Examen

Master Recherche 2eannée EL5
Astronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale Emmanuel Dartois
Année 2014-2015 François Levrier
Examen
9 janvier 2015
L’examen est constitué de deux exercices et d’un problème, tous indépendants. On prendra soin de rédiger
les réponses aux questions de manière claire, précise, et détaillée. Si l’on n’a pu établir un résultat fourni
dans l’énoncé, on peut l’admettre pour traiter la suite. Les notes de cours sont les seuls documents
autorisés. L’usage d’une calculatrice pour les applications numériques est permis.
I - Atmosphère grise
On considère une atmosphère stellaire en se plaçant dans l’approximation d’une couche plan-parallèle
infinie, comme celle représentée sur la figure 1.1. Les propriétés physiques du gaz (masse volumique ρet
température T, notamment) ne dépendent que de la profondeur z. On note Iνl’intensité spécifique, et
on ignore la diffusion.
✓
z
z=0
O
surface de l'étoile
vers le centre de l'étoile
Figure 1.1 – Atmosphère stellaire plan-parallèle
1. Écrire l’équation du transfert le long d’un rayon faisant un angle θavec l’axe Oz. On se placera dans
la convention observateur, et on notera τν=κνzla profondeur optique à la fréquence νdepuis la surface
z= 0,Sν=ν/κνla fonction source supposée isotrope, et µ= cos θ.
2. On fait l’hypothèse d’une atmosphère grise, c’est-à-dire que le coefficient d’absorption κνne dépend
pas de la fréquence. En déduire l’équation du transfert intégrée sur la fréquence, en faisant apparaître

l’intensité et la fonction source intégrées
I=Z∞
0
Iνdνet S=Z∞
0
Sνdν
On notera τpour la profondeur optique désormais indépendante de la fréquence.
3. En introduisant l’intensité moyenne J, le flux Fet la pression de radiation ppar
J=1
2Z1
−1
Idµ F = 2πZ1
−1
Iµdµ p =2π
cZ1
−1
Iµ2dµ
Déterminer une équation donnant dF/dτ, puis une autre donnant dp/dτ.
4. On fait l’hypothèse d’une atmosphère en équilibre radiatif. Écrire cette hypothèse en fonction de κν,
de l’intensité moyenne par intervalle de fréquence Jν, et de l’émissivité ν. Comment se traduit cette
hypothèse pour le gradient du flux dF/dτdans le cas de l’atmosphère grise ?
5. En déduire que la pression de radiation prend la forme
p=F
cτ+A
où Aest une constante qu’on va déterminer dans la suite.
6. Pour cela, on fait l’approximation d’Eddington, en supposant que l’intensité intégrée est semi-isotrope :
I(µ, τ) = I+(τ)pour µ>0
I−(τ)pour µ < 0
Calculer J,Fet pen fonction de I+et I−.
7. En déduire la constante Adans cette approximation. On fera l’hypothèse qu’il n’y a pas de rayonne-
ment entrant à la surface de l’atmosphère.
8. En faisant l’hypothèse que l’atmosphère est en équilibre thermodynamique local, en déduire que sa
stratification en température T(τ)prend la forme
T(τ) = Teff 3
4τ+1 21/4
.
en expliquant ce que représente la température Teff .
II - Assombrissement centre-bord
La brillance du disque solaire n’est pas uniforme. Elle décroît du centre vers les bords, selon une loi
empiriquement bien représentée par la forme
Iν(µ) = I01−u0(1 −µ)−v0(1 −µ2)

