logique mathematique resume table des matieres
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LOGIQUE MATHEMATIQUE J.- F. PABION RESUME Afin de ne pas masquer la simplicité fondamentale des concepts étudiés, ce manuel présente les éléments de la logique mathématique dans un style volontairement dégagé du souci de la forme. Loin de prétendre couvrir le sujet, seuls ont été sélectionnés quelques thèmes importants abordés par des méthodes instructives et illustrés par des applications non gratuites. Des exercices complètent le texte et abordent quelques questions d’un niveau plus élevé. TABLE DES MATIERES Préface Les notions de base Chapitre I 1 2 3 4 Chapitre II 1 2 3 xiii 3 I LES MATERIAUX FONDAMENTAUX Le calcul propositionnel L'algèbre des propositions 1.1 Valeurs de vérité 1.2 Les connexions 1.3 L'algèbre des propositions 1.4 Exercice Formes des propositions 2.1 La notion de forme 2.2 Formes propositionnelles 2.3 Analyse d'une forme propositionnelle 2.4 Désignation simplifiée des formes 2.5 Exercices Analyse de vérité 3.1 Notion de fonction de vérité 3.2 Table.- de vérité 3.3 Construction des fonctions de vérité 3.4 Formes synonymes-disjonctions et conjonctions 3.5 Complétude fonctionnelle 3.6 Exercices Compatibilité 4.1 La notion de compatibilité 4.2 Tautologies 4.3 Conséquences tautologiques 13 13 13 14 16 17 17 17 18 20 21 22 23 23 24 24 26 28 30 32 32 34 34 4.4 4.5 36 38 Le théorème de finitude Exercices Le calcul des propositions analysées Les propositions analysées 1.1 Nécessité d'une analyse 1.2 Le domaine des sujets et le problème des noms 1.3 Les groupes relationnels 1.4 Extensions des connexions 1.5 Les quantifications Termes et formules 2.1 Langages 2.2 Termes et formules 2.3 Conventions d'écriture 2.4 Exercices Interprétation au moyen d'une structure 3.1 La notion de structure 3.2 Champ d'un quantificateur 3.3 Substitutions de termes 3.4 Enrichissement d'un langage 3.5 Interprétation des termes 3.6 Interprétation des formules 3.7 Exercices 41 41 41 41 43 44 45 46 46 48 50 51 52 52 53 54 55 56 57 59 4 Chapitre III 1 2 3 4 Appendice I 1 2 Chapitre IV 1 2 3 Chapitre V 1 2 3 Appendice Il 1 2 3 3.7 Exercices Validité et modèles 4.1 Notion de validité 4.2 Notion de thèse 4.3 Modèles. Conséquences 4.4 Axiomatisation des classes des structures 4.5 Exercices 59 62 62 62 66 68 74 II ETUDE DE LA DEDUCTION Théorie de la déduction Définition de la déduction à partir d'un ensemble d'hypothèses 1.1 Les arguments valides 1.2 Quelques cas de déduction immédiate 1.3 Quelques types de thèses: les axiomes logiques 1.4 Le concept de démonstration 1.5 La propriété de compatibilité sémantique 1.6 Exercices Quelques règles dérivées 2.1 Le théorème de la déduction 2.2 Les principes de généralisation 2.3 Le principe général de substitution 2.4 Exercices Formules synonymes 3.1 Notion de synonymie 3.2 Changement des variables liées 3.3 Propriétés des quantificateurs 3.4 Exercices Notion de théorie formelle 4.1 Axiomatisation et formalisation 4.2 Exemples 4.3 Notion de compatibilité 4.4 Notion de théorie complète 4.5 Comparaison des théories 4.6 Exercices 83 83 83 84 86 89 92 93 94 94 98 101 102 103 103 104 106 108 109 109 110 114 116 117 119 Une théorie des ensembles Les axiomes de la théorie 1.1 Le langage 1.2 Les axiomes 1.3 Une visite guidée des axiomes précédents La reconstruction des mathématiques 2.1 Les ensembles fondamentaux 2.2 Les concepts de relation et de fonction 2.3 Le rôle de la théorie des ensembles 124 124 124 125 125 127 127 127 128 La complétude sémantique Le