Sur une propriété combinatoire des algèbres de Lie

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ARCEL P. S CHÜTZENBERGER
Sur une propriété combinatoire des algèbres de Lie libres pouvant
être utilisée dans un problème de mathématiques appliquées
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 12, no 1 (1958-1959), exp. no 1,
p. 1-23
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1-01
Faculté des Sciences dE Paris
**!**’! ~* *! *~*
.
10 novembre 1958
Séminaire P ~ DUBREIL
(ALGEBRE
et C a PISOT
DES
THEORIE
et
NOMBRES)
Aimée
1958/59
SUR UNE PROPRIÉTÉ COMBINATOIRE DES
ALGÈBRES
DE LIE LIBRES
POUVANT ÊTRE UTILISÉE DANS UN PROBLÈME DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
par Marcel P.
signaler la possibilité d’utiliser?
Mathématiques appliquées (1), certaines propriétés combina-
INTRODUCTION. - Le but de
dans un
dE
problème
SCHÜTZENBERGER
ces
notes est de
toires élémentaires des bases de Marshall HALL des
Dans la section
.
I,
de Lie libres $
divers résultats fondamentaux de Marshall HALL
rappelle
on
algèbres
[9]
0160IR0160OV [17].
et de
Dans la section
de donner
une
démonstration nouvelle d’un
Dans la section
III,
chErchéEs~ qui permettent d’ailleurs
théorème de MEIERMUNDERU [16].
vérifie les propriétés
on
on
complète
la méthode de Birkhoff donne
les considérations
démonstration
une
précédentes en montrant que
très sinple de l’indépendance des
.
bases de Marshall
IV; on vérifie que le calcul des "shuffles" de CHEN, FOX et
plutôt un cas particulier de celui-ci, s’applique encore aux bases
Dans la section
LYNDON [2],
ou
considérées ici~
pour de nombreuses et utiles discussions.
Je remercie
()
consistant à construire
groupe
(G
F
libre
des
sous--dcmi-groupes (sous-nonoïdes)
pour tout
f , f’ ~ F , si ff’ , flr.
pour tout
i’
~
F ~
signification
de
ce
problème
dernier ouvrage contenant
ment
insoupçonnée
du
’
~ G
alors
f9
.
Ff n
est "net à droitc" selon la théorie de P o
La
G
’satisfaisant les deux conditions :
une
des auteurs
est discutée
DUBREIL, cf. [3], [4], [5], [6]).
dans [8]
dans [ 15 ]
et surtout
c6
de la question~ apparem-
bibliographie très complète
de [8] .
.
L Résultats
~*~~
préliminaires
Définitions préliminaires.
Soient
A
opération (ne
~ D+ ,
D(A) le système
aucune identité) sur
D
ensemble
un
satisfaisant
D
=
A
d
=
[d’ , d"]
D
où
avec
=
(cf. [10]).
A
Par
définition~
est construit par induction comme l’ensemble des symboles
est le composant
d’ , d" ~ D On dira que d’ (resp.
d’ordre un de d ; d sera le composant d’ordre zéro de
o
gauche (resp. droit)
soi-même.
composant gauche (r6sp . droit) d’ordre ce d’un composant (gauche ou droit)
d’ordre o’de d sera un composant gauche (rep. droit) d’ordre 03B1 + 03B1’ de d .
Un
X C.
Pour tout sous-ensemble
(sous-monoïde) engendré par
1 désignera l’élément
.
Soit
en un
Les
de
S
s =
d. cL ..~ d.
...
produit d’éléments
6.dans
J engendrent
Les facteurs
de
on
de
on
du
désignera
demi-groupe
neutre de
d
un
le
par
libre S
élément de
S
est
engendré
factorisé de la façon
s~
naturelle
=
de
~s ~
façon
s, ou, pour
on
un
déni-groupe A
dira que
SI
bien déterminée
abréger,
des
pose
s
(D)
par
S .
6t dans les autres cas :
03B4-1i
=
sous-demi-groupe
indiquée
D a On pose :
sont,
composante des facteurs
Réciproquement
X
façon
si
s’
de
de
D,
une
recomposition de
s
c
d’opérateurs
est une décomposition de
(pour S fixé) des
=
composants de
s .
Tout
s e
possède
S
’%*
Fr(= F(A)) ;
de
degréjs)
do
s
est donc
X -S
d2
...
TT
permutation circulaire
une
endonorphisne
on
de
s .
se
ses
de
s
pose
...
.
d2
déduit
facteurs,
s
et
s’
dj
seront dits
...
...
dn
( ).
-’conjugués
Manifestement si
s
e
03C0-classe (c’est-à-dire :
1.2. Monômes
S
est la longueur de
Pour tout sous-ensemble
par
un
b
qui est un élément
demi-groupe S ~ F . La
décomposition unique notée
une
%
est de même de tous les éléments
il
(S)
de l’ensemble des éléments 1 -conjugués de
de
en
sa
s).
standards.
