
n12
x12
n02
+
n22
+
x2
2
n02
x32
n32
+
x3
2
ne2
Ex.
+ rijk Ek xi x j = 1
+ rijk Ek xi x j = 1
laser
E
–
d
V+
↔: Axe optique
du KDP
(Voir Chin, ch. 8)
2
x1
n02
+
x2
2
n02
+
x3
2
ne2
+ 2r63 E3 x1x2 = 1 (r63: coefficient de Pockels du KDP)
Rotation des axes →
x' 2
nx2'
+
y' 2
n 2y'
+
z' 2
nz2'
=1
Seulement x1 et x2 sont modifiés. i.e. rotation des axes x1 et x2 autour
de x3. ∴ x3= x3’; →
n2 = n2
z'
e
Rotation des axes →
x' 2
nx2'
+
y' 2
n 2y'
+
z' 2
nz2'
=1
Seulement x1 et x2 sont modifiés.
i.e. rotation des axes x1 et x2 autour de x3.
x1' 2 x2' 2 x3' 2
→ 2 + 2 + 2 =1
2
2
∴ x3= x3’; →
nz' = ne
nx'
n y'
ne
z
z
y‘
y
y
x
x
x’
Sans champ
Avec champ
On considère donc la transformation de
2
x1
n02
+
en
x2
2
n02
x1' 2
nx2'
2
+
x3
+
x2' 2
ne2
+ 2r63 E3 x1x2 = 1
n 2y'
+
x3' 2
ne2
=1
ou de
en
ou de
en
x'
x2
n02
2
nx2'
+
+
y2
n02
2
y'
n 2y'
+ 2r63 E3 xy = 1
=1
x12
+
x2 2
n02 n02
x1' 2 x2' 2
+ 2
2
nx1' nx2 '
+ 2r63 E3 x1x2 = 1
=1
ou de
en
x'
x2
n02
2
nx2'
+
+
y2
n02
2
y'
n 2y'
+ 2r63 E2 xy = 1
=1
Le problème est de trouver l' angle de
rotation de x, y autour de z = z'.
La géométrie analytique : toute fonction quadratique de la forme
Ax 2 + Bxy + Cy 2
(B ≠ 0)
peut être réduite en A' x' 2 +C' y' 2
en faisant la rotation des axes ( x , y ) par un angle α ( 0 < α < 90° )
A−C
cot 2α =
.
On voit que A = C
B
∴ cot 2α = 0 → α = 45°
x = x' cos α − y' sin α
y = x' sin α + y' cos α
x = x' cos α − y' sin α
y = x' sin α + y' cos α
}"
On voit que A = C
∴ cot 2α = 0 → α = 45°
z
x2 y2
+ 2 + 2r63 E3 xy = 1
2
n0 n0
1
 2 1
 2
 2 + r63 E z  x' +  2 − r63 E z  y' = 1
 n0

 n0

( E3 ≡ E z )
En remet tan t le terme
z' 2
ne2
y‘
45°
x
45°
dans l' équation :
1
 2 1
 2 z' 2
 2 + r63 E z  x' +  2 − r63 E z  y' + 2 = 1
ne
 n0

 n0

x’
y
En remet tan t le terme
z' 2
ne2
dans l' équation :
2
2
2
x'
y'
z'
1
 2 1
 2 z' 2
 2 + r63 E z  x' +  2 − r63 E z  y' + 2 = 1 ↔ 2 + 2 + 2 = 1
n x' n y' n z'
ne
 n0

 n0

1

=  2 + r63 E z 
2
nx'  n0


1 1
=  2 − r63 E z 
2
n y'  n0

1
1
1
Q 2 − 2 = ∆( 2 )
ni n0
n n = n0
1
= − 2n − 3
n = n0
1
nx2'
1
n 2y'
−
−
1
n02
1
n02
= r63 E z
= − r63 E z
( i = x' , y' )
∆n
= −2n0−3( ni − n0 )
1 3  1
1 
ni − n0 = − n0  2 − 2 
2  ni n0 
1 3  1
1 
ni − n0 = − n0  2 − 2 
2  ni n0 
Mais
1 3  1
1 
ni = n0 − n0  2 − 2 
2  ni n0 
45°
x’
1
−
−
1
n02
1
n02
= r63 E z
= − r63 E z
1 3
∴ nx' = n0 − n0 r63 E z
2
1 3
n y' = n0 + n0 r63 E z
2
nz' = ne
y‘
x
nx2'
n 2y'
z
45°
1
y
Onde plane dans la direction de z
Entrée, onde plane (laser): Ei exp i [( ωt − kz 0 )]
Sortie: superposition de 2 ondes
z=z0
laser
 Ex ' exp i[(ωt − kz0 − k x 'd )] xˆ '

 E y ' exp i[(ωt − kz0 − k y 'd )] yˆ '
k x ' = ωnx ' / c; k y ' = ωn y ' / c
–
z
Ez
z
k
= ε = k y 'd − k x 'd = (ω / c)(n y ' − nx ' )d
Rappel: lame d’onde
V+
↔: Axe optique
différence de phase
⇔ lame d ' onde
d
x
y‘
45°
45°
x’
y
différence de phase
= ε = k y 'd − k x 'd = (ω / c)(n y ' − nx ' )d
⇔ lame d ' onde
ε = ( ω / c )n03r63 E z d
= ( ω / c )n03r63V
V = tension = E z d
i.e. le KDP devient une lame d’onde contrôlée par
le champ électrique externe.
ε = ( ω / c )n03r63 E z d
= ( ω / c )n03r63V
V = tension = E z d
i.e. le KDP devient une lame d’onde contrôlée par
le champ électrique externe.
∴ en var iant V , on peut var ier la valeur de ε .
Quand ε = π → lame à demi − onde;
la tension V = Vπ s' appele tension de demi − onde
Vπ = cπ / ωn03r63
→ ε = πV / Vπ ; Vπ ≡ V1 / 2
Quand ε = π / 2 → lame quart d' onde;
la tension V = Vπ / 2 s' appele tension de quart d' onde
Vπ / 2 = cπ / 2ωn03r63 = ( 1 / 2 )Vπ ; Vπ / 2 ≡ V1 / 4
Cellule de Pockels
Applications (1)
Vπ(lame λ/2)
+
‚
‚
0
isolateur
Prisme de Glan
Prisme de Glan
~
modulateur
Dét.
‚
Applications (2)
Cellule de Pockels
‘slicer’
Prisme de Glan
.
+V(t)=Vπf(t)
.
.
Cellule de Pockels
Prisme de Glan
Devoir
V(t)=0
(1)
.
A
Axe optique
B
.
(2)
C
D
C
+V(t)=Vπf(t)
.
A
B
D
.
Un faisceau laser passe à travers d’un prisme de Glan, d’une cellule de Pockels et d’un
autre prisme de Glan. Le laser a deux polarisations. Dans Figure (1), la tension sur la
cellule de Pockels est zéro. Quelle est la polarisation à chacune des positions A, B, C, D.
Dans Figure (2), une tension est appliquée en la forme d’une impulsion à t=0 . Quelle
est la polarisation à chacune des positions A, B, C, D. Dans ce dernier cas, déssiner
aussi la forme de l’intensité du laser à ces positions.