Exercices 5 Calculus

Exercices 5 Calculus
Entraînement aux calculs différentiel et intégral. On ajoute quelques
fonctions nouvelles et on finit par l’étude des équations différentielles
linéaires d’ordre un et deux.
5 Calculus................................................................................ 1
1 Fonctionsusuelles ................................................................. 2
1.1 Exponentielle, logarithme et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Fonctionscirculaires ........................................................ 5
1.3 Fonctionshyperboliques .................................................... 8
2 Primitivesetintégrales ............................................................. 10
2.1 Techniquesdecalcul ........................................................ 10
2.2 Suitesd’intégrales........................................................... 11
3 Équationsdifférentielles............................................................ 13
3.1 Équations différentielles linéaires d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Équations différentielles linéaires d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Problèmes se ramenant à une EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Indications ........................................................................ 17

PCSI2\2014-2015 Laurent Kaczmarek
Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪,♪♪ ,♪♪♪ et ♪♪♪♪. Certains énoncés
sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les
exercices notés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
1. Fonctions usuelles
1.1. Exponentielle, logarithme et puissances
1 . [ Étude d’une fonction ] ( ind )
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=x(1−ex). On note Γle graphe de fdans le repère orthonormé
R=(O,u,v).
a) Justifier la dérivabilité de fpuis étudier les variations de la fonction f0.
b) En déduire les variations de f.
c) Prouver que Γadmet une seule asymptote, notée D. Etudier la position relative de Γet D.
d) Tracer Γet D.
e) Calculer l’aire, notée A(λ), comprise entre Γet Asur le segment [λ,0] pour tout λÉ0. Cette aire
admet-elle une limite lorsque λtend vers −∞?
2 . [ Des limites en vrac ] ( ind )
Déterminer les limites en +∞, des fonctions suivantes :
a) a(bx)
b(ax)où 1 <a<b; b) a(ax) x(xa)où a>1. c) (xx)x
x(xx).
3 . [ Équations aux puissances ] ( ind )
Résoudre dans Rles équations suivantes :
a) 2x+3x=5 ; b) 9x−2x+1
2=2x+7 2−32x−1.
4 . [ Une suite de fonctions ] ( ind )
Soit α∈R. Soit pour n∈N∗,fnla fonction définie par fn:R−→ R
x7−→ nαxe−nx
a) Discuter la limite à xfixé, de la suite ¡fn(x)¢nÊ1.
b) Montrer que ∀n∈N,fnadmet un maximum sur Rque l’on notera un.
c) Discuter la limite de la suite (un)nÊ1.
5 . [ Minoration de la série harmonique ♪] ( ind )
a) Prouver que, pour tout réel x>0, 1
1+xÉln(1+x)−ln(x)É1 x.
b) En déduire que, pour entier nÊ1,
n
X
k=1
1
kÊln(n+1).
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6 . [ Optimisation ♪] ( ind )
Trouver la plus grande valeur de n
pn, pour n∈N∗.
7 . [ Taylor avant l’heure ♪] ( ind )
Prouver que pour tout xÊ0 et tout entier naturel n,exÊ1+x+x2
2! +···+ xn n!.
8 . [ Etude d’une suite de fonctions ♪] ( ind )
Pour tout n∈Net xdans R, on pose fn(x)=xn(1−x).
a) Quelle est la limite de fn(x) lorsque ntend vers +∞?
b) Prouver que fnadmet un maximum sur [0,1], noté un.
c) La suite (un)n∈Nconverge-t-elle ?
9 . [ Majoration d’un produit ♪] ( ind )
Pour tout entier naturel nnon nul, on pose πn:=
n
Y
k=1µ1+1
k2¶.
a) Une majoration.
i) Montrer que, pour tout x∈]−1,+∞[, ln(1 +x)Éx.
ii) Établir que, pour tout kÊ2, 1
k2É1 k−1−1 k.
iii) En déduire que ln(πn)É2 puis πnÉe2pour tout entier naturel nnon nul.
b) Une meilleure majoration.
i) Établir que, pour tout kÊ2, 1+1
k2Ék2 (k−1)(k+1).
ii) En déduire que πnÉ4 pour tout entier naturel nnon nul.
10 . [ Un petit lemme ♪♪ ] ( ind )
Soient a,bet ctrois nombres réels tels que ea+eb+ec=3 et a+b+c=0. Montrer que a=b=c=0.