On suppose donnée
une
fois pour toute
relation d’ordre total
une
sur
D
’
satisfaisant :
(HO) :
d~
si
est
un
composant
On définit par induction
un
(gauche
ou
droit)
sous-ensemble
H
=
4’ordre
H(A)
de
de
~.1
D
d ~
par les
alors
règles
suivantes :
A -H
(Hl)
et si
d
=
[d’ , d"]
=:
D~ ~
d eH
si et seulement si
d" ~ H
d’ ,
c~ ~c~
(H2)
~20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014~2014201420142014201420142014201420142014--20142014201420142014
( ) La relation de 03C0-conjugaison introduite ici n’est évidemment rien d’autre
de la relation habituelle de conjugaison du groupe libre
t
On
notera
D.
que s et s’ sont 03C0-conjugués si et seulement
engendré par
=
La théorie générale de ces équivalences
s’il existe s" ~ S , tel que ss"
est faite par R. CROISOT dans [3] .
que la
restriction à S
(H3)
ou
bien
p
un
(HO) qui remplace
sauf
HALL,
Ces définitions sont celles de Marshall
condition
=[d"’ , d r’‘ ~ ~
d’
si
bien,
ou
plus stricte :
peu
P
Après 0160IR0160Ov [17] p on considère une partition H = Q ~
p
dc Sir0161ov"
On appellera
our tout q ~ Q , p ~ P
e
A l’ intérieur de
Pn
Dans tout lE reste de
on
ces
Q
Les
o
K=Ø;
P: H
K~~
Et
r
contraire, on
~.E plus intéressant
cas
s
l’ opposé,
Ou, à
où
~
,
PROPRIETE I ~ 1 n ~ S oit
d. 1_
d’un élément
décomposition
facteur de
un
~
s
s
=
F (H)
dl eoo d. 1 b .. ~dnn ~ où
s ~
d. z
Est
un
composant gaucho
3° si
d.
est
un
composant
bien
e
6St
une
.
si
ou
p
partitson
toute
sauf mention expresse du
notes,
une
sont
z°
q
lc sous-ensemble
distinguE
fois pour toutes P Et
6t P =
ceux où Q = H
supposera fixés
1o
tellE quE
satisfaisant cette condition.
H
dE
la
d. 1~.~.
>
d’un facteur de
facteur
droit
d. ~ l
d.
est
un
do
h.
’~
d. 1
s ~
s
conposant
ou
de
di+1 .
bien
di-1 di
h..
r
DEMONSTRATION.
2° Et lE 3°
Le 1 ° est
déjà établis
d~
s =
-
o a e
d, ~.r,:l
une
pour
d° d"
conséquence immédiate
(:en.). Supposons
dE
s , Et nontrons qu’ils sont
M ,1
.. o
sEUls
d~n
cas
EncorE
le
vrais pour
à considérer sont
.
d" :
-
d’après (H2), d’ >
composants gauches
dU,
d’ et
Et droits d’un certain facteur
d"
sont
respectivement des
s
dont, par hypothèsE~
h, de
J
d’ ordrE zéro
!);
d. = [d’ , d"] sst un composant (écentuellement
si
d. (rEsp o di+1) 6st un composant droit (r6sp. gauche)
-
ou
d’ ordre
zéro le résultat subsiste;
-
sst
si
>
d’
un
composant gauche :
~HO ~ 9
.
par induction
di
6t,
a
fortiori,
est
un
composant droit :
di di+1 ,
6t
a
si
-
bien
est
un
d"
fortiori
di+1
hj
~H3 ) ~
ç di+1 ~
bien
ou
d’un certain
composant
d"
toujours
on a
induction,
par
Et l’on
a
a
ou
car’
d" di+1 d’après
On observera que l’énoncé subsiste si l’on suppose que les indices sont pris
modulo la longueur du mot consiàéré
quand i == n , et
d.
quand i ~ ~ ) .
d , 1.~1 = d n
Considérons
~~. gauche)
normale
et
ce
nous
que
appellerons
(d’ordre 1)
h*1
du
(d’ordre 1) de h ~,
composant gauche (d’ordre 1 ) de h ,
est par définition le
appliquant
décomposition
sa
p r
étant 16 composant droit
h
En
h ~ H
particulier
en
on
composant
droit
etco
composant "d’extrême gauche"
propriété 1 ~
la
le
d’ordre
p
de
h o
obtient immédiatement
composant propre c’est-à-dire d’ordre
non d’extrême gauche de
~
h ~ es. composant de l’un des h i (~ ~ i ~p +1)
il en résulte que seuls les composants d’extrême-gauche de h peuvent être en
relation avec son composant droit d’ordre
Tenant compte de
et du fait que tout
.
/
.;
B/
,
PROPRIETE Ic20
.
Tout
dont tous les facteurs
à
K~
appartiennent
si 6t seulement si aucun de
appartient
à
P
P
à
ses
adr’iet
K e
ime
et
une
Inversement,
tout
composants propres,
décomposition
p ~P appartient
d’extrême gauche,
seule
non
K ~
,
1 ° si
si
h ~.
~ ~
la
propriété
et
K~
d’une décomposition
P
si p ~ K ~
de
des facteurs
p = h’h"
p E
et
est trivialement
toute
comme
h’’ ~ .
a
p
ne
p = [h’ ,
décomposition de p admet comme facteurs ceux
peut par être décomposé de la façon indiquée ;
(d’après (H2)) h’
admet une décomposition
fortiori
.
vérifiée* Soit donc
P ; par induction chacun
du type indiqué.
~
K,
admet
p & P
2° Si
composant
le
h" E: P
un
composant propre
h"
droit d’ordre un,
non
de
p
k
d’extrême-gauche
appartenant à
k ; donc
est tel que
6t
p’ ~ P tels que tp’t1
d’extrême-gauche de p’ , appartient à K y
3° Supposons déjà établi que pour tous les
é K si aucun des
p’
composants
non
[h’ , h"] ayant cette propriété; celle-ci est encore vérifiée pour
à K s’il
h" donc (par l’hypothèse d’induction), h" lui-mène appartiendrait
et donc p
appartenait à P p comme ceci est exclu par hypothèse, h"
et soit
p
=
dont
est
q
un
q ~Q
à tout
PROPRIÉTÉ I.3. - Si
il
correspond
au
moins
un
k jK
composent d’extrême-droite.
propriété 2, P ~ ~ entraîne K ~ ~ . Le résultat
est trivialement vrai quand K QA ~ ~ ou quand K contient un k
[k~ k~~j
E.
