Calcul d`un terme de rang donné

Calcul d’un terme de rang donné
Suite arithmétique
Suite géométrique
Un petit village de Chine surveille avec
inquiétude l’avancée d’une dune de sable de
plusieurs km de long. Elle n’est plus
aujourd’hui en 2011 qu’à 200m des
premières maisons du village et avance à
une vitesse moyenne de 10m/an.
Pour n ≥ 0 , on note dn la distance en
séparant le village de la dune. On suppose
que la dune continue d’avancer à la même
allure.
Calculer la distance séparant la dune du
village dans 12 ans.
Une balle élastique est lâchée d’une hauteur
de 100m au dessus du sol. La hauteur
9
atteinte à chaque rebond est égale à 10 de la
hauteur du précédent.
Calculer la hauteur, en cm près, du dixième
rebond.
On a :
On a :
Premier Terme : U0 =100
9
Terme Général : U n+1 = 10 Un
Terme Récurrent : Un = 100 ×
Premier Terme : d0 = 200;
Terme Général: dn = 200 – 10n ;
Terme Récurrent : d n+1 = dn – 10 ;
Utilisation de la forme explicite
9
𝑛
10
Utilisation de la forme explicite
Programme nom_du_programme ;
VAR U : réel ;
N : entier ;
DEBUTPROG
Afficher("hauteur de départ") ;
Saisir(U) ;
Afficher("nombre de rebond voulu") ;
Saisir(N) ;
U <- U*puissance((9/10),N);
Afficher("la hauteur au",N,"ième
rebond est",U) ;
FINPROG
Utilisation de la relation de récurrence
Programme nom_du_programme ;
VAR D : réel ;
N : entier ;
index : entier ;
DEBUTPROG
Afficher("distance du village
en 2011" ) ;
Saisir (D) ;
Afficher ("année voulue") ;
Saisir (N) ;
POUR index <- 0 JUSQU'A N
FAIRE
D <- D-10 ;
FINP
Afficher{ "la distance
séparant la dune du village
dans",n,"ans est",D } ;
FINPROG
Utilisation de la relation de récurrence
Exercice suites : Intérêts simples, intérêts composés
Une personne souhaite placer durant plusieurs années un capital de 20 000 euros.
Elle hésite entre deux types de placements :
 Un placement à intérêts simples à 2,25 % l’an : chaque année, son capital augmente d’une
somme fixe égal à 2,25 % du capital initial, c’est-à-dire de 450 € ;
 Un placement à intérêts composés à 2 % l’an : dans ce cas, les intérêts produits sont
capitalisés, et rapportent donc eux aussi 2 % l’an.
On désigne par Sn le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont simples
(S0 = 20 000), et Cn le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont composés
(C0 = 20 000).
1°) Calculer S1 et C1.
2°) Quelle est la nature de la suite (Sn) ? De la suite (Cn) ? Justifier.
3°) Faire fonctionner l’algorithme ci-dessous qui détermine le terme de rang n de chacune des
deux suites, et qui donne le placement le plus avantageux suivant la valeur de n.
1
VARIABLES
2
n EST_DU_TYPE NOMBRE
3
i EST_DU_TYPE NOMBRE
4
S EST_DU_TYPE LISTE
5
6
C EST_DU_TYPE LISTE
DEBUT_ALGORITHME
7
LIRE n
8
S[0] PREND_LA_VALEUR 20000
9
C[0] PREND_LA_VALEUR 20000
10
POUR i ALLANT_DE 0 A n
11
DEBUT_POUR
12
S[i+1] PREND_LA_VALEUR S[i]+450
13
C[i+1] PREND_LA_VALEUR C[i]*1.02
14
FIN_POUR
15
SI (S[n]>C[n]) ALORS
16
DEBUT_SI
17
AFFICHER "le placement 1 est le plus avantageux"
18
FIN_SI
19
SINON
20
DEBUT_SINON
21
AFFICHER "le placement 2 est le plus avantageux"
22
FIN_SINON
23
AFFICHER "S[n] = "
24
AFFICHER S[n]
25
AFFICHER "C[n]="
26
27
AFFICHER C[n]
FIN_ALGORITHME
Comparaison du comportement de différentes suites
Dans une grande ville, 3 opérateurs téléphoniques proposent des abonnements renouvelables
chaque trimestre. On suppose que les tendances observées vont se maintenir quelques années.



Opérateur 1 Osanguine : 8000 abonnés initialement et 500 nouveaux recrutés chaque
trimestre
Opérateur 2 Cé pa fèr : 5000 abonnés initialement et croissance de 8% du nombre
d’abonnés chaque trimestre
Opérateur 3 BEUG: 10000 abonnés initialement, un taux de réabonnement trimestriel
de 80% et 2500 nouveaux recrutés chaque trimestre.
Au bout de 2 ans, quel opérateur a le plus d’abonnés ?
Au bout de 3 ans, quel opérateur a le plus d’abonnés ?
Au bout de 5 ans, quel opérateur a le plus d’abonnés ?
