Exercices 5 Calculus

Exercices 5
Calculus
Entraînement aux calculs différentiel et intégral. On ajoute quelques
fonctions nouvelles et on finit par l’étude des équations différentielles
linéaires d’ordre un et deux.
5
Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Exponentielle, logarithme et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Suites d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Équations différentielles linéaires d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Équations différentielles linéaires d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Problèmes se ramenant à une EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
5
8
10
10
11
13
13
15
16
17
PCSI2 \ 2014-2015
Laurent Kaczmarek
Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪ , ♪♪ , ♪♪♪ et ♪♪♪♪. Certains énoncés
sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les
exercices notés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
1. Fonctions usuelles
1.1. Exponentielle, logarithme et puissances
1 . [ Étude d’une fonction ] ( ind )
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x(1 − e x ). On note Γ le graphe de f dans le repère orthonormé
R = (O, u, v).
a) Justifier la dérivabilité de f puis étudier les variations de la fonction f 0 .
b) En déduire les variations de f .
c) Prouver que Γ admet une seule asymptote, notée D . Etudier la position relative de Γ et D .
d) Tracer Γ et D .
e) Calculer l’aire, notée A (λ), comprise entre Γ et A sur le segment [λ, 0] pour tout λ É 0. Cette aire
admet-elle une limite lorsque λ tend vers −∞ ?
2 . [ Des limites en vrac ] ( ind )
Déterminer les limites en +∞, des fonctions suivantes :
a)
x
a (b )
b (a
x)
où 1 < a < b ;
b)
x
a (a )
x (x
a)
c)
où a > 1.
(x x )x
x .
x (x )
3 . [ Équations aux puissances ] ( ind )
Résoudre dans R les équations suivantes :
a) 2x + 3x = 5 ;
1
7
b) 9x − 2x+ 2 = 2x+ 2 − 32x−1 .
4 . [ Une suite de fonctions ] ( ind )
Soit α ∈ R. Soit pour n ∈ N∗ , f n la fonction définie par f n : R −→ R
x 7−→ n α xe −nx
¡
¢
a) Discuter la limite à x fixé, de la suite f n (x) nÊ1 .
b) Montrer que ∀ n ∈ N, f n admet un maximum sur R que l’on notera u n .
c) Discuter la limite de la suite (u n )nÊ1 .
5 . [ Minoration de la série harmonique ♪ ] ( ind )
1
1
É ln(1 + x) − ln(x) É .
1+x
x
n 1
X
b) En déduire que, pour entier n Ê 1,
Ê ln(n + 1).
k=1 k
a) Prouver que, pour tout réel x > 0,
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Exercices 5 \ 2
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6 . [ Optimisation ♪ ] ( ind )
Trouver la plus grande valeur de
p
n
n, pour n ∈ N∗ .
7 . [ Taylor avant l’heure ♪ ] ( ind )
Prouver que pour tout x Ê 0 et tout entier naturel n, e x Ê 1 + x +
x2
xn
+···+
.
2!
n!
8 . [ Etude d’une suite de fonctions ♪ ] ( ind )
Pour tout n ∈ N et x dans R, on pose f n (x) = x n (1 − x).
a) Quelle est la limite de f n (x) lorsque n tend vers +∞ ?
b) Prouver que f n admet un maximum sur [0, 1], noté u n .
c) La suite (u n )n∈N converge-t-elle ?
9 . [ Majoration d’un produit ♪ ] ( ind )
Pour tout entier naturel n non nul, on pose πn :=
n
Y
µ
¶
1
1+ 2 .
k
k=1
a) Une majoration.
i) Montrer que, pour tout x ∈ ] − 1, +∞[, ln(1 + x) É x.
ii) Établir que, pour tout k Ê 2,
1
1
1
É
− .
2
k
k −1 k
iii) En déduire que ln(πn ) É 2 puis πn É e 2 pour tout entier naturel n non nul.
b) Une meilleure majoration.
i) Établir que, pour tout k Ê 2, 1 +
k2
1
É
.
k 2 (k − 1)(k + 1)
ii) En déduire que πn É 4 pour tout entier naturel n non nul.
10 . [ Un petit lemme ♪♪ ] ( ind )
Soient a, b et c trois nombres réels tels que e a + e b + e c = 3 et a + b + c = 0. Montrer que a = b = c = 0.