11 . [ Une inégalité classique ♪♪ ] ( ind )
L’objectif de cet exercice est d’établir une inégalité classique :
∀n∈N∗,∀t∈[0,n[, 0 Ée−t−µ1−t
n¶n
Ét2e−t
n
a) Prouver que ∀u∈[0,1[, ln(1 +u)ÉuÉ−ln(1 −u).
b) Soit nÊ1. Déduire de la question a) que pour tout réel tappartenant à [0,n[,
e−tʵ1−t
n¶n
et etʵ1+t
n¶n
c) En déduire que ∀t∈[0,n[,
0Ée−t−³1−t
n´n
Éfn(t), où fn(t)=e−tÃ1−µ1−t2
n2¶n!
d) Soit a∈[0,1]. Prouver que pour tout nÊ1, (1−a)nÊ1−na.
e) Prouver que ∀t∈[0,n[,
0Ée−t−µ1−t
n¶n
Ét2e−t
n
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12 . [ Etude d’une fonction ♪♪ ] ( ind )
On considère la fonction définie par l’expression : f(x)=x2−1
xln(x).
a) Quel l’ensemble de définition Dde f? Étudier la dérivabilité de fsur D.
b) Prouver que fadmet une limite finie `en 1. On décide alors de poser f(1) =`. La fonction fainsi
prolongée en 1 est donc continue en 1.
c) Etudier les variations de fet tracer le graphe de f.
13 . [ Une belle inégalité ♪♪ ] ( ind )
Prouver que ∀x∈]0,1[, xx(1 −x)1−xÊ1
2.
14 . [ Étude d’une composée ♪♪ ] ( ind )
Soit fla fonction définie par la formule f(x)=ln¡2−e−1/x¢.
a) Déterminer l’ensemble de définition Dde f.
b) Etudier la dérivabilité de fsur D.
c) Quelle est la limite `de fen 0 ? On prolonge fen 0 en posant f(0) =`,fest donc désormais
continue en 0.
d) Prouver que pour tout u∈[0,1/2], −u−u2Éln(1 −u)É−u.
e) En déduire que f(t)−f(0)
t−−−−→
t→0+0 puis que fest dérivable en 0, avec f0(0) =0.
f) Étudier les variations de fpuis tracer son graphe.
15 . [ Une suite de polynômes ♪♪ ] ( ind )
Pour tout entier naturel net tout réel x, on pose Pn(x)=
n
Y
k=0³x2k+1´.
a) Simplifier Pn(x) pour tous n∈Net x∈R.
b) Soit x∈R. Etudier le comportement de Pn(x) quand ntend vers +∞.
16 . [ Une équation ♪♪ ] ( ind )
Soit >0. On pose f(x)=exet on considère l’équation (E) : eex=x.
a) Etudier les variations et les limites de la fonction f.
b) Soit x∈tel que f(x)=x. Montrer que xest solution de (E).
c) Montrer que, réciproquement, si xest solution de (E) alors f(x)=x.
d) Dresser le tableau de variations de la fonction g:x7→ f(x)−x.
e) En déduire, selon les valeurs de le nombre de solutions de l’équation (E).
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17 . [ Une famille de fonctions ♪♪ ] ( ind )
Soient λ1,...,λn,nréels distincts et P1, . .., Pn,nfonctions polynômes. Montrer que :
Ã∀x∈R,
n
X
i=1
eλixPi(x)=0!⇒(∀i∈1,n, Pi=0)
1.2. Fonctions circulaires
18 . [ Une simplification ] ( ind )
On se propose de simplifier l’expression f(x)=arcsinµx
px2+1¶.
a) Première méthode.
i) Quel est l’ensemble de définition Dde f?
ii) Prouver que fest dérivable sur Det calculer f0sur cet ensemble.
iii) En déduire que f=arctan.
b) Deuxième méthode. Retrouver que f=arctan par un changement de variable.
19 . [ Quatre tracés ♪] ( ind )
Tracer le graphe des fonctions définies par les expressions suivantes :
a) cos(x)(1−cos(x));
b) cos(x)+1
2cos(2x) ;
c) arccos(cos(x))−1
2arccos(cos(2x)) ;
d) x
2−arcsinÃs1+sin(x) 2!.
20 . [ Une équation ♪] ( ind )
On cherche à résoudre sur Rl’équation arctan(x−3)+arctan(x)+arctan(x+3) =5π
4.
a) Prouver que x=5 est solution.
b) Conclure.
21 . [ Encore une formule ♪] ( ind )
Prouver l’égalité arctan(3)−arcsinµ1
p5¶=π
4.
22 . [ Deux méthodes pour une formule ♪] ( ind )
Prouver que, pour tout x∈R, arctan(x)+2arctan³p1+x2−x´=π
2.
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