triangle tri-rectangle pour unité d`aire, un triangle spherique a pour

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GÉOMÉTRIE.
triangle tri-rectangle pour unité d'aire, un triangle
spherique
a pour mesure son excès spherique. T étant le huitième de la
T. R2
surface spherique, on a T =
(273) et, par suite,
A B C = (A + B + C — 2 ) — •
'
2
Soit maintenant un polygone spherique convexe quelconque
ABCDE [fig. 257). On décomposera ce polygone en triangles,
en joignant le sommet A aux autres sommets non adjacents par des arcs de grand
cercle, et l'on obtiendra autant de triangles que le polygone a de côtés moins
deux. En ajoutant les aires de ces triangles, on aura l'aire du polygone, et en
remarquant que la somme des angles de
tous ces triangles forme la somme des
angles du polygone, on verra que le rapport de l'aire de ce
polygone à la surface spherique est égal au rapport de la
somme de ses angles, diminuée d'autant de fois deux droits
que le polygone contient de côtés moins deux, à huit angles
droits.
Désignons par S la somme des angles du polygone, par « le
nombre de ses côtés, on aura
ABCDE
surf. sph.
S — 2 ( « —2)
8
Si l'on remplace surf. sph. par 8 T , il vient
ABCDE _ S — 2 (« — 2 )
Le rapport écrit dans le second membre s'appelle l'excès
spherique du polygone. Lorsqu'on prend l'angle droit pour
unité d'angle et le triangle tri-rectangle pour unité d'aire, un
polygone spherique a donc pour mesure son excès spherique.
On peut écrire
ABCDE = (S H-4 — 2.11). — •
2
IV. — Mesure du volume de la sphère.
277. Le volume engendré par la révolution d'un
triangle
autour d'une droite située dans son plan et passant par l'un de
ses sommets sans traverser sa surface, est égal au produit de la
surface engendrée par le côté du triangle opposé au sommet
situé sur l'axe, multipliée par le tiers de la hauteur
correspondante.