11 . [ Une inégalité classique ♪♪ ] ( ind )
L’objectif de cet exercice est d’établir une inégalité classique :
µ
¶
t n t 2 e −t
∗
−t
∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, n[, 0 É e − 1 −
É
n
n
a) Prouver que ∀u ∈ [0, 1[, ln(1 + u) É u É − ln(1 − u).
b) Soit n Ê 1. Déduire de la question a) que pour tout réel t appartenant à [0, n[,
µ
¶
¶
µ
t n
t n
e −t Ê 1 −
et e t Ê 1 +
n
n
c) En déduire que ∀t ∈ [0, n[,
0Ée
−t
t ´n
− 1−
É f n (t ),
n
³
Ã
où f n (t ) = e
−t
µ
¶n !
t2
1− 1− 2
n
d) Soit a ∈ [0, 1]. Prouver que pour tout n Ê 1, (1 − a)n Ê 1 − na.
e) Prouver que ∀t ∈ [0, n[,
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µ
¶
t n t 2 e −t
0 É e −t − 1 −
É
n
n
Exercices 5 \ 3
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12 . [ Etude d’une fonction ♪♪ ] ( ind )
On considère la fonction définie par l’expression : f (x) =
x2 − 1
.
x ln(x)
a) Quel l’ensemble de définition D de f ? Étudier la dérivabilité de f sur D .
b) Prouver que f admet une limite finie ` en 1. On décide alors de poser f (1) = `. La fonction f ainsi
prolongée en 1 est donc continue en 1.
c) Etudier les variations de f et tracer le graphe de f .
13 . [ Une belle inégalité ♪♪ ] ( ind )
1
Prouver que ∀x ∈ ]0, 1[, x x (1 − x)1−x Ê .
2
14 . [ Étude d’une composée ♪♪ ] ( ind )
¢
¡
Soit f la fonction définie par la formule f (x) = ln 2 − e −1/x .
a) Déterminer l’ensemble de définition D de f .
b) Etudier la dérivabilité de f sur D .
c) Quelle est la limite ` de f en 0 ? On prolonge f en 0 en posant f (0) = `, f est donc désormais
continue en 0.
d) Prouver que pour tout u ∈ [0, 1/2], −u − u 2 É ln(1 − u) É −u.
e) En déduire que
f (t ) − f (0)
−−−−→ 0 puis que f est dérivable en 0, avec f 0 (0) = 0.
t →0+
t
f ) Étudier les variations de f puis tracer son graphe.
15 . [ Une suite de polynômes ♪♪ ] ( ind )
n ³
Y
Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose Pn (x) =
´
k
x2 + 1 .
k=0
a) Simplifier Pn (x) pour tous n ∈ N et x ∈ R.
b) Soit x ∈ R. Etudier le comportement de Pn (x) quand n tend vers +∞.
16 . [ Une équation ♪♪ ] ( ind )
x
Soit > 0. On pose f (x) = e x et on considère l’équation (E) : e e = x.
a) Etudier les variations et les limites de la fonction f .
b) Soit x ∈ tel que f (x) = x. Montrer que x est solution de (E).
c) Montrer que, réciproquement, si x est solution de (E) alors f (x) = x.
d) Dresser le tableau de variations de la fonction g : x 7→ f (x) − x.
e) En déduire, selon les valeurs de le nombre de solutions de l’équation (E).
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Exercices 5 \ 4
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17 . [ Une famille de fonctions ♪♪ ] ( ind )
Soient λ1 , . . . , λn , n réels distincts et P1 , . . . , Pn , n fonctions polynômes. Montrer que :
!
Ã
n
X
λi x
e Pi (x) = 0 ⇒ (∀ i ∈ ‚1, nƒ, Pi = 0)
∀x ∈ R,
i =1
1.2. Fonctions circulaires
18 . [ Une simplification ] ( ind )
µ
¶
x
On se propose de simplifier l’expression f (x) = arcsin p
.
x2 + 1
a) Première méthode.
i) Quel est l’ensemble de définition D de f ?
ii) Prouver que f est dérivable sur D et calculer f 0 sur cet ensemble.
iii) En déduire que f = arctan.
b) Deuxième méthode. Retrouver que f = arctan par un changement de variable.
19 . [ Quatre tracés ♪ ] ( ind )
Tracer le graphe des fonctions définies par les expressions suivantes :
1
arccos(cos(2x)) ;
2
s
Ã
!
x
1 + sin(x)
d)
− arcsin
.
2
2
a) cos(x) (1 − cos(x)) ;
b) cos(x) +
c) arccos(cos(x)) −
1
cos(2x) ;
2
20 . [ Une équation ♪ ] ( ind )
On cherche à résoudre sur R l’équation arctan(x − 3) + arctan(x) + arctan(x + 3) =
5π
.
4
a) Prouver que x = 5 est solution.
b) Conclure.