Solution :
 Opérateur 1 : U0 = 8000 et U n+1 = Un + 500
 Opérateur 2 : V0=5000 et V n+1 = 1,08 Vn
 Opérateur 3 : W0=10000 et W n+1 = 0,8 Wn + 2500
Avec un tableur
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
série 2
Un
8000
8500
9000
9500
10000
10500
11000
11500
12000
12500
13000
13500
14000
14500
15000
15500
16000
16500
17000
17500
18000
série 3
Vn
5000
5400
5832
6298,56
6802,4448
7346,64038
7934,37161
8569,12134
9254,65105
9995,02314
10794,625
11658,195
12590,8506
13598,1186
14685,9681
15860,8456
17129,7132
18500,0903
19980,0975
21578,5053
23304,7857
série 4
WN
10000
10500
10900
11220
11476
11680,8
11844,64
11975,712
12080,5696
12164,4557
12231,5645
12285,2516
12328,2013
12362,561
12390,0488
12412,0391
12429,6313
12443,705
12454,964
12463,9712
12471,177
40000
35000
30000
25000
Série2
20000
Série3
15000
Série4
10000
5000
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Comparaison_evolution_suites – Version algobox
1 VARIABLES
2 O EST_DU_TYPE NOMBRE
3 C EST_DU_TYPE NOMBRE
4 B EST_DU_TYPE NOMBRE
5 i EST_DU_TYPE NOMBRE
6 N EST_DU_TYPE NOMBRE
7 DEBUT_ALGORITHME
8 AFFICHER "Nombre d'abonnés initialement à
Sanguine "
9 LIRE O
10 AFFICHER "Nombre d'abonnés initialement à
Cé pa Fèr "
11 LIRE C
12 AFFICHER "Le nombre d'abonnés initialement
à BEUG "
13 LIRE B
14 AFFICHER "Nombre de trimestres voulus "
15 LIRE N
16 POUR i ALLANT_DE 1 A N
17
DEBUT_POUR
18
O PREND_LA_VALEUR O+500
19
C PREND_LA_VALEUR 1.08*C
20
B PREND_LA_VALEUR 0.8*B+2500
21
FIN_POUR
22 SI (O>C) ALORS
23
DEBUT_SI
24
SI (B>O) ALORS
25
DEBUT_SI
26
AFFICHER "Beug a le plus d'abonnés en "
27
AFFICHER N
28
AFFICHER "Trimestres. le nombre
d'abonnés est "
29
30
31
32
33
34
35
est
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
est
46
47
48
49
50
"
51
52
est
53
54
55
56
AFFICHER B
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER "Sanguine a le plus d'abonnés en "
AFFICHER N
AFFICHER "trimestres. le nombre d'abonnés
"
AFFICHER O
FIN_SINON
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
SI (B>C) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER "BEUG a le plus d'abonnés en "
AFFICHER N
AFFICHER "trimestres. Le nombre d'abonnés
"
AFFICHER B
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER "Cé Pa Fèr a le plus d'abonnés en
AFFICHER N
AFFICHER "trimestres. le nombre d'abonnés
"
AFFICHER C
FIN_SINON
FIN_SINON
FIN_ALGORITHME
Calcul d'un terme de rang donné d'une suite définie par récurrence, problème de seuil.
Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100000 habitants.
Un bureau d'étude fait l’hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005:
•
le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès;
•
du fait des mouvements migratoires, 4000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans
cette ville.
1. Écrire un algorithme permettant de déterminer la population de cette ville au 1er janvier 2020 .
2. Modifier l'algorithme précédent afin de déterminer à partir de quelle année la population de cette ville aura doublée.
1.
1
VARIABLES
2
N EST_DU_TYPE NOMBRE
3
i EST_DU_TYPE NOMBRE
4
pop EST_DU_TYPE NOMBRE
5
DEBUT_ALGORITHME
6
i PREND_LA_VALEUR 0
7
pop PREND_LA_VALEUR 100000
8
TANT_QUE (i<15) FAIRE
9
DEBUT_TANT_QUE
10
pop PREND_LA_VALEUR 1.05*pop+4000
11
i PREND_LA_VALEUR i+1
12
FIN_TANT_QUE
13
AFFICHER "L'année en laquelle la population aura doublée pour la
première fois est: "
14
AFFICHER pop
15 FIN_ALGORITHME
2.
1
VARIABLES
2
N EST_DU_TYPE NOMBRE
3
i EST_DU_TYPE NOMBRE
4
pop EST_DU_TYPE NOMBRE
5
a EST_DU_TYPE NOMBRE
6
DEBUT_ALGORITHME
7
i PREND_LA_VALEUR 0
8
pop PREND_LA_VALEUR 100000
9
TANT_QUE (pop<200000) FAIRE
10
DEBUT_TANT_QUE
11
pop PREND_LA_VALEUR 1.05*pop+4000
12
i PREND_LA_VALEUR i+1
13
FIN_TANT_QUE
14
a PREND_LA_VALEUR 2005+i
15
AFFICHER "L'année en laquelle la population aura doublée pour la
première fois est: "
16
AFFICHER a
17 FIN_ALGORITHME
Résoudre un problème avec un algorithme
La probabilité qu’un tireur atteigne une cible est 1/3.
On suppose les tirs indépendants les uns des autres.
Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre au moins une fois la cible soit
supérieure à 0,99 ?
Solution sous ALGOBOX
1
VARIABLES
2
compteur EST_DU_TYPE NOMBRE
3
pn EST_DU_TYPE NOMBRE
4
DEBUT_ALGORITHME
5
compteur PREND_LA_VALEUR 1
6
pn PREND_LA_VALEUR 1 - 2/3
7
TANT_QUE (pn < 0.99) FAIRE
8
DEBUT_TANT_QUE
9
compteur PREND_LA_VALEUR
compteur+1
10
pn PREND_LA_VALEUR 1 -
pow(2/3,compteur)
11
FIN_TANT_QUE
12
AFFICHER "Il faut "
13
AFFICHER compteur
14
AFFICHER "tirs pour que la
probabilité qu'il atteigne au moins 1 fois la
cible soit supérieure à 0,99"
15
FIN_ALGORITHME
Solution sous forme d’organigramme