logique mathematique resume table des matieres

LOGIQUE MATHEMATIQUE
J.- F. PABION
RESUME
Afin de ne pas masquer la simplicité fondamentale des concepts étudiés, ce manuel présente les
éléments de la logique mathématique dans un style volontairement dégagé du souci de la forme.
Loin de prétendre couvrir le sujet, seuls ont été sélectionnés quelques thèmes importants abordés par
des méthodes instructives et illustrés par des applications non gratuites. Des exercices complètent le
texte et abordent quelques questions d’un niveau plus élevé.
TABLE DES MATIERES
Préface xiii
Les notions de base 3
I LES MATERIAUX FONDAMENTAUX
Chapitre I Le calcul propositionnel 13
1 L'algèbre des propositions 13
1.1 Valeurs de vérité 13
1.2 Les connexions 14
1.3 L'algèbre des propositions 16
1.4 Exercice 17
2 Formes des propositions 17
2.1 La notion de forme 17
2.2 Formes propositionnelles 18
2.3 Analyse d'une forme propositionnelle 20
2.4 Désignation simplifiée des formes 21
2.5 Exercices 22
3 Analyse de vérité 23
3.1 Notion de fonction de vérité 23
3.2 Table.- de vérité 24
3.3 Construction des fonctions de vérité 24
3.4 Formes synonymes-disjonctions et conjonctions 26
3.5 Complétude fonctionnelle 28
3.6 Exercices 30
4 Compatibilité 32
4.1 La notion de compatibilité 32
4.2 Tautologies 34
4.3 Conséquences tautologiques 34
4.4 Le théorème de finitude 36
4.5 Exercices 38
Chapitre II Le calcul des propositions analysées 41
1 Les propositions analysées 41
1.1 Nécessité d'une analyse 41
1.2 Le domaine des sujets et le problème des noms 41
1.3 Les groupes relationnels 43
1.4 Extensions des connexions 44
1.5 Les quantifications 45
2 Termes et formules 46
2.1 Langages 46
2.2 Termes et formules 48
2.3 Conventions d'écriture 50
2.4 Exercices 51
3 Interprétation au moyen d'une structure 52
3.1 La notion de structure 52
3.2 Champ d'un quantificateur 53
3.3 Substitutions de termes 54
3.4 Enrichissement d'un langage 55
3.5 Interprétation des termes 56
3.6 Interprétation des formules 57
3.7 Exercices 59