21 . [ Encore une formule ♪ ] ( ind )
¶
µ
1
π
Prouver l’égalité arctan(3) − arcsin p = .
4
5
22 . [ Deux méthodes pour une formule ♪ ] ( ind )
Prouver que, pour tout x ∈ R, arctan(x) + 2 arctan
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³p
´ π
1 + x2 − x = .
2
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23 . [ Résolution d’une équation ♪ ] ( ind )
µ ¶
µ
¶
1
x −1
π
Résoudre dans R l’équation arctan
+ arctan
= .
x
x +1
4
24 . [ Le cercle n’est pas loin ♪ ] ( ind )
µ
¶
x
Prouver que, ∀x ∈ ] − 1, 1[, arcsin(x) = arctan p
.
1 − x2
25 . [ Belle et inutile formule ♪ ] ( ind )
³
p ´
Simplifier la somme S = arctan(2) + arctan(3) + arctan 2 + 3 .
26 . [ Tcheby’s back ♪ ] ( ind )
Pour n ∈ N, on pose pour tout réel x ∈ [−1, 1], f n (x) = cos (n arccos(x)). Montrer que f n est une fonction
polynomiale.
27 . [ Torture circulaire ♪ ] ( ind )
Résoudre dans R l’équation sin(2 arccos (cotan (2 arctan(x))) = 0.
28 . [ La formule cachée ♪ ] ( ind )
¡p ¢ π 1
x = + arcsin(2x − 1).
4 2
a) Première méthode : en utilisant la dérivation.
On souhaite établir que ∀x ∈ [0, 1], arcsin
b) Seconde méthode : en utilisant les formules de trigonométrie. On pourra poser x = sin2 (u).
29 . [ Calcul d’une somme ♪ ] ( ind )
On souhaite étudier la convergence de la suite définie par ∀n Ê 0, S n =
n
X
k=0
µ
arctan
¶
1
.
k2 + k + 1
µ
¶
1
a) Montrer que ∀x ∈ R+ , arctan(x + 1) − arctan(x) = arctan 2
.
x +x +1
b) En déduire une expression simplifiée de S n .
c) Déterminer lim S n .
n→+∞
30 . [ Tortures composées ♪ ] ( ind )
On souhaite tracer le graphe de la fonction définie par f (x) = − arcsin (sin(x)) + arcsin (cos(x)).
a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Repérer les symétries de f .
c) En déduire le tracé du graphe de f . On justifiera tous les calculs intermédiaires avec soin.
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31 . [ Une équation trigonométrique ♪ ] ( ind )
Soient α ∈ R et Ψα la fonction définie par ψα : R −→ R
x 7−→ α cos(x) + sin(x) + 2
Résoudre, en discutant sur α, l’équation ψα (x) = 0.
32 . [ Le cos de l’arctan du sinus du... ♪ ] ( ind )
a) Donner une formule reliant cos(x) et tan(x) valable sur ]−π/2, π/2[. En déduire une formule reliant
sin(x) et tan(x) sur le même intervalle.
b) Quel est l’ensemble de définition de la fonction définie par : g (x) = cos (arctan (sin (arctan(x)))) ?
c) Simplifier g (x) (les fonctions circulaires directes et réciproques doivent disparaître).
33 . [ Somme d’une série ♪ ] ( ind )
a) Soient a, b Ê 0. Montrer qu’il existe un unique réel c tel que arctan(a) − arctan(b) = arctan(c).
µ
¶
n
X
1
b) Soit n Ê 1. On pose S n =
arctan
. Simplifier S n . On posera ∀k ∈ N∗ , v k = arctan(2k − 1).
2k 2
k=1
c) Étudier le comportement de (S n )n∈N lorsque n tend vers +∞.
34 . [ Une belle formule ♪ ] ( ind )
Montrer que arctan(2) + arctan(5) + arctan(8) =
5π
.
4
35 . [ Une équation ♪ ] ( ind )
Résoudre l’équation arcsin(2x) + arcsin(x) =
π
.
2
36 . [ Un classique des concours ♪ ] ( ind )
Z sin2 (x)
Z
¡p ¢
arcsin t dt +
Soit f la fonction définie sur R par x 7→
0
cos2 (x)
arccos
¡p ¢
t dt .
0
Prouver que f est constante et préciser sa valeur.
37 . [ Des équations ♪ ] ( ind )
Résoudre les équations suivantes :
a) arctan(x) + arctan(2x) =
π
;
4
p
π
b) arcsin(x) + arcsin( 1 − x 2 ) = ;
2
p
1 − x2) ;
p
d) arcsin(2x) = arcsin(x) + arcsin( 2x).
c) 2 arcsin(x) = arcsin(2x
38 . [ Calcul de cos(π/5) ♪♪ ] ( ind )
Ã
p !