K)
donc
puisque
[K , q]
avec
q car, d’après (H3) , [k , ql cH (et
à droite"
k > q . Considérons k 6 K , quelconque et une décomposition "normale
DÉMONSTRATION. -
D’après
la
=
k :
de
Supposons
hfl
où
hÎi
>
déjà établi pour tous les q’ e Q tels
plus petit (selon ) composant d ’extrême-droite
le résultat
est le
q’
que
de
h
tel que
q :
.
h~ ., i’ ’ qi
Si h*i
[h’i+1 , h*i+1],
q] H
(H3 ) ,
Si
E
*
par
=
q1
=
[h*i ,
~
Dans les cieux ca.se
Un, 16 résultat
cet
q1
hj
et
sont dans
P), correspond
P d et dont tous les facteurs
donc,
encore
d’après
q1
admettant
q
conne
composant
droit d’ordre
par induction.
qu’à tout d ~ (D(P))
admettant une décomposition dont tous les
et une seul6 décomposition quc l’on notera
REMARQUE Iol , - Il résulte de la
l’ensemble des éléments de
et
.
>
établi
hypothèse
(H3 ) ’ J
h*i+1 q
D
une
propriété
sont dans K
1.2
(D(P) :
fa.cteurs
.
"P-contenu"Il
Après 0160IR0160OV, on dira que d et d ’ (d , d’ e 3’ (D(P) )) ont le
si 03B3 Ép d = $ Ép d’ où $ désigne l’homomorphisme canonique (de demi-groupe)
F(K)
de
d
si
Manifestement,
libre
demi-groupe commutatif
dans le
ont le même
d’
et
P-contenu,
~
même
P’-contenu pour toute
P’3 P . On dira que
1°
d
03B4P
2° si 03B3
est
d
d
fp
d’
d
est
On notera que
d
D(P) ayant
REMARQUE 1.2. - Il
(h , h’)
1~
2~
sera
dite
le même
sera
-
si
-
si
h
...
kn’mm ... où
et si pour
un
certain
=
P"
telle que
D .
sur
d"
H
] fp [d’ , dit’ ]
pour toutes les
paires
paire
si :
h ~ h~~ Q u K
ou
bien
h ~ h~
ou
~.
]~
(h ~
ou
légale,
est
bien
h ~ h"
ou
bien
h ~ K
Q :
ou
bien
h ~
h"
ou
bien
h >
h~$
h~ ~
donc
propriété
h" ,
h~~~
[h , h"]~
la
il
en
K .
h ~
est de même pour
.
ou
avec
bien
Q ~ K .
K :
=[~h~ ~
diaprés
h’
Q ~ K :
effet, puisque
h"
[h ~
bien
m :
~
commode d’utiliser la notation suivante : la
"légale"
.
et
K
P’
P-contenu.
On utilisera le fait que si
(h , h") ~ quand h~1 h" et
En
[d ,
entraîne
d’
pp
kn’22
kn’11
de Sirsov
partition
une
relation d’ordre total
une
P,
telle que
relation » définie par
et la
~
si et seulement s’il existe
P’ ,
quand :
==
d’1
avec
pp
d’ =
préordre
est une relation de
H
sont les éléments de
...
k1 k2 k3 ... km
de Sirsov:
03B3 03B4P
knm . . ;
d’ ont aussi le
et
d
P’-contenu pour tout
kn22 ...
kn11
K ,
par
~
re la tion
en
ont le même
d’
et
partition
engendre
Q
H
u
h e
dans les deux cas,
2
[h , h"]~
et alors soit
K .
soit
II. Théorème
Il.l.
Recompositions légales.
s ~ F (H)
Soit s = h1 h2
hi
sera dit "légal" (resp. 03C0-légal, resp. complètement légal)
...
s
hi),
pair6s
lex indices
... hn ;
=
étant pris module
Manifestement,
est
s
façon équivalente, si
on notera les
notations
2,
n ; rcsp. toutes
6
ou
v~
03C0-légal
particuliers
utilisées plus loin:
cas
complètement légaux.
2° Soit V e à (Q)
.
1
avec
=
1, 2 ,
hi’)
paires (hi ,
si
v
si et seulement si
T
F,
=
suivants
# (K) ;
... ,
1
avec
« Q
ou
si
=
v
lÉ. (Q)
v~ v~
n ,
1’ ) ,
W
même temps d6s
décroissa.nts
avec
v e
Ôi (Q )
V ;
si
et
o
g ..
V
et de
D’autre
en
de
sont à la fois 03C0-légauxnet
non
v~
...
légal ou,
légaux.
ss-est
=
qui définissent
Q-mots
l’ensemble des
s2
V -classe s.>nt
sa
vt
3° V : l’ensemble des mots de la forme
d6
resp.
... , n
tous 16s éléments de
1° Tous les Dots d.6
=
1
avec
si toutes 16s
légales.
s ont
v
.
part
sont
on
(V
complètement légaux (mais
d6
dira qu6 10 facteur
(çi )
hi
é
£
eT) .
t
génér,al
en
s
V ;
Tous les flots
non
6st "critique" si :
Q.’
~
(C2 )
(les
h~_i > h~ , h~_~
indices étant
pris
modula
.
-
n :
-
~
h~_~
Une
recomposition 03B4-1i
,OÙ
*
hi
pour
1
*
n J
h~
pour
1
*
1)o
d. est.un
facteur
critique,
sera
dite
"légale".
J
,
~
PROPRIETE II.l. - Si
un6
03C0-conjugué
est
s
condition nécessaire et suffisante pour
Réciproquement que leque soit
de s, 03B4-1i
critique
est aussi
s
,
facteur
.
-1i
de
hi
s
de cet élément.
décomposition
une
.
s ~ T
s
est
s) 03B4
et dans les mêmes conditions quand
le facteur
décomposition de s
03C0-conjugué
est une décomposition
d’une
lui-même
03C0-conjugué de s
qu’il soit
est
critique
décomposition de
qu’il ne possède aucun
d’une
DÉMONSTRATION.
T , il
(SI).
satisfait
3;(Q) ~
Si
(C2)
est de même de
en
bien s =
ou
q
~~~‘~-classe et
sa
~q ~ ~ )
ou
aucun
bien s
=
d6
qp :
ses
facteurs
ne
dans les deux
cas
n’est pas satisfaite.
s ~ ~ (K
u Q ) quelconque o Si s 4 ~(Q) U ~ ~T ) ~ s possède au
moins deux facteurs différents, et donc au moins un facteur satisfaisant (C2) ;
supposons que h. soit précisément le plus petit ~selon ~ ) facteur de s :
Soit d’abord
il
en
et
car
si
s
k
est
admet
la
propriété 1.1)
propriété I,2 ) h i ~ Q ,
au
la
que . On
^
noins
facteur
h.
h 3.,1 ’~
~C 1 ) ) ~
ce
ce
(et
donc
qui achève
s ~
s ~ ~ ~~ ) UT)
la preuve que
(K ~ Q) , s ~ (Q)
6t donc
h.
est criti-
U T
hi ,
un
facteur
critique
de
s ;
composant d’ordre zéro d’un facteur de s car :
d’après ~CZ ) ~ ce qui exclut le cas où s e %(Q) ~ h. eQ
qui exclut 16 cas ou s ~ T .
n’est pas
admet
critique.
RÉCIPROQUE. - Soit
1°
(puis-
tels
~h.
montré du même coup que tout
un
s
~ K) . Or ceci est impossible, dans les con03C0-conjugué d’une décomposition non triviale
moins deux facteurs
s
donc
2°
aérait de même de tous les autres facteurs de
pour tout
l’énoncé,
ditions de
au
K
à
appartenait
que q k
un
(d’après
composant gauche Qlaprès la proposition I.1 et l’inégalité
h. ~ est un composant de
donc, d’après la même propriété,
n’est pas
hi
h.
un
S puisqU6
Si
s
= ‘~ s ,
apparti6nt à
K
ou
h 1 (le
premier facteur à gauche) de s ou bien
bi6n, toujours d’après la proposition I.1 ~ satisfait hl ~
le facteur
.
~~
n’6st donc
jamais un
facteur critique
h. de
h~
F’t
Soit
=
~"s ~
un
facteur
s
critique
~(
et
s)
== ~
pour %ou%
s
=
élément
sans
facteur
critique obtenu
ordre quelconque
par
une
suite de
_~
partir de s= &s
(resp. d’un élément 03C0-conjugué de s = 03B4s), et 6n particulier à partir de
03B4* s) . On vient de voir
S = 03B4* s ~ F (resp.
d’un mot s de la TT-classe de
que tous les facteurs le s’ sont des composants de s ; s’ est une décomposi~~ T L~~(Q) (puisque SI n’a pas de facteur
tion de s mais? d’une part
recomposition légales~ effectuées
critique),
d’autre
n’appartient
part
on
dans
un
qu’aucune décomposition
s’ est donc identique à
sait
à cet ensemble.
à
4e 1 é T u ’Ê (Q)
(rssp. est 03C0-conjugué
propre
s
s).
de
PROPRIÉTÉ
II.2
(MEIER-WUNDERLI [16]). - 03B4* établit,
une
p
de l’ensemble des 03C0-classes de
application bijective
03C0-classes de
celui des
pour tout
sur
p(F) .
DEMONSTRATION. - Montrons d’abord que si s est 03C0-légal il en est de même
d6
si et seulement si
est un facteur critique : en effet, d’après
la propriété I.2 et (H2) , la condition (Cl) et l’inégalité
sont
03B4-1is ,
h.
hi-1 > h.
nécessaire et suffisantes
h
puisque,
par
seulement si
03C0-légal, donc,
Soit maintenant
à
f
qui
un
fortiori,
a
f
~
=
est tel que
do
3~ (F) ;
E1(T)
~
E1(Q)
03B4* s’
élément s’ ~
7~-conjugué
soit
soit
f
et donc
[hi-2 ,
(h._)
p
h) ;
f
puisqu6,
h]
~Q,
par
soit
.implique~
hypothèse,
hi-2 ,
il
si et
h
bien
h.~~h
K 0 Q
GK
ou
d’après la propriété
s
h ~.K .
correspond
dont la 03C0-classe est bien déterminée et
03C0-conjugué
~T~
pour que
paire
car
donc
>
hypothèse)
(h ~
légale (d’après (H3))
est
contraire?
cas
par
K L~Q. ~ Considérons la
Considérons la p~ire
h.
fortiori;
est
~-légal
construction,
dans le
ou
a
(puisque
appartienne à
=
est
s
est
un
Ainsi que l’a montré
de
f . Considérons
élément de la
~-classe de
MEIER WUNDERLI, cette propriété permet de retrouver la
formule d6 WITT [18] (une fois établi que H correspond biunivoquement à une
base (indépendante) de l’algèbre de Lie libre sur Il) en utilisant un résultat
combinatoire dû au Colonel MOREAU [13]
.
est
PROPRIÉTÉ
tion
supra)
03B4*
11.3. -
établit
considérons, F , D , H , P ,
systèmes correspondants
h
on a
~e~
h 6 D
pour tout
de
(cf. défini-
M
etc.
de
=
des sous-ensenbles
comme
A u
a~
a~
où
est
(HO) de supposer que, dans D(A ~ a*) ,
D(A) ; par hypothèse on a donc a 6K(A ~ja ) .
=
avec
0 s* ==a
propriété
la
partir
~" ~(a f)=s ;
et considérons
f e
Soit maintenant
et, d’après
construits à
compatible
nouvel élément. Il est
un
application bijective
F .
sur
DEMONSTRATION. - Nous
des
une
f * On
manifestement
donc :
a
a~ ? avec ’s’ (=.T B/~(Q) et donc ?~ W(A) .
Considérons dans ce
k* s* avec k* ~ K(A u a*) et s’ ~T(A) .
soit
a h1 h2
cas la décomposition normale à gauche
hn de k ; d’après les
remaries faites à la fin de la propriété 1.1 y h1 h2
hn , c ’est-àdire h. h2
hn ~ V et par conséquent ? 03B4-1** f h1 h2
hn s’ ~ W.
-
soit
-
~
s*
=
=
.
...
...
=
...
03B4* s
et
v =
h’1 h’2
03B4*
et
=
c..
de
h’
03B4-1**
longueur
w ~
est de la forme
W
[a* h’1 ] h’2]
nulle
non
...
...
]
vt
avec
t 6 T
h’n] ~ K(A U a )
et
et
s.nt donc bien inverses l’un de l’autre .
II.3 peut aussi être établie
propriété
REMARQUE II.le - La
facteurs
si
Réciproquement,
f .
=
"c-critique"
d.
considérant des
en
définis par
(C’1)
(C’2)
d.
est
(C’3)
W
est alors l’ensemble tes
et
on
montre
est de même de
s
PROPRIETE 11.4. =
et
{03B4* t :
t
eT )
corme
i
=
2,
~ (Q
s
03B4* :
1
di
T ~ F
satisfait les conditions
est
s
est
est
Uz
ou di
=
dn
et
dn-1>dn
i .
n’admettant
que si
si et seulement si
L’application
i’~
U K)
plus haut
n -
... ,
pour tout
d. ~ d.,
c-critique
G
critique
aucun
facteur
complètement légale
c-critique.
un
et
monomorphisme
Nl.
et
il
en
DEMONSTRATION.
03B4*
1° Que
II.1,
G
car
monomorphisme est
un
= ~
ff’
et
t
celles
03B4*(hi+1
h, )
...
h~ ~ ..., ~ h
elle
à
(f ~
zéro)
F j
h
a.~
de
et
Puisque
t’ ; considérons
longueur minimale
et de
t
qui est de
n
,
t
t~
e st, de même de
est
composants
d’ordre
f ~
h~ c.. h,. )
t’
un
propriété
-1**
inverse 03B4
de la
F .
de
en
l’a vu,
comme en
que
Comité
=s
même remarque vaut pour
....
z
propriété
la
admet
t~
il
conséquence immédiate
une
h. h~
sont des
composant gauche (ou
h
= ~
de
possédant
hi+2
f’f
03C0-conjugués,
sont
recomposition légale
parmi
T
à
sous-demi-groupe libre
un
et
la
03B4*
la restriction de
est donc
2o Soit
est
f
==
et
03C0-conjugué de t ,
t~ ; en particulier~
donc pas
un
les facteurs
est
un
la
facteur
critique ;
recomposition
puisque par hypothèse la
h~. h~ ~
h est de longueur minimale avec les propriétés indiquées~~
pas de facteur critiquée Tous les facteurs h. appartiennent donc
~ ~ f~ ~ T ce qui achevé do montrer que G
et par
h~ et,
...
conséquent ~ " ~ ~
K
satisfait
"
~~
3~ Le résul.tat est trivial si
(diaprés
sait trouver
on
~"
k~
(~ k)(~
==
la
propriété 1.3)
on a
~~
si
f
k~ ~ K
~ ~"((~ k)f)
donc
f
q~ (q
==
~T) ~
t
tels que
~T
et,
conséquente
par
F f û
’
’
~1.’-’. f
k
[ir ,
=
(et
~K
F f
donc
l’élément
On
peut
tous les
en
vt ,
==
[h:
,
=
v
V
q, q2 ...
>
~) puisque
]
q1]q2] ... ]qn
en
appartient
à
~H
-.
inégalités
raison des
03B4-1**
propriété
1.3
REMARQUE 11.2. - Il existe
satisfaisant
~LL
satisfont la condition
gauche"
h’
K
q~ ~
tel que
]
~T
~k ~
’«
.
déjà établi
q’1 q. et comme
que [~h’ ~ q. ] ~Q
donc par double induction supposer que le résultat est
>
f =
t avec
f tels que
utilisant la
s
un
~’~’((~ h~)f)
on a encore
q’1 q2
on
pour tout
et
au
*"
sait trouver
le résultat est établi dans tous les
F
et s’il existe
tel
h’
~K
cas~
moins
ce
q
un
pour
un
autre
type
de
sous-demi-groupes
sont les idéaux à droite
J
(JF
=
G
de
F) qui
s
f e F : si
dans la théorie de P. DUBREIL
alors
f C J .
[4] , [5] , [6]).