où I0=Iν(1) est la brillance au centre et µ= cos θ, avec θl’angle entre la normale à la surface et la
direction de l’observateur, supposé à l’infini, comme sur la figure 2.1. Pour comprendre cet effet, on va
faire trois modèles successifs de complexité croissante.
✓
O
vers l'observateur
Figure 2.1 – Géométrie du problème de l’assombrissement centre-bord. La couche supérieure mentionnée
dans les deux premiers modèles est représentée en gris.
1. Dans le premier modèle, on suppose que la surface du Soleil émet comme un corps noir à la tempéra-
ture T, avec une couche supérieure absorbante mais non émissive. On note τνl’épaisseur optique de cette
couche à la fréquence ν(on se place dans la convention modélisateur). Exprimer Iν(µ)et tracer Iν(µ)/I0
en fonction de µpour τν= 0.5.
2. Dans le deuxième modèle, on suppose qu’en plus d’absorber, la couche supérieure émet comme un
corps noir de température T2plus faible que la surface de l’étoile (dont on note ici la température T1).
Exprimer Iν(µ)/I0en fonction de µ, de τνet du rapport B1/B2, où l’on a posé, pour simplifier les no-
tations, B1=Bν(T1)et B2=Bν(T2). Représenter Iν(µ)/I0en fonction de µpour τν= 0.5et B1/B2= 2.
3. On suppose maintenant que la fonction source varie continûment avec la profondeur optique, en
adoptant un développement en série
Sν(τν) = I0X
n>0
anτn
ν.
Montrer que l’intensité spécifique émergente s’écrit alors
Iν(µ) = I0X
n>0
(n!)anµn.
On pourra utiliser la famille d’intégrales
Z∞
0
xne−xdx=n!
Donner l’expression de a0,a1et a2en fonction des paramètres empiriques u0et v0.

III - Nébuleuse bipolaire
Les nébuleuses bipolaires sont des objets astrophysiques dans lesquels une étoile centrale illumine un flot
bipolaire de matière issu de l’étoile. La matière contenue dans ce flot, éjectée par l’étoile, prend la forme
de deux cônes coaxiaux, et dans certains cas, la lumière diffusée par les grains peut être observée. Plus
proche de l’étoile, et perpendiculaire à ce flot, il existe un disque circumstellaire interne de matière. On
représente sur la figure 3.1 le schéma d’un tel objet, l’observateur étant situé à l’infini à droite. L’axe du
flot se trouve dans le plan de la feuille, et le flot fait un angle iavec la ligne de visée passant par l’étoile.
i
H"
H'"
M"
Disque
circumstellaire
Flot
θ"
M'"
Figure 3.1 – Schéma d’une nébuleuse bipolaire
On observe dans la photosphère de l’étoile une raie d’absorption qu’on associe à une transition électro-
nique de l’atome très peu abondant de lithium. Cette transition a lieu depuis le niveau fondamental (de
configuration électronique 1s22s1) vers le premier état excité (de configuration électronique 1s22p1).
1. Donner les termes spectroscopiques associés à ces deux états électroniques.
2. Quel autre atome possède le même terme spectroscopique, dans son état fondamental, que celui de
l’état excité du lithium considéré ?
On considère d’abord un flot bipolaire pour lequel i=π/2et une ligne de visée qui passe par le plan du
disque circumstellaire. On observe dans le domaine infrarouge le spectre donné à la figure 3.2. La bande à
9.7µm est associée à la présence de silicates. On sait par ailleurs qu’il existe une relation entre l’extinction

visuelle AVet la profondeur optique de la bande à 9.7µm :
AV
τ9.7
= 18.5
3. Quelle est l’extinction attendue dans le visible ?
4. Les grains dans le disque sont suffisamment froids pour que la glace d’eau condense, mais on ne l’ob-
serve pas. Pouvez-vous expliquer pourquoi ?
5. Quelle est la densité de colonne de silicium emprisonnée dans ces silicates ? On donne la largeur de cette
bande à mi hauteur ∆ν= 100cm−1, ainsi que la constante A = 1.6×10−16 par groupement MgFeSiO4.
!"#$%&'%()*%µ()+%,%
-% .% +/% ++% +*% +0%
1234#5#6%782375%&(9:623;,%
<$+/)+*%
-$+/)+*%
.$+/)+*%
-=>$+/)+*%
<=>$+/)+*%
Figure 3.2 – Spectre infrarouge observé. Les mesures sont indiquées par des points avec leurs barres
d’erreur, le spectre sous-jacent est représenté par la courbe continue, et le spectre du continuum stellaire
est représenté par la courbe en pointillés.
On considère maintenant un flot bipolaire incliné, pour lequel i=π/4. On ne s’intéresse plus au disque,
mais uniquement au flot.
Soit s=Qeπa2la section efficace (en cm2) d’un grain de rayon a, où Qeest le coefficient d’extinction
du grain, et soit ng(r)la densité volumique (en cm−3) des grains, qu’on suppose ne dépendre que de