DS N°3 – TES – 7 Décembre 2012

TES 2
Correction du DS de Mathématiques n° 3
Exercice 1 – 3.5 points
–2
x
Variations
de f (x)
f est la fonction continue dont le tableau de variation est le suivant :
0
1.5
2.5
–3
3.6
7
–4
– 3.5
5
1) D = [ – 2 ; 3.6 ] est le domaine de définition de f.
2) D’après le tableau de variation de f, il n’y a pas de solution sur [– 2 ; 1.5] et sur [2.5 ; 3.6].
f est une fonction continue (dit dans ‘énoncé) et croissante sur [1.5 ; 2.5].
De plus f (1.5) = – 3.5 et f (2.5) = 7. Or f (1.5) < 0 < f (2.5).
Donc, d’après le TVI, l’équation f (x) = 0 à une unique solution sur [1.5 ; 2.5]. 1.5 < α < 2.5
3) Tableau de signe de f sur son domaine de définition.
–2
x
α
–
Signe de f (x)
4) La fonction f est dérivable sur son domaine de définition.
Tableau de signe de la fonction f ’.
x
–2
Signes de f’ (x)
0
+
0
0
n
Exercice 2 – 3 points On considère suite (un) définie pour tout entier n par : un = 2.3 .
2
10
1) u2 = 2.3 = 5.29
et u10 = 2.3 ≈ 4142.65
2) (un) est une suite géométrique de raison 2.3 et de premier terme u0 = 1.
3) La suite (un) est croissante car 2.3 > 1
4) Sa limite lorsque n tend vers + ∞ est + ∞ car 2.3 > 1.
5) lim 0.2un = + ∞
et
lim – 40 000 + 0.2un = + ∞.
n→+∞
n→+∞
Exercice 3 – 5 points
 un + 1 = 0.55un + 9
(un) est la suite définie par :  u = 1000

0
1) u1 = 0.55u0 + 9 = 0.55 × 1000 + 9 = 550 + 9 = 559 ,
u2 = 0.55u1 + 9 = 0.55 × 559 + 9 = 316.45
2) On définit la suite (vn) par vn = un – 20.
a) vn + 1 = un + 1 – 20 = 0.55un + 9 – 20 = 0.55un – 11 = 0.55(un – 20) = 0.55vn
v0 = u0 – 20 = 1000 – 20 = 980
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0.55 et de premier terme 980.
n
b) vn = 980 × 0.55 .
n
c) un = vn + 20 = 980 × 0.55 + 20
3)
n
a) La limite de (0.55 ) lorsque n tend vers + ∞ est 0.
n
n
b) lim 980 × 0.55 = 0
et
lim 980 × 0.55 + 20 = 20
n→+∞
n→+∞
La limite de un lorsque n tend vers + ∞ est donc 20.
+
0
1.5
–
3.6
2.5
+
0
3.6
–
Exercice 4 – 8.5 points
Afin d’entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts
décide d’abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres. Le nombre d’arbres de cette
forêt est modélisé par une suite notée (un) où un désigne le nombre d’arbres au cours de l’année (2013 + n). En 2013,
la forêt compte 50 000 arbres.
Le nombre d’arbres de la forêt en 2014 est de 50 500.
1) a) 50 000 × 0.95 + 3 000 = 50 500
b) u0 est le nombre d’arbre de l’année 2013 + 0 = 2013 soit 50 000.
Pour trouver le nombre d’arbres de l’année 2013 + n + 1 soit un + 1 :
abattre chaque année 5 % équivaut à multiplier le nombre d’arbre de l’année précédente u n par 0.95 (1 – 0.05)
et replanter 3 000 arbres équivaut à additionner ensuite 3 000.
On a donc pour tout entier naturel n la relation un + 1 = 0,95un + 3 000.
2) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un – 60 000.
a) vn + 1 = un + 1 – 60 000 = 0.95un + 3 000 – 60 000 = 0.95un – 57 000 = 0.95(un – 60 000) = 0.95vn
v0 = u0 – 60 000 = 50 000 – 60 000 = – 10 000
Donc la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95 de premier terme – 10 000.
n
b) vn = – 10 000 × 0.95
n
n
c) un = vn + 60 000 = – 10 000 × 0.95 + 60 000 = 10 000(6 − 0,95 ).
n
d) lim 0.95 = 0
donc
n→+∞
n
lim 6 – 0.95 = 6
n
lim 10 000(6 – 0.95 ) = 60 000
donc
n→+∞
n→+∞
La limite de la suite (un) lorsque n tend vers + ∞ est 60 000.
e) Dans un grand nombre d’année, le nombre d’arbre se rapprochera de 60 000.
n
n
3) a) un > 57 000 <==> 10 000(6 – 0.95 ) > 57 000 <==> 6 – 0.95 > 5.7 <==> 6 – 5.7 > 0.95
n
<==> 0.3 > 0.95
24
24
b) On trouve avec la calculatrice que 0.95 ≈ 0.29 alors que 0.95 ≈ 0.307
n
La plus petite valeur entière N telle que uN > 57.000 est donc N = 24.
c) 2013 + 24 = 2037 : en 2037 le nombre d’arbre dépassera 57 000.
4) a) On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du
rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
C’est l’algorithme 3, c’est le seul qui affiche U au fur et à mesure des calculs : d’abord u0 dans l’initialisation puis
de u1 à uN dans la boucle pour.
Algorithme 1
Algorithme 2
Algorithme 3
Variables :
A, U, J sont des nombres
Début de l’algorithme :
Saisir la valeur de A
N prend la valeur 0
U prend la valeur 50000
Variables :
U, I, N sont des nombres
Début de l’algorithme :
Saisir la valeur de N
U prend la valeur 50000
Variables :
U, I, N sont des nombres
Début de l’algorithme :
Saisir la valeur de N
U prend la valeur 50000
Afficher U
Tant que U < A
N prend la valeur N + 1
U prend la valeur 0.95U + 3000
Fin tant que
Pour I variant de 1 à N
Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur 0.95U + 3000
Fin Pour
U prend la valeur 0.95U + 3000
Afficher U
Afficher U
Fin Pour
Fin algorithme
Fin algorithme
Afficher N
Fin algorithme
b) Lorsque A = 58 000 l’algorithme 1 affiche 32.
32 est le premier indice de la suite (un) où le terme correspondant dépasse 58 000. 2013 + 32 = 2045 : en
2045 le nombre d’arbre dépassera 58 000.