(qui
sont "unitaires à
Ceci est notamment le
fixe de
et
f
F ,
longueur
de
de leurs liens
s’il existe
avec
encore
desidéaux
do la forme
J
f
F , où
f
est
un
mot
non
F
pas être écrit sous la forme f’f"f’ , avec
nulle (ci. [15] ~ pour une théorie de ces problèmes et
la
notion
pouvant
ne
cas
probabiliste "d’événement récurrent") ;j’ignore
conne
sous-demi-groupes satisfaisant uz , et
l’intersection de sous-demi-groupes de l’un
leurs
opposés,,
d’autres types de
pouvant pas être obtenus
des deux types décrits eu de
ne
REMERQUE 11.3. - Il ressort de la démonstration que pour
K
ensemble
un
donné
il y ait au
que soit f
moins un f & F de longueur inférieure à n et tel que
unitaires
découle, par une application élémentaire de la théorie des demi-groupes
si A contient m ~ co
et nets d’un seul coté ([4] ~ [5] , et [6]),
il existe
un
entier naturel
n
tel que
quel
éléments la fonction entière de la variable 03BB
1/n n
admet la racine
est évidemment triviale dans le
cas
des groupes. La
dans le
cas
clos
z
REMARQUE II.4. libres nais
non
F
et
Soient
phisme
~~
03B4* :
F’
cas
demi-groupes
des groupes.
(r6sp.
deux
libres
03B4*
un
homomor-
Ft ~ F
si
vérifiant
dans le
à
équivalente
est
condition suivante
f’ ~ F;
sont tels
f(03B4* f’1) = (03B4* f’2) f ,
existe
qu’ il
un
[B.lors il existe
nulle vérifiant
f ~ F
un
de
1
longueur non nulle
de longueur non
.
III.
Indépendance des bases
de Marshall Hall.
III.1. Notations. - On garde les notations précédentes, 6t on convient que pour
tout X C S , X désigne le Z-module libre dont X est une base. On convient
opérations (x , y) ~ xy ot (x , y) ~ [x , y] sont
D) peut être considéré corme la
Donc, en particulier, F
associative (resp. sans identité) libre sur Ao . L’élément neutre 1
considéré conne l’élément unité de S et il sera commode de poser :
aussi que les
bilinéaires.
de
S
est
On définit
en
outre
homomorphisme (de Z-algèbre associative) 03BB:
un
S ~ F par:
~A
Chaque élément dit (d E D) est
le même symbole, de l’algèbre de
égal
donc
à
élément,
Soient, plus généralement, h et
de H ; puisque [~h ~
Eh~ ~ h] ~, ’= 0 ~ on peut
6P quand
~H ~ on a a fortiori [h ~
[h ~
~
considérons la
nous
F
E P~
partition
de Sirsov
un
sous-ensemble de
~
Soit
tiennent à
(h , h’)
h
=
k~
(cf.
K’
telles que
~;
où
Q
est
égal
=
à
P
=
H
1° ont le même
dans
de
K
=
ii.)
termes - h/
définis par
H
K’(h’) ~ (K ~h’)
de
h
où tous les
h
l’ensemble
appartient
à
P’
P,
dont tous les facteurs
h.
de h h’ ,
que
figurant
[h
h’
]03BB
dans la somme :
[h , h’ ]
comme
[h1 h2] et,
si
h’
de
soit inférieur à celui
3° admettent
=
si
>~h~ ~
apparRemarque 1.1). Supposons déjà établie pour toutes les paires
le H2014contenu de [h , h’] (par rapport au cas particulier
composants d’ordre
h
h
supposer que
quelconques
P .
2~ ont leurs deux
Si
A .
par
deux éléments
h’
naturellement si
1.2 ;
P’-contenu que
h’
K~ =
k~ la décomposition
et
une somme
P’
Soit
comme
par
v
si et seulement si
correspondant défini
est
,
,
désignera
(D(P))03BB ~ P03BB .
DÉMONSTRATION. -
,
que l’on
L(A) engendrée
Lie libre
(Marshall HALL, SIRSOV). -
PROPRIETE III.1
un
un en
relation >
avec
h’ .
composant droite
par
E. E? h’ ,
hypothèse
>
>
on a
diaprés
l’identité de
Lie s
Suivant l’hypothèse d’induction, [h1
h’]03BB et
dont tous les termes ont les propriétés voulues
en
relation >
qu’un
avec
E"’ ;
le résultat
nombre fini d’éléments de
H
en
ayant
sont
et
égaux
à dos
sommes
particulier sont
découle iMmédiatement puisqu’il n’y
un
donc,
en
P’-contenu donné.
a
(HO)’ . ~
REMARQUE 111.1. -Soient ~ satisfaisant
degré
m
(K :
H
H
o..
de
d6
2014~
A
~
composants d’ordre un sont de degré ~ n ,
la transformation linéaire induite par une transformation linéaire
dans lui-même. La propriété III.1 permet facilement de vérifier que
pour tout
c
=
par les bases de
h’
h ,
h
03A3
la
propriété
h
hypothèse,
h’
e’ P
petit
h
d’ordre
h" ~.P ~ /ei
c’h
si
le vérifie aisément
ou
régularité
[h’ ~ h"] p
de la
rappelle que
F
T,
de
(Go BIRKHOFF,
F ([ 1 ] , [18]).
=
Q UP
telle que
P X*
p
on
h.
0160ir0161ov définie par
partition
aurait
~~~h== ~~h’ et donc,
la
de
Le résultat en découle immédiatement par
[h" , h] ~ H , h" est le composant
conne
P-contenu de tous les
le
h’]
ou
[h p h"]
d’après
les
est le
propriétés
o
nouveau une
etc. définis
est la
PROPRIETE III.2
U
somme
on a
W,
H
composants droits
le plus
Sinon, désignant par
P
relation »
fixe et les ensembles
avec
h’ o
=
Donc,
Nous considérons maintenant
de
h
apparaissant dans la
h.
même que celui de
de
o
0160ir0161ov
de
car
Q*
h. ~
[h , h"]
h
figurant
h.
contient certainement les
de h et de h~
un
induction car, si
droit d’ordre un de
termes
P
telle que
.
partition
une
Pp
~h.
h’
somme
deux éléments et par
ces
comme on
il existe
et que
h~
de
([2] . [14 ]
est la relation d’ordre
pour tous les
h
nul dans la
non
Par
et
.
admettant
H,
somme 03A3 ± hi
une
(où P
t
montrer que si
on va
± h03BBi ;
coefficient
h~
FOX et LYNDON
CHEN,
trois éléments de
peut trouver
on
total définie dans la remarque
un
h
et
d’invariance des bases de
un
H ; d’après
h’03BB
partagée
propriété
Cette
n .
m ~
de D , obtenu en subsituant
composant égal à h ; l’élément h’
(une fois) dans l’écriture de h , n’appartient pas nécessairement à
moins
à
.
