DM LC Octobre 2008 Corrigé
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Université Joseph Fourier - Grenoble I UE PHY 111 et PHY 112 - Licence - L1 Devoir à la Maison, Octobre 2008 Lois de Conservation et Fluides Ce Devoir est supposé pouvoir être traité en moins de 2 heures. Une partie de la note portera sur les explications accompagnant les calculs. On donnera toujours les expressions littérales avant de faire les applications numériques. SAUT A LA PERCHE On considère un athlète de masse M = 80 kg, qui s’entraîne au saut à la perche. Il utilise une perche de longueur l = 5 m et de masse m = 5 kg. La piste d’élan a une longueur L = 40 m. Dans tout l’exercice, on prendra g = 10 m.s-2. A. Préparatifs et échauffement 1. Le sportif mange une tablette de chocolat sur laquelle est indiqué : « 100 g contiennent 30 g de lipides, 55 g de glucides et 10 g de protides ». En considérant que : - un gramme de lipides fournit environ 39 kJ - un gramme de glucides fournit environ 16 kJ - un gramme de protides fournit environ 17 kJ Exprimer puis calculer l’énergie Ee emmagasinée par le sportif (la tablette pèse 100 g). Ee = ml el + mg eg + mp ep = 30 x 39 + 55 x 16 + 10 x 17 = 2220 kJ. 1 pt 2. L’athlète ramasse sa perche posée sur le sol, et élève son centre de gravité à une hauteur h1 = 1,5 m (cf. dessin). Exprimer puis calculer le travail W1 fourni lors de ce mouvement. W1 = mgh1 = 5 kg x 10 m.s-2 x 1,5 m = 75 J 1 pt 3. Combien de fois le sportif pourrait-il soulever sa perche (travail W1) grâce à l’énergie Ee fournie par le chocolat qu’il a mangé ? Cela vous paraît-il réaliste ? Discutez. Ee/W1 = 2220.103/75 = 29 600 fois. Ce n’est pas réaliste : l’énergie de ‘combustion’ d’un aliment n’est pas entièrement transformable en énergie mécanique. La plus grande partie (environ 90%) de l’énergie ‘alimentaire’ est transformée en chaleur. 1 pt B. Accélération horizontale 1. L’athlète s’élance sur la piste d’élan, et on suppose que son accélération horizontale a est constante. Exprimer en fonction du temps sa vitesse v(t) puis sa position x(t). Si l’accélération a est constante, la vitesse s’obtient en intégrant : v(t) = at + v0 Et de même pour la position : x(t) = 21 at2 + v0t + x0 1 pt En choisissant les conditions initiales v0 = 0 et x0 = 0, il reste : v(t) = at et x(t) = 21 at2 1 pt ! ! 2. A la fin de la piste d’élan (x = L), la vitesse du sportif est vL. Exprimer littéralement, l’accélération a en fonction de vL et de L. Calculer l’accélération a pour vL = 9 m/s. On a : v(tL) = vL = atL et x(tL) = L = 21 atL2 On substitue tL de la première équation dans la seconde : tL = vL/a soit : x(tL) = L = 21 a(vL/a)2 = vL2/2a soit : a = vL2/2L 0,5 pt 2 2 A.N. : a = 9 /(2x40) ≈ 1 m/s 0,5 pt ! 3. Exprimer puis calculer l’énergie cinétique Ec de l’athlète à la fin de la piste d’élan (pour ! de M, m et vL. Comparer au travail W1 de la question A.2. x = L), en fonction 1 EcL = 2 (M+m)vL2 = 21 (80 + 5) x 92 = 3440 J. 0,5 pt L’athlète a fourni 3440/75 ≈ 46 fois plus d’énergie en prenant son élan qu’en soulevant sa perche. 0,5 pt ! ! 4. ! de son mouvement sur la piste d’élan, le sportif exerce (sur le sol) une force r Au cours entre la puissance instantanée F(t) pour accélérer. Écrire une équation dimensionnelle r r P(t) fournie par le sportif, le module de sa rvitesser | v(t) |, et le module de la force | F(t) |. Rappeler alors la relation exacte entre P(t), v(t) et F(t) . [P(t)] = M.L2.T-3 ; [v(t)] = L.T-1 ; [F(t)] = force = M.L.T-2. On voit quer [P(t)] = [F(t)].[v(t)]. 0,5 pt r En pratique, cette expression est valable vectoriellement : P(t) = F(t) . v(t) . 0,5 pt ! ! ! de la! prise d’élan, la puissance fournie par le sportif 5. Indiquer à quel moment au cours est maximale. Exprimer puis calculer cette puissance Pmax. Comparer Pmax à la puissance ! ! P ≈ 2 kW d’une mobylette... L’accélération étant constante, la force le sera également (F = M.a). La Puissance est donc maximale r r lorsque la vitesse est maximale, c’est-à-dire à la fin de la course (x = L) : Pmax = F(t L ) . v(t L ) = (M+m) a. vL = (80 + 5) x 1 x 9 ≈ 775 W ce qui reste très inférieur à la puissance d’un véhicule, même modeste. 