1+ 5
On pose y = arcsin
. Calculer cos(4y) et en déduire la valeur de y.
4
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39 . [ Une inégalité classique ♪♪ ] ( ind )
¯
¯ ³
π´
¯
¯
Soit y ∈ R. Montrer qu’il existe ε ∈ {−1, 1} tel que ¯sin y + ε − sin(y)¯ Ê 1.
2
40 . [ Fibonacci & arctangente party ♪♪ ] ( ind )
On définit la suite de Fibonacci ( f n )n∈N par f 0 = 0, f 1 = 1, et ∀ n ∈ N, f n+2 = f n+1 + f n .
2
a) Montrer l’identité de Cassini : ∀ n ∈ N, f n+1
− f n f n+2 = (−1)n .
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
1
1
b) En déduire que ∀ n Ê 1, arctan
= arctan
+ arctan
.
f 2n
f 2n+1
f 2n+2
Quels identités particulières obtient-on pour les premiers termes ?
c) On définit la suite (u n )n∈N par, pour tout entier naturel n,
µ ¶
µ ¶
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
u n = arctan(1) + arctan
+ arctan
+ · · · + arctan
+ arctan
2
5
f 2n+1
f 2n+2
µ
µ
¶ n
¶
X
1
1
arctan
= arctan
+
f 2n+2
f 2i +1
i =0
Calculer u 0 et montrer que la suite (u n )n∈N est constante. Ceci permet d’écrire que
µ
¶
X
1
π +∞
=
arctan
2 n=0
f 2n+1
41 . [ Sommes d’arctangentes ♪♪ ] ( ind )
¶
x+y
Étant donné (x, y) ∈ R avec x y 6= 1, montrer que arctan(x) + arctan(y) = arctan
+ kπ où
1−xy
µ
2
a) k = 0, si x y < 1 ;
b) k = 1, si x y > 1 avec x (et
y) positif ;
c) k = −1, si x y > 1, avec x
(et y) négatif.
42 . [ Un exercice délicat ♪♪♪ ] ( ind )
Soient (x i )1Éi É7 sept réels deux à deux distincts. Montrer qu’il existe 1 É i , j É 7 tels que
0<
xi − x j
1
<p
1 + xi x j
3
1.3. Fonctions hyperboliques
43 . [ Sommes hyperboliques ] ( ind )
Soient (a, b) ∈ R2 et n ∈ N. Simplifier les sommes
Sn =
n
X
k=0
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cosh(ka + b) et Σn =
n
X
sinh(ka + b).
k=0
Exercices 5 \ 8
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44 . [ Des simplifications ] ( ind )
Simplifier les expressions suivantes sur leur ensemble de définition :
a)
cosh(ln(x)) + sinh(ln(x))
;
x
s
c) ln
b) sinh2 (x) cos2 (y) + cosh2 (x) sin2 (y) ;
1 + tanh(x)
.
1 − tanh(x)
45 . [ Quizz hyperbolique ] ( ind )
a) Existe-t-il une fonction f : [1, +∞[→ R telle que ∀ x ∈ R, f (cosh(x)) = e x ?
b) Existe-t-il une fonction f : ]0, +∞[→ R telle que ∀ x ∈ R, f (e x ) = cosh(x) ?
46 . [ Une formule trigo-expo ♪ ] ( ind )
³
³ x ´´ π
¡ ¢
+ .
Établir que ∀x ∈ R, arctan e x = arctan tanh
2
4
47 . [ Une étude ♪ ] ( ind )
Soit f définie de R dans R par f (x) = x − tanh(x) ln (cosh(x)).
a) Montrer que cosh(x) = e n’admet qu’une seule solution positive notée a.
b) Étudier les variations de f (mais pas les limites !)
c) Montrer que ∀x ∈ R, ln(cosh(x)) = x − ln(2) + ln(1 + e −2x ).
d) En déduire les limites de f .
e) Tracer la courbe représentative de f .
48 . [ Une équation ♪ ] ( ind )
Soit a ∈ R. On cherche à résoudre sinh(x) + sinh(a + x) + sinh(2a + x) + sinh(3a + x) = 0 dans R.
a) Trouver une solution de l’équation.
b) Résoudre l’équation sur R.
