Détection et correction des erreurs

sS
s
s1
s2
sm
s0
s1
sm
Pr(s0|s )
s0s
S={0,1,2}
Pr(0 |0 ) = 0,9 Pr(0 |1 ) = 0,1 Pr(0 |2 ) = 0,15
Pr(1 |0 ) = 0,03 Pr(1 |1 ) = 0,8 Pr(1 |2 ) = 0,05
Pr(2 |0 ) = 0,07 Pr(2 |1 ) = 0,1 Pr(2 |2 ) = 0,8.

0
1
2
0,9
0,8
0,8
0,03
0,07
0,1
0,1
0,15
0,05
0
2
1
S={0,1}
p0
p0= Pr(1|0),
p1
p1= Pr(0|1).
q0= 1 −p0
q1= 1 −p1
p0
p1
p
p0=p1=p.
p
q= 1 −p
q= 1 −p
p
p
q= 1 −p

nv=v1, v2, . . . , vnv0=v0
1, v0 2, . . . , v0
n
Pr(v0|v) =
n
Y
i=1
Pr(v0
i|vi).
v0= 021 v= 012
Pr(v0|v)=0,9×0,1×0,05 = 0,0045.
p
nv=v1, v2, . . . , vnv0=v0
1, v0 2, . . . , v0
n
Pr(v0|v) = pdqn−d,
d i ui6=u0
i
Pr(u0
i|ui) = q
ui=u0
i
Pr(u0
i|ui) = p
u0
i6=ui
v
Pr(v|v) = qn.
lim
n→+∞qn= 0
0≤q < 1p= 0
F2nFn
2
n

k
n r
n=k+r.
k
n
c:Fk
2−→ Fn 2.
R=k
n.
u∈Fk
2
c(u) = u.r,
u v r
r=n−k
v=v1v2. . . vnv0=v0
1v0 2. . . v0
nFn
2
i vi6=v0
idH(v,v0)
dH(v,v0) = card({i∈[[1, n]] |vi6=v0
i}).
vFn
2i vi6= 0
ωH(v)
ωH(v) = card({i∈[[1, n]] |vi6= 0}).

v v0Fn
2
dH(v,v0) = ωH(v⊕v0).
v0v
e v v0
e=v⊕v0,
v0=v⊕e.
dv0
v e
r u ∈Fk
2
n=k+ 1
R=k
k+ 1.
k= 3
u v =c(u)
000 0000
001 0011
010 0101
011 0110
100 1001
101 1010
110 1100
111 1111
R=3
4= 75%
v
u v
n=k+ 1
Parite(k) Parite(3)
v0∈Fn
2