3.7 Exercices 59
4 Validité et modèles 62
4.1 Notion de validité 62
4.2 Notion de thèse 62
4.3 Modèles. Conséquences 66
4.4 Axiomatisation des classes des structures 68
4.5 Exercices 74
II ETUDE DE LA DEDUCTION
Chapitre III Théorie de la déduction 83
1 Définition de la déduction à partir d'un ensemble d'hypothèses 83
1.1 Les arguments valides 83
1.2 Quelques cas de déduction immédiate 84
1.3 Quelques types de thèses: les axiomes logiques 86
1.4 Le concept de démonstration 89
1.5 La propriété de compatibilité sémantique 92
1.6 Exercices 93
2 Quelques règles dérivées 94
2.1 Le théorème de la déduction 94
2.2 Les principes de généralisation 98
2.3 Le principe général de substitution 101
2.4 Exercices 102
3 Formules synonymes 103
3.1 Notion de synonymie 103
3.2 Changement des variables liées 104
3.3 Propriétés des quantificateurs 106
3.4 Exercices 108
4 Notion de théorie formelle 109
4.1 Axiomatisation et formalisation 109
4.2 Exemples 110
4.3 Notion de compatibilité 114
4.4 Notion de théorie complète 116
4.5 Comparaison des théories 117
4.6 Exercices 119
Appendice I Une théorie des ensembles 124
1 Les axiomes de la théorie 124
1.1 Le langage 124
1.2 Les axiomes 125
1.3 Une visite guidée des axiomes précédents 125
2 La reconstruction des mathématiques 127
2.1 Les ensembles fondamentaux 127
2.2 Les concepts de relation et de fonction 127
2.3 Le rôle de la théorie des ensembles 128
Chapitre IV La complétude sémantique 129
1 Le théorème fondamental de la logique du premier ordre 129
1.1 Sous-formules 129
1.2 Clôture d'un ensemble d'énoncés 130
1.3 P-compatibilité 132
1.4 Le théorème fondamental 135
2 Deux applications fondamentales 138
2.1 Le théorème de complétude sémantique 138
2.2 Le lemme d'interpolation (ou lemme de Craig) 139
2.3 Exercices 142
3 Quelques applications à la théorie des modèles 145
3.1 Le théorème de Lowenheim-Skolem 146
3.2 Le théorème de finitude 146
3.3 Exercices 149
Chapitre V La théorie des définitions 157
1 Définissabilité d'une constante 158
1.1 La notion de constante définissable 158
1.2 La propriété d'élimination 159
1.3 Le théorème de Beth 160
2 Extensions par définition 164
2.1 Cas de l'adjonction d'une seule constante 164
2.2 Caractérisation de l'adjonction d'une constante au moyen d'une définition 165
2.3 Extension par définition générale 167
3 Représentation d'une théorie dans une autre 169
3.1 Relativisation d'une formule 169
3.2 Interprétation sémantique de la relativisation 169
3.3 Représentations des théories 171
3.4 Exercices 173
Appendice Il Applications à la géométrie 180
1 Géométrie affine 180
1.1 Notion de plan affin –type 180
1.2 Propriétés de la relation d'alignement 181
1.3 Structure des modèles A 181
1.4 Relations entre A et la théorie des corps 183
2 La géométrie euclidienne 185
2.1 Notions métriques sur un plan affin-type 185
2.2 Notion de plan euclidien 185
2.3 Axiomatisation de la géométrie euclidienne 186
2.4 Rapports avec la géométrie affine 186
3 La géométrie projective 187
3.1 Plans projectifs 187
3.2 Axiomatisation de la géométrie projective 188
3.3 Relations avec la géométrie affine 188
Chapitre VI. EIimination des quantificateurs 191

Chapitre VI. EIimination des quantificateurs 191
1. Généralités sur l'élimination des quantificateurs 191
1.1 Quelques définitions 191
1.2 Un critère d'élimination 192
2 Exemples d'élimination des quantificateurs 193
2.1 Théorie élémentaire de l'égalité 193
2.2 Théorie élémentaire du successeur 194
2.3 Théorie des corps algébriquement clos 195
3 Applications de l'élimination des qualificateurs 200
3.1 Remarques générales 200
3.2 Elimination des quantificateurs et complétude 200
3.3 Théories décidables 202
3.4 Conséquences pour les modèles d'une élimination des quantificateurs 203
3.5 Exercices 205
Chapitre VII Les théorèmes de limitation 211
1 Le problème de l'énumération des axiomes 211
1.1 Théories finiment présentables 211
1.2 Exemples 212
1.3 Généralité de la définition 1 215
2 Le théorème de Gödel 216
2.1 La formalisation des mathématiques 216
2.2 -compatibilité 216
2.3 Le théorème de Gode 217
2.4 Digression sur les relations récursives 220
3 Problèmes de décision 221
3.1 La notion de théorie décidable 221
3.2 Les sept commandements de la théorie de la décision 222
3.3 Théories indécidables 224
4 Problèmes de compatibilité 227
4.1 Expression formelle de la syntaxe 227
4.2 Représentation et formalisation 227
4.3 Le second théorème de Gödel 228
4.4 Portée du résultat 229
4.5 Le verdict 231
5 Exercices 231
Appendice III Relations et fonctions récursives 234
1 Relations récursives 234
1.1 Relations sur IN 234
1.2 Quantificateurs bornes 235
1.3 Relations élémentaires 236
1.4 Relations récursivement énumérables 238
1.5 Relations recursives 240
2 Fonctions récursives 241
2.1 Définition 241
2.2 Opérateurs conservant le caractère récursif 242
2.3 Caractérisation des fonctions récursives 250
3 Réprésentabilité des relations récursives dans l'arithmétique 251
3.1 Calculs préparatoires 251
3.2 Preuve du théorème 252
Lexique 255
Bibliographie 261
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