Soient
REMARQUE III.2. h’
l’ensemble des
m~n
dont les deux
Marshall HALL n’est pas
au
H
libre
E.
partition
au
FI
=
Q ~ P
début de la section Ils On
engendrée
WITT). -
0160ir0161ov
de
W’
A .
par
est
une
base
(indépendante)
~
DEMONSTRATION. - On suit la méthode de
Soit
U
l’ensemble des mots
définit
"straightning" de
complètement légaux
une
de
application linéaire
G. BIRKOFF
[l] .
S . Par définition
ç
de U dans 7
par :
et pour tout
h
avec
E
H,
i~i
v
(h w)6 = h w ,
la définition
;i
,
effectivement
h. ] w~
1~ les deux termes
à celle de
2~
(h ,
et
hi (puisqu’alors
si
permet
L"t E U
v" ;
hi
=
des mots..de la forme
U’
à l’ensemble
appartenant
u
construction
et
hw~
hw
=
pose.:
éi)
hv
une
légal, on
hi )
u’
par induction
h >
si
car,
h1 ,
sont de longueur strictement inférieure
h w
h.)
(h ~
Puisque
est
légale,
w’
et que
=
h~
w"
h~ ~-h~ ~
avec
’
est
légale
[h
fortiori et donc
a
hw’ 6
3~ Pour les mêmes raisons,
le
premier
facteur à
(h
est
=
>h?)
et
figurant
relation >
h
avec
relation >
en
induction facile
une
dans la
vérifie que
somme
h~ (selon
ou
avec
on
h
que
~-h~
h~ ~
part :
[~h p
4° Que
en
fortiori,
a
Par
de tous les
toujours
donc,
On note d’autre
.
gauche
w~ 6 IT
h.]
et
h.
ont le même
h w’
’
5~ que
(hh~)~==[h ,
.
Il s’ensuit par induction que pour tout
la démonstrationo On remarquera,
tout
f~"
f
Etant donné
le
contenu,
Donc,
1~ Les
l’algèbre
une somme
qu~il résulte
F
(h ~H)
de Lie libre
et
existe
III.2 montre
M y
sont linéairement
engendrée
t~
par
A
une
ce
=
qui achève
de la construction que pour
dont les coefficients sont
(Propriété IIc3) qu’il
entre
h~
est
(u~)" u
u
non
négatifs.
correspondance bijective, conservant
M"
est
une
indépendants et
(Marshall HALL).
base
forment
indépendante
une
base de
(t 6T) engendrent une sous-algèbre associative libre de
T) engendrent un sous-demi-groupe libre
(SIRSOV) puisque les ~ t
(propriété IIc4)û
2° Les
’
de
F
de
F
R
Soient
X
un
~ L’ ,
et
engendré
R-module libre
désignant maintenant le
un épimorphisme de
L(A)
X
corps,
R-algèbre
la
par
d6 Lie libre.
REMARQUE III .3. - Quel que soit la base de Marshall HALL/ H , il existe un soussoit une base (indépendante) de L’et qu’en
ensemble Q ~ H tel que
outre Q contienne tous les composants de ses éléments.
DEMONSTRATION. définissons
une
2°
est le
H)
Q(h*i)
où
n’est
composants
des
aucun
g~,
un
Q
Q
m
d’éléments da R par les
suivantes,
règles
(hfl
do
appartienne
est le
au
plus petit élément
sous-module d6
L’
engen-
Q(h*i)
H
et
=
Q ~ P
la
de
partition correspondante
6t les
Q
pour
’
On observera que
Q,
si, ayant défini
(HO)
satisfaisant
et
h~h’ ~
une
si
~
nouvelle relation d’ordre
h ~
h’ ~Q
construit la base de Marshall HALL
on
h ~.h’
et
sur
si
h eQ
correspondante H’ ,
on a :
ou
D~
et
Q CH OH
il existe
6t
une
partition
s ~ s’> la
Q U P~
de Sirsov
IV.
Soit
Algèbre
forme bilinéaire
d6
allons donner
une
formule
symétrique sur S
Afin de simplifier les énoncés
que H=Q et W * V e
on
un
?~ ~’~.
=
de "Shuffle"
.s pS~> = 1 ou = 0 , selon que s=s’ ou
théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt peut s’écrire sous
nous
telle que
H’
de
et et
L’ ;
formé des éléments dont
H
contient tous les composants de ses éléments
construction,
sont indépendants ; comme d’après la remarque III.2,
tout heP, le résultat est établi.
Par
de
h « h*i+1 .
avec
=
(non indépendante)
base
(i~ ~-i) .
tel que
les 03C6h
Soit maintenant
...
une
est le sous-ensemble de
plus petit élément
selon l’ordre
dré par tous
est
h*1, h*2,..., hn,
suite
h*i+1 ~ Q(h*i)
1°
d6
Il est évident que
S définie
x
partir
t
la forme :
.
peu différente pour calculer
suppose désormais que
à
P
=~~
s ~~
c’6st-à-dire
H ,
On
est
va
un cas
des
règles
opération linéaire F
1 Tf
fT 0
0
=
exposée
qui
introduites par
nom
dans
de "shuffle"
[2] .
x
F -~ F définie par prolongement à partir
=
0 ;
f ~’ ~ ~ f
f GF
pour tout
.
par induction :
f
si
(S2 )
f T
Posons pour
~
même
d’algèbre
suivantes :
(S1 )
et,
et dont la théorie est
[14]
’~’ une
structure F..
d’une
des structures de
très particulier
R, C. LYNDON
Soit
F
Z-module
munir la
=
a.