théorème fondamental de la logique du premier ordre 1.1 Sous-formules 1.2 Clôture d'un ensemble d'énoncés 1.3 P-compatibilité 1.4 Le théorème fondamental Deux applications fondamentales 2.1 Le théorème de complétude sémantique 2.2 Le lemme d'interpolation (ou lemme de Craig) 2.3 Exercices Quelques applications à la théorie des modèles 3.1 Le théorème de Lowenheim-Skolem 3.2 Le théorème de finitude 3.3 Exercices 129 129 129 130 132 135 138 138 139 142 145 146 146 149 La théorie des définitions Définissabilité d'une constante 1.1 La notion de constante définissable 1.2 La propriété d'élimination 1.3 Le théorème de Beth Extensions par définition 2.1 Cas de l'adjonction d'une seule constante 2.2 Caractérisation de l'adjonction d'une constante au moyen d'une définition 2.3 Extension par définition générale Représentation d'une théorie dans une autre 3.1 Relativisation d'une formule 3.2 Interprétation sémantique de la relativisation 3.3 Représentations des théories 3.4 Exercices 157 158 158 159 160 164 164 165 167 169 169 169 171 173 Applications à la géométrie Géométrie affine 1.1 Notion de plan affin –type 1.2 Propriétés de la relation d'alignement 1.3 Structure des modèles A 1.4 Relations entre A et la théorie des corps La géométrie euclidienne 2.1 Notions métriques sur un plan affin-type 2.2 Notion de plan euclidien 2.3 Axiomatisation de la géométrie euclidienne 2.4 Rapports avec la géométrie affine La géométrie projective 3.1 Plans projectifs 3.2 Axiomatisation de la géométrie projective 3.3 Relations avec la géométrie affine 180 180 180 181 181 183 185 185 185 186 186 187 187 188 188 Chapitre VI. EIimination des quantificateurs 191 Chapitre VI. EIimination des quantificateurs 1. Généralités sur l'élimination des quantificateurs 1.1 Quelques définitions 1.2 Un critère d'élimination 2 Exemples d'élimination des quantificateurs 2.1 Théorie élémentaire de l'égalité 2.2 Théorie élémentaire du successeur 2.3 Théorie des corps algébriquement clos 3 Applications de l'élimination des qualificateurs 3.1 Remarques générales 3.2 Elimination des quantificateurs et complétude 3.3 Théories décidables 3.4 Conséquences pour les modèles d'une élimination des quantificateurs 3.5 Exercices 191 191 191 192 193 193 194 195 200 200 200 202 203 205 Chapitre VII 1 Les théorèmes de limitation Le problème de l'énumération des axiomes 1.1 Théories finiment présentables 1.2 Exemples 1.3 Généralité de la définition 1 Le théorème de Gödel 2.1 La formalisation des mathématiques 211 211 211 212 215 216 216 2.2 -compatibilité 2.3 Le théorème de Gode 2.4 Digression sur les relations récursives Problèmes de décision 3.1 La notion de théorie décidable 3.2 Les sept commandements de la théorie de la décision 3.3 Théories indécidables Problèmes de compatibilité 4.1 Expression formelle de la syntaxe 4.2 Représentation et formalisation 4.3 Le second théorème de Gödel 4.4 Portée du résultat 4.5 Le verdict Exercices 216 217 220 221 221 222 224 227 227 227 228 229 231 231 Relations et fonctions récursives Relations récursives 1.1 Relations sur IN 1.2 Quantificateurs bornes 1.3 Relations élémentaires 1.4 Relations récursivement énumérables 1.5 Relations recursives Fonctions récursives 2.1 Définition 2.2 Opérateurs conservant le caractère récursif 2.3 Caractérisation des fonctions récursives Réprésentabilité des relations récursives dans l'arithmétique 3.1 Calculs préparatoires 3.2 Preuve du théorème 234 234 234 235 236 238 240 241 241 242 250 251 251 252 2 3 4 5 Appendice III 1 2 3 Lexique Bibliographie TOP 255 261