1 pt et saut ! C. Envol ! Pour simplifier, on suppose que la perche se comporte comme un ressort lorsqu’elle se plie (cf. dessin). Perche droite (longueur l) (= ressort au repos) Perche pliée (longueur l - ∆l) (= ressort comprimé) 1. Rappeler la relation vectorielle entre la force et l’allongement !l d’un ressort. Pour simplifier, on suppose que la perche se comporte comme un ressort lorsqu’elle se plie (dessin). r F = -k. !l où !l est l’allongement par rapport à la position de repos du ressort. La force ! (signe moins). est vectoriellement orientée en sens contraire de l’allongement 1 pt ! ! ! 2. A partir de l’expression du travail de compression W = " dW = finale " F . dl retrouver initiale l’expression de l’énergie potentielle élastique Er d’un ressort comprimé (ou allongé) d’une longueur ∆l = | !l | ! à sa!la force de rappel : Pour déformer le ressort, on applique une force opposée !l !l Er = W = $ " F . d(# l) = # k "l . d(" l) = 0 ! 0 1 2 k ∆l2 1 pt 3. Arrivé au bout de la piste d’élan, le sportif bloque l’extrémité de sa perche contre la butée. La perche se plie, et on suppose qu’elle absorbe toute l’énergie cinétique de ! ! la constante! de raideur k de la perche si celle-ci se plie au maximum l’athlète. Exprimer d’une longueur ∆l = l/3 (cf. dessin). kl2/9 = EcL = 21 (M+m)vL2 Soit : k = 9(M+m)(vL/l)2 1 pt 4. Vérifier l’homogénéité de l’expression obtenue puis calculer k. On a [k] = M.(LT-1/L)2 = MT-2 qui est bien homogène à une [Force/Longueur]. ! N/m. k = 9! x 85 kg x (9!m/s / 5 m)2 ≈ 2480 0,5 pt 0,5 pt Er = ! 1 2 k.∆l2 = 1 2 k.(l/3) 2 = 1 2 5. En fin de mouvement, la perche se déplie et on suppose que toute l’énergie élastique de la perche Er est transformée en énergie potentielle Ep pour le sportif. Exprimer la hauteur h atteinte par le sportif en fonction de M, m, vL, et g, puis calculer h. On peut écrire directement : Ec = Er = Ep Soit : 21 (M+m)vL2 = Mgh. 0,5 pt " M+ m % v2L Soit : h = $ = (85/160) x (92/10) = 4,3 m 0,5 pt ' # 2M & g ! 6. L'expression obtenue à la question précédente montre que plus la masse m de la perche est grande, plus le sauteur va haut. Pourquoi alors n'utilise-t-on pas des perches ! lourdes ? très Si la perche était trop lourde, le sportif ne pourrait pas atteindre une vitesse d’élan vL élevée. Il faut trouver un compromis. 1 pt 7. Donner l'expression littérale de la hauteur h’ atteinte si la perche absorbait de l'énergie en se déformant et ne restituait qu'une fraction r de l'énergie cinétique de l'athlète. Calculer h pour r = 90%. On écrit : Ep = rEr = rEc Soit : 21 (M+m)rvL2 = Mgh. 0,5 pt 2 " M+ m % vL Soit : h’ = rh = r $ = 0,9 x 4,3 m ≈ 3,9 m 0,5 pt ' # 2M & g ! ! D. Chute 1. Arrivé au point le plus haut de son saut, quelle est la vitesse v+ et quelle est l’accélération a+ du sportif ? A l’apogée du saut, on a v+ ≈ 0 et a+ = g. 1 pt 2. Le sportif retombe de la hauteur h’ sur un tapis (valeur calculée à la question C.7). Exprimer puis calculer la vitesse de chute vc du sportif lorsqu’il atteint le tapis (supposé être à la hauteur z = 0). Cette valeur était-elle prévisible ? Discutez. Cette fois, l’énergie potentielle est transformée en énergie cinétique (chute libre verticale) : Ep = Mgh’ = Ec = 21 Mvc2 Soit : vc = 2gh' = 78 ≈ 8,8 m/s. 0,5 pt On retrouve une valeur proche de vL (question B.2.). La différence provient de 2 effets contradictoires : 1) Effet positif : le sportif passe au dessus de la barre mais pas sa perche (toute l’énergie cinétique initiale (sportif + perche) est « récupérée » sous forme d’énergie ! ! ! potentielle par le sportif seul. 2) Effet négatif : il y a de la dissipation lorsque la perche se plie. 0,5 pt 3 . Le tapis s’écrase de δh = 50 cm sous le sportif. Par une approche énergétique, exprimer puis calculer l’accélération de freinage af (supposée constante) subie par le sportif. Freinage af constant => force Ff constante : af = Ff/M. Travail de freinage Wf = énergie Ec perdue => Wf = Ff δh = 21 Mvc2 Soit : af = Ff/M = 21 Mvc2/M δh = vc2/2 δh 0,5 pt 2 -2 A.N.: vc /2 δh ≈ 77 m.s . 0,5 pt ! ! 4. Finalement, que devient l’énergie Ep du sportif ? L’énergie est entièrement dissipée sous forme de chaleur (dans le tapis et dans le dos de l’athlète) au moment du freinage. 0,5 pt 5. Le record du monde de saut à la perche est actuellement de 6,14 m (S.Bubka, 1994). Expliquer d’où vient l’énergie potentielle qui semble manquer au modèle utilisé ci-dessus. Toutes les valeurs proposées ne sont pas forcément exactes (vitesse vL, longueur de la perche…). De plus, lorsque la perche se détend, l’athlète exerce simultanément une force de poussée avec ses bras. Le travail correspondant contribue à une énergie potentielle plus élevée. 0,5 pt _____________________________