(f1
(a ~ k ~
af’1
=
f"
T
+
Tf~)
pour tout
F
.
x ’ y et considérons
pour tout
abréger
f" C
la double identité :
(x ry)
(sa)
Il résulte immédiatement de
encore
associative car, à
T
(SO)
cause
(x r z) T
=
z
que T est
de la
=
y
x T
non
(y
T
Z)o
seulement commutative mais
distributivité :
’
’
avec,
et par
d’après
(SO)
conséquent
Diautr6
g
est
part,
par
6t
induction,
si
~
(SZ ~
(SO)
car
identiquement vérifiée
(SO)
par
est trivialement vraie si
est vraie pour
définie
l’opération
(x ~ ~r ~
x =
1
et,
et si
par
a~A~
ax ~ y
on a, pour
Pour tout
fp
apparaissant
f.
où la
z :
==~-f.même(f.
6F ~
dans cette
est le
somme
ouïe contenu de chacun des
longueur du "shuffle" est la
ff’ o
que celui de
correspondant
sont les "shuffles" de R. C. LYNDON
f.
Les
f
6t
au cas
particulier
f
de celle des éléments "shuffled"
somme
et
,
On observera que
_
"
est
une
... ))
A
(SO) ;
satisfaisant
y ~Y
~o
g~
2°
h03C4 =
~~
s
de
=
h. hp ... hi ... h
F .
règles
suivantes :
..
h ~ H (où,
on
le
03B4*1 h
rappelle,
est la
décompo-
’
h) .
ni!)-1 w03C4
de
par les
6 A
pour tout
gauche
w03C4 =(03A9
a
et le résultat
...
~2014~F l’application définie
pour tout
(03B4*1 h)03C4
sition normale
a~ ~ a~ ~ ... ~ a~ ~A ~ or,
~F
(a~ ’r( ... ))) a~basea~ a
F est une
ce que
indépendante
.
avec
==
Soit maintenant ~
==
sur
__
découle immédiatement de
w
T
libre
~~A
on
a. T (a
diaprés (S2)~ a~
3°
Z-algèbre
est la
f
vérifie facilement que si Y satisfait cette identité, tout
somme finie de termes "normes" c’est-à-dire de la forme
effet,
en
F
... h03C42
(03A9 ni!)-1 h03C41h03C41
avec
w" défini
...
pour tout
recursivement par
(w h.)03C4
= w03C4 ~ h03C4
.
J
J
1
1
PROPRIETE IV.1. -
~
Pour tout
w ~ W
..,
et
f ~
F ,
/
DEMONSTRATION. - Il suffit évidemment de
f~ C. F .
Supposons-16 déjà établi
pour
f’
démontrer le résultat pour
t F , et soit f
af t ? a
=
w e
W et
é A .
On
a :
Soit
w’
n.
n. n?
h. h22
=
hi1 ;
...
diaprés
les résultats de
III,
on
vérifie facilement
que
sauf. si
~~
où les
n, 1
3°
Dans
n .
a
sont reliés
n!
=
1
1
cE
l’une des formes
aux
quand i ~
n!
par la condition
suivante : pour
un
certain
1*
i~
cas,
.
Considérons maintenant
.
on
commutative et des identités
où la
posé
somme
est étendue à tous les
a,
en
raison du fait que ~’ est associative et
~5~~
hi
distincts figurant dans
w
Et où
on a
i
où la sommation est étendue à tous les
Comme par
w’03C4* ,
hypothèse
f’> =
i"
ment de la
comparaison
REMARQUE. - Soit
Soit d’autre part
tion de 1 + a. à
f ~ F
tout
la
t-: F2014~F
a.
A
pour tout
w~ p
f>
formé par les
W
degré
f
est de
gF
(n~
f
.~
degré ni
~n.) n
les
n .
de
On vérifie facilement que pour
o
degré
de
m
en
n~
inégalités
est déterminé par la donnée des
Mf
est déterminée par
n % m . Il en résulte la possi-
avec
bilité de retrouver les relations de "shuffle" et
si
de la forme
w
l’homomorphisme de F induit par la substitu-
composante homogène
la seule donnée des
~
w.(aw’)> .
avec
est de
h
et où
a .
=
résultat découle immédiate-
le sous-ensemble de
h~ H
F et
où
f’h
a.
w* , if’> le
de cette formule
M/ B
tels que
en
en
a~ ~
particulier
o.. ~
n_
en
le fait que
a_
existant entre les coefficients font que
w~
f >
avec
cependant moins
de CHEN, FOX et
Les formules utilisant les bases de Marshall HALL semblent
adaptées
à
ce
calcul que celles qui
reposent sur
les bases
bien
LYNDON.
Mentionnons pour terminer la formule suivante
calculs
Si
égal
w
à :
qui viennent d’être développés :
=
h~ h~
...
h.~ .
le coefficient
qui
se
déduit facilement des
.
N(w)
=
w~ ~
(~-a~>
est
.
Jh. )Î
où
vement
En
par
si
h
produit est étendu
composant gauches.
où le
des
h.
=
particulier,
= 03A3
03BDi|hi|)
quand 03B4*1 h, = a w’
degré de
N(h.) N(w’)
est le
est
(n
multilinéaire
à tous les
de
est défini inducti-
est où
1
(a ~A) .
degré
n
composants propres
de
h
qui
ne
sont pas
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