IV - Bissectrice d`un angle

Activité 1 : Mesure d'angles en degrés
1. Première approche de la mesure d'un angle
a. Décalque l'angle ci-contre et découpe-le pour
l'utiliser comme gabarit. On prend la mesure
de cet angle pour unité.
b. Utilise le gabarit pour construire un angle deux fois plus grand que celui représenté
sur la figure ci-dessus. On dira dans cette partie que ce nouvel angle a une mesure de
deux unités.
c. De la même façon, construis un angle de mesure trois unités puis un angle de mesure
cinq unités.
d. Détermine, en unités, la mesure de chacun des angles Į, į et İ ci-dessous.
e. Donne un encadrement, en unités, de la mesure de chacun des angles ı, IJ et ij.
f. Cette unité est-elle pratique pour mesurer les angles ? Pourquoi ?
2. Mesure en degrés
Le degré est une unité d'angle plus pratique que la précédente. Voici un angle dont la
mesure est 1°. Cette mesure a été choisie de telle manière qu'un angle droit mesure 90°.
a. Parmi les nombres entre 2 et 10, trouve ceux qui sont des diviseurs de 90.
b. Si on coupe un angle droit (90°) en deux angles de même mesure, quelle est alors la
mesure de chacun des angles ? Même question si on le coupe en trois puis en cinq
angles de même mesure. (Voir les trois premières figures ci-dessous.)
c. Quelle est la mesure d'un angle plat (angle violet, dernière figure ci-dessus) qui est
formé de deux angles droits adjacents ?
d. On partage un angle plat en 18 angles de même mesure. Quelle est la mesure de
chaque angle ?
e. Détermine la mesure des angles marqués en bleu, vert, rouge et jaune. Donne un
encadrement des angles marqués en violet et orange.
ANGLES - CHAPITRE M1
218
OOO
͇͈͉͊IJij

Activité 2 : Des angles dynamiques
1. Un angle avec un logiciel de géométrie dynamique
a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construis un angle.
b. Explique comment tu as procédé pour construire cet angle.
c. Combien de points a-t-il fallu définir pour construire cet angle ? Lequel de ces points
joue un rôle « particulier » ? Propose alors une façon de nommer l'angle que tu as
construit.
d. Sur une nouvelle page et dans un logiciel de géométrie dynamique, construis un angle
dont le nom est
ƅ
TBR . Marque cet angle.
e. Place un point S sur la demi-droite [BT).
Quel autre nom peut-on donner à l'angle
ƅ
TBR ?
2. Plus petit ou plus grand qu'un angle droit
a. Fais afficher la mesure de l'angle
ƅ
SBR.
b. À l'aide de la souris, déplace le point S. Cela
modifie-t-il la valeur de l'angle
ƅ
SBR ?
c. Déplace le point T pour que l'angle
ƅ
TBR mesure
90°.
Que se passe-t-il quand cette mesure est atteinte
exactement ?
d. Une nouvelle fois, déplace le point T pour que
l'angle
ƅ
TBR mesure 180°.
e. Construis la droite perpendiculaire à la demi-droite
[BR) passant par B. Place un point U sur cette
perpendiculaire.
f. Bouge le point T pour que l'angle
ƅ
TBR mesure
approximativement 68°, 112°, 95°, 79° et 88°. Que
remarques-tu ?
3. Le rapporteur dans l'œil ?
a. Sur une nouvelle page et dans un logiciel de géométrie dynamique, construis un angle
ƅ
BAC.Sans afficher sa mesure, essaie de bouger les points pour que la mesure de
l'angle
ƅ
BAC soit plus petite que 40°.
b. Construis alors un point D tel que la mesure de l'angle
ƅ
CAD soit approximativement
deux fois plus grande que celle de l'angle
ƅ
BAC.
c. Affiche alors la mesure des angles et regarde si tu avais bien le rapporteur dans l'œil !
d. Place approximativement un point E tel que la demi-droite [AE) coupe l'angle
ƅ
BAC en
deux angles de même mesure.
e. Une nouvelle fois, vérifie la précision en affichant la mesure des angles.
f. Comment peut-on construire précisément la demi-droite [AE) ?
Cette demi-droite est appelée bissectrice de l'angle
ƅ
BAC.
CHAPITRE M1 – ANGLES 219

I - Notion d'angle ex 1 et 2
Définition
Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.
A - Vocabulaire
Définitions
DLe point O est le sommet de l’angle.
DLes demi-droites [Ox) et [Oy) sont les côtés de l’angle.
B - Notation
Définitions
DLa portion du plan coloriée en bleu est un angle saillant.
DLa portion du plan non coloriée est un angle rentrant.
Exemple : Comment se nomme l'angle bleu ?
Il peut se nommer de différentes manières (le plus souvent avec trois lettres, celle du milieu étant
toujours le sommet de l'angle) :
ƅ
x
Oyou
ƅ
yO
x
ou
ƅ
BOD ou
ƅ
DOB ou
ƅ
BO you
ƅ
yOB ou
ƅ
DO
x
ou
ƅ
x
OD .
C - Angles de même mesure
Définition
Des angles de même mesure sont codés avec le même
symbole (comme pour les longueurs).
Exemple : Quels sont les angles de même mesure ?
Ces angles sont codés avec le même symbole.
On a donc :
ƅ
AED ǘ
ƅ
ABC ;
ƅ
EAD ǘ
ƅ
CAB et
ƅ
EDA ǘ
ƅ
ACB.
II - Différents types d'angles ex 3
On classe les angles par catégories selon leur mesure.
Angle Nul Aigu Droit Obtus Plat Rentrant Plein
Figure
Mesure 0° entre 0°
et 90° 90° entre 90°
et 180° 180° entre 180°
et 360 ° 360°
Position
des côtés confondus perpendi-
culaires
dans le
prolongement
l'un de l'autre
confondus
Angles saillants
ANGLES - CHAPITRE M1
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Oxy Ox
y
Ox
y
O
B
D
x
y
220
A
B
D
E
C

Propriétés Soient A, B et C trois points distincts.
Exemple : Que dire des points J, K et L ?
ƅ
JKL ǘ
ƅ
JKM Ÿ
ƅ
MKL ǘ 123° Ÿ 57° ǘ 180°
L'angle
ƅ
JKL
est un angle plat.
Donc les points J, K et L sont alignés.
III - Utilisation du rapporteur ex 4 à 6
Définitions
On peut mesurer « l'ouverture » d'un angle. L'unité que l'on utilise au collège est le degré.
L'instrument qui permet de mesurer des angles est le rapporteur.
Remarque : Un rapporteur gradué en degrés a souvent une double graduation qui va de 0 à 180
degrés et qui est source de nombreuses erreurs. Il conviendra donc de bien observer si l'angle qu'on
étudie est aigu ou obtus.
Exemple 1 : Donne la mesure de
On place le centre du
rapporteur sur le sommet de
l'angle.
On place un zéro du rapporteur sur le côté [AC).
La mesure de l'angle est donnée par l'autre côté
de l'angle sur la même échelle de graduation.
Exemple 2 : Construis un angle el que ǘ 108°.
On trace d'abord
une demi-
droite [UB).
CHAPITRE M1 - ANGLES
C
A
B
U
B
M
57°
J
K L
123°
221