49 . [ Somme hyperbolique ♪ ] ( ind )
2
1
−
= tanh(x).
tanh(2x) tanh(x)
1 + tanh (x)
³
´
n
X
b) a étant un réel strictement positif et n un entier naturel, simplifier Λn =
2k tanh 2k a .
a) Montrer que ∀x ∈ R, tanh(2x) =
2 tanh(x)
2
puis que ∀x 6= 0,
k=0
50 . [ Une équation ♪ ] ( ind )
Résoudre dans R l’équation
100
X
sinh(2 + kx) = 0.
k=1
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Exercices 5 \ 9
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51 . [ Deux belles formules ♪ ] ( ind )
µ
On pose f (x) = arctan (sinh(x)) et g (x) = arccos
¶
1
.
cosh(x)
a) Justifier que f et g sont définies sur R et dérivables sur R∗ .
b) Montrer que ∀x ∈ R+ , f (x) = g (x) et ∀x ∈ R− , f (x) = −g (x).
52 . [ Les apparences sont parfois trompeuses ♪ ] ( ind )
a) Montrer que la courbe de la fonction cosinus hyperbolique n’est pas une parabole.
b) Plus généralement prouver que si I ⊂ R est un intervalle non-réduit à un point alors il n’existe pas
de fonction polynomiale f telle que f (x) = cosh x pour tout x ∈ I.
c) Esquisser les courbes de arctan et de tanh. Existe-t-il un réel k tel que tanh = k arctan ?
53 . [ Une équation à paramètres ♪♪ ] ( ind )
Discuter l’équation e x (k + x) = e −x (k − x) d’inconnue x et de paramètre k.
54 . [ Un système d’équations ♪♪ ] ( ind )
½
Discuter et résoudre en fonction des données a et b réelles le système
cosh(x) + sinh(y) = a
sinh(x) + cosh(y) = b
2. Primitives et intégrales
2.1. Techniques de calcul
55 . [ Un changement de variable ] ( ind )
p
a) Calculer tanh(ln( a )).
p
ln( 2)
Z
b) En déduire, en posant u = tanh(t ),
p
ln( 3)
cosh2 (t ) + sinh2 (t )
cosh3 (t ) sinh(t )
dt .
56 . [ Quelle méthode ? ] ( ind )
Calculer :
π/4
Z
a)
(cos(2x))3 dx ;
π/2
0
LLG \ PCSI2
d)
0
π/2
Z
Z
x sin(x)dx ;
e)
p
dx
x +2
;
Z 1p
f)
e x dx ;
0
2
2x dx
;
p
2 + 2x
1
1
dx.
p
4 − x2
g)
0
0
4
Z
x cos(x)dx ;
b)
¡ ¢2
x e x dx ;
0
0
Z
1
Z
c)
Z
h)
0
Exercices 5 \ 10
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57 . [ Deux intégrales ♪ ] ( ind )
On pose
π
2
Z
I=
0
cos3 (x)
π
2
Z
cos3 (x) + sin3 (x)
dx ,
J=
0
sin3 (x)
cos(x)3 + sin3 (x)
dx
Montrer que I = J. En déduire I.
58 . [ Calcul par morceaux ♪ ] ( ind )
1
Z
Pour tout nombre réel x, on pose f (x) =
0
|x − t | dt .
a) Sans calculer explicitement f , montrer que f est lipschitzienne sur R, c’est-à-dire qu’il existe un
réel k > 0 tel que
∀(x, y) ∈ R2 , | f (x) − f (y)| É k|x − y|
b) En quels points la fonction f est-elle continue ?
c) Calculer f (x) pour tout réel x.
d) En quels points la fonction f est-elle dérivable ?
2.2. Suites d’intégrales
59 . [ Une suite d’inégrales ♪ ] ( ind )
e
Z
Pour tout entier naturel n, on pose In =
lnn (t )dt .
1
a) Démontrer que la suite (In )nÊ0 est convergente.
b) Trouver une relation de récurrence liant In et In−1 .
c) En déduire la limite de In lorsque n tend vers +∞.
60 . [ Déjà vu ♪ ] ( ind )
Soient p et q deux entiers naturels.
Z 1
a) Calculer Ip,q =
t p (1 − t )q dt .
0
à !
q
X
q (−1)k
p!q!
b) En déduire que
=
.
q
p
+
k
+
1
(p
+
q + 1)!
k=0
61 . [ La série eponentielle ♪♪ ] ( ind )
Z 1
(1 − x)n x
On pose ∀n ∈ N, In =
e dx.
n!
0
a) Montrer que (In ) converge vers 0.
b) Déterminer une relation de récurrence entre In et In+1 .
c) En déduire que
LLG \ PCSI2
n 1
X
−−−−−→ e.
n→+∞
k=0 k!
Exercices 5 \ 11
PCSI2 \ 2014-2015
Laurent Kaczmarek
62 . [ Une suite d’intégrales ♪♪ ] ( ind )
1
Z
On considère la suite de terme général In =
0
tn
dt .
1+t
a) Déterminer la limite de (In ).
b) Déterminer une relation de récurrence entre In et In+1 .
c) On pose, pour n ∈ N∗ , S n =
n (−1)k+1
X
. Exprimer S n en fonction de In .
k
k=1
d) En déduire la convergence et la limite de (S n ).
63 . [ Intégrales de Wallis ♪♪ ] ( ind )
Z π/2
On pose ∀n Ê 0, In =
sinn (x)dx.
0
a) Calculer I0 et I1 .
b) En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entre In et In+2 .
c) Exprimer, pour tout entier naturel n, I2n et I2n+1 au moyen de la factorielle.
d) Vérifier que (In )nÊ0 est décroissante. En déduire que ∀n ∈ N,
e) Etablir que ∀n ∈ N, (n + 1)In+1 In =
π
.
2
n +1
In É In+1 É In .
n +2
f ) En déduire que 2nI2n −−−−−→ π.
n→+∞
64 . [ Calcul de ζ(2) ♪♪ ] ( ind )
Z π
Rπ
2
Pour n ∈ N, on pose In =
cosn (t )dt et Jn = 02 t 2 cosn (t )dt .
0
a) Calculer I0 , J0 , I1 et J1 .
b) Montrer que In > 0 pour tout n ∈ N.
n +1
In .
n +2
£
¤
π
i) Montrer que pour ∀t ∈ 0, π2 , 0 É t É sin(t ).
2
c) Montrer que ∀n ∈ N, In+2 =
d)
π2
(In − In+2 ).
4
Jn
−−−−−→ 0.
iii) Montrer que la suite de terme général
In n→+∞
¢
1¡
e) i) Montrer que ∀n ∈ N, In+2 = (n + 1)(n + 2)Jn − (n + 2)2 Jn+2 .
2
Jn Jn+2
2
ii) En déduire que ∀n ∈ N,
−
=
.
In In+2 (n + 2)2
ii) En déduire que ∀n ∈ N, 0 É Jn É
f ) Pour n ∈ N∗ , on pose S n =
LLG \ PCSI2
n 1
X
π2
.
.
Montrer
que
S
−
−
−
−
−
→
n
2
n→+∞ 6
k=1 k
Exercices 5 \ 12
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3. Équations différentielles
3.1. Équations différentielles linéaires d’ordre un
65 . [ Une petite équation ] ( ind )
Résoudre sur R l’équation E : z 0 +tanh(t )z = t tanh(t ). Trouver l’unique solution z 1 vérifiant la condition
initiale z 1 (0) = 1.
66 . [ Exponentielles ] ( ind )
Déterminer l’ensemble des fonctions dérivables vérifiant l’équation y 0 − ωy = g (t ) pour chacune des
fonctions g suivantes :
a) g (t ) = t ;
b) g (t ) = e
αt
;
c) g (t ) = Ae αt ;
e) g (t ) = sin(αt ) ;
d) g (t ) = cos(αt ) ;
f ) g (t ) = A cos(αt + ϕ).
pour A, ϕ et α dans R pour la dernière équation.
67 . [ Une équation d’ordre un ] ( ind )
On considère l’équation E : y 0 − ln(x)y = x x .
a) Calculer en intégrant par parties les primitives de x 7→ ln(x) sur R∗+ .
b) Résoudre E sur R∗+ .
68 . [ Une EDL d’ordre un ] ( ind )
Résoudre sur R l’équation E : y 0 + x y = x 2 + 1 sachant qu’elle admet une solution polynomiale.
69 . [ En vrac ] ( ind )
Résoudre les équations suivantes
a) y 0 + y = x ;
c) y 0 + y = xe −x ;
e) y 0 + y = e 2x ;
g) y 0 + y = sin(x) ;
b) y 0 + y = e −x ;
d) y 0 + y = x 2 e −x ;
f) y 0 + y = e −x + e 2x ;
h) y 0 + y = cos(x)e x .
70 . [ Prmière salve ♪ ] ( ind )
Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles sur lesquels la fonction en facteur de
y 0 ne s’annule pas :
1
;
1 + ex
a) y 0 + 2y = x 2 − 2x + 3 ;
e) y 0 + y =
1
b) (x ln(x))y 0 − y = − (ln(x) + 1) ;
x
f) y 0 sin(x) − y cos(x) + 1 = 0 ;
c) (1 + x)y 0 + y = 1 + ln(1 + x) ;
g) 2x y 0 + y = x n , n ∈ N ;
d) (1 − x)y 0 + y =
LLG \ PCSI2
x −1
;
x
h) 2x 2 y 0 + y = 1 ;
i) x(x + 1)y 0 + y = arctan(x).
Exercices 5 \ 13
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71 . [ Une équation d’ordre un ♪ ] ( ind )
Résoudre sur I =] − π/2, π/2[ l’équation E : y 0 − tan(t )y =
1
.
1 + cos(t )
72 . [ Posé à Centrale ♪ ] ( ind )
Résoudre sur ] − ∞, 0[ l’équation 2x(1 − x)y 0 + (2x − 1)y + 1 = 0.
73 . [ Etude d’une EDL d’ordre un ♪ ] ( ind )
¡
¢
Soient I = ]0, +∞[ et E : 1 − e −t y 0 + y = e −t .
a) Résoudre l’équation homogène EH sur I.
b) Résoudre E sur I.
c) On cherche à prouver que E admet une unique solution sur I admettant une limite finie en 0+.
i) Établir que ∀x ∈ I , x É e x − 1 É xe x .
ii) En déduire qu’il existe une unique solution de E sur I, notée f , admettant en 0+ une limite
finie `. On précisera la valeur de `.
d) Étude f sur I. On prolonge désormais f en 0 en posant f (0) = `. Puisque lim f (t ) = ` = f (0), la
t →0+
fonction f ainsi prolongée est définie et continue sur R+ .
i) Étudier les variations de f sur I.
ii) Établir que ∀x Ê 0, 1 + x +
x2
x2
É ex É 1 + x + ex.
2
2
1
iii) En déduire que f est dérivable en 0 et que f 0 (0) = − .
2
iv) Tracer le graphe de f sur R+ .
74 . [ Variations ♪ ] ( ind )
Résoudre sur R les équations suivantes :
a) E1 : y 0 + 3y = sin(x) ;
¡
¢
b) E2 : y 0 − 3y = e −x 1 − x 3 ;
c) E3 : y 000 − y 00 = x.
75 . [ Une EDL d’ordre un ♪ ] ( ind )
Résoudre sur R∗+ puis R∗− l’équation E : |x|y 0 + (x − 1)y = x 2 .
76 . [ Une famille de solutions ♪ ] ( ind )
On cherche à résoudre l’équation différentielle E : (1−x)y 0 +x y = e x . On pose I− = ]−∞, 1[ et I+ = ]1, +∞[.
x
a) Soit I = I− ou I+ , et a : I → R définie par ∀x ∈ I, a(x) =
. Déterminer une primitive de a sur
1−x
l’intervalle I.
b) Résoudre, séparément sur les intervalles I− et I+ , l’équation différentielle EH : (1 − x)y 0 + x y = 0. On
simplifiera au maximum l’expression des fonctions solutions.
c) Résoudre, séparément sur les intervalles I− et I+ , l’équation différentielle E. On notera respectivement S − et S + les ensembles de solutions.
d) Déterminer l’ensemble S des fonctions f : R → R dérivables et solutions de l’équation E.
e) Pour tout réel k, montrer qu’il existe une solution f k : R → R de E telle que f k (0) = k.
f ) Etudier, pour tout réel k, la fonction f k (limites, asymptotes, variations).
g) Représenter graphiquement les fonctions f 0 , f 1 et f 2 .
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Exercices 5 \ 14
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3.2. Équations différentielles linéaires d’ordre deux
77 . [ Modes de vibration d’une corde ] ( ind )
Soient ω0 > 0 et E : y 00 + ω20 y = 0.
a) Donner la forme générale des solutions de E.
b) Montrer qu’il existe une solution y non nulle de E s’annulant en 0 et 1 si et seulement si ω0 est de la
forme nπ où n ∈ N∗ .
78 . [ EDL en vrac ♪ ] ( ind )
Calculer les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
a) y 00 − 2y 0 − 3y = t 2 e t ;
e) y 00 − 4y 0 + 4y = e −t ;
i) y 00 − 6y 0 + 9y = (t + 1)e −3t ;
b) y 00 + 4y 0 + 3y = t e −2t ;
f) y 00 − 2y 0 + y = cos(2t ) ;
j) y 00 − 2y 0 + 2y = e −t cos(t ) ;
c) y 00 + 4y 0 + 3y = cos(3t ) ;
g) y 00 + 5y 0 + 4y = t e −t ;
k) y 00 + 4y = sin2 (t ) ;
d) y 00 + 3y 0 + 2y = sin(t ) ;
h) y 00 + y = cos(t ) ;
l) y 00 + 4y 0 + 5y = e −2x sin(x).
79 . [ Équations atypiques ♪ ] ( ind )
Résoudre les équations différentielles :
e −3x
a) y 00 + 6y 0 + 9y = p
;
x2 + 1
b) y 00 −2y 0 −3y =
e 3x
2
cosh (x)
;
c) y 00 + 2y 0 − 3y =
1
.
e 2x + 1
80 . [ Une EDL ♪ ] ( ind )
Résoudre sur R le problème de Cauchy y 00 − y =
2e x
, y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
ex + 1
81 . [ Équations d’Euler ♪ ] ( ind )
Soit E l’équation ax 2 y 00 + bx y 0 + c y = 0 avec (a, b, c) ∈ R∗ × R2 .
¡ ¢
a) En posant z(t ) = y e t , montrer que y est solution de E sur R∗+ si et seulement si z est solution
d’une équation du second ordre à coefficients constants que l’on donnera.
b) Quelle est la forme des solutions de (E) sur R∗+ ? sur R∗− ?
c) Résoudre l’équation x 2 y 00 − x y 0 + y = 0.
82 . [ Conditions aux limites ♪ ] ( ind )
Soient (b, c) ∈ R2 et E : y 00 + b y 0 + c y = 0. On suppose que E possède une solution f non identiquement
nulle telle que f (0) = f (1) = 0.
a) Montrer que b 2 − 4c < 0.
b) Établir que ∀n ∈ Z, f (n) = 0.
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83 . [ Changement de variable ♪♪ ] ( ind )
¡
¢
On considère l’équation 1 − x 2 y 00 − x y 0 + y = 0.
a) Intégrer cette équation pour −1 < x < 1, en posant x = sin(t ).
b) Intégrer cette équation pour x > 1 et x < −1.
3.3. Problèmes se ramenant à une EDL
84 . [ Champ magnétique ] ( ind )
Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique dirigé suivant l’axe (Oz) est régi par
un système différentiel de la forme :
 00
0
 x = ωy
00
y = −ωx 0
 00
z = 0
où ω dépend de la masse et de la charge de la particule et du champ magnétique. En utilisant u = x 0 +i y 0
résoudre ce système différentiel.
85 . [ Une équation pseudo-différentielle ♪ ] ( ind )
On souhaite déterminer les fonctions f ∈ C 1 (R, R) telles que ∀x ∈ R, f 0 (x) = f (a − x) où a est un réel
fixé. On notera Sa l’ensemble des solutions à ce problème.
a) Montrer que si f ∈ Sa , f est deux fois dérivable et solution d’une équation différentielle linéaire
d’ordre 2 qu’on déterminera.
b) En déduire S a selon les valeurs de a.
86 . [ Une équation pseudo-différentielle ♪ ] ( ind )
Trouver toutes les applications f dérivables sur R∗+ telles que ∀ x > 0, f 0 (x) = f
µ ¶
1
.
x
87 . [ Classique des concours ♪♪ ] ( ind )
Déterminer les applications f : R → R de classe C telles que ∀x ∈ R, f (x) +
2
x
Z
0
(x − t ) f (t )dt = 1 ;
88 . [ Posé aux mines ♪♪ ] ( ind )
Déterminer les applications f : R → R telles que ∀x ∈ R, f 0 (x) + f (−x) = xe −x .
89 . [ Une équation fonctionnelle ♪♪♪ ] ( ind )
Trouver les fonctions f : R → R deux fois dérivables telles que
∀(x, y) ∈ R2 , f (x − y) + f (x + y) = 2 f (x) f (y)
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4. Indications
1 . [ Étude d’une fonction ]
L’asymptote est la droite d’équation y = x.
2 . [ Des limites en vrac ]
Écrire ces quotients sous forme exponentielle.
3 . [ Équations aux puissances ]
Le réel 1 est l’unique solution du a). Au b), on trouve :
x=
3 ln(3) − 32 ln(2)
2 ln(3) − ln(2)
=
3
2
4 . [ Une suite de fonctions ]
Simples croissances comparées au a). Étudier les variations de f n au b).
5 . [ Minoration de la série harmonique ♪ ]
On peut envisager deux pistes : une bonne, une mauvaise...
Par comparaison à une intégrale :écrire que pour tout réel x > 0,
x+1
Z
ln(x + 1) − ln(x) =
x
dt
t
et se souvenir qu’il suffit d’encadrer la fonction intégrée pour encadrer son intégrale . . . Par une étude :
étudier les variations de
f (x) = ln(x + 1) − ln(x) −
1
x
et
g (x) = ln(x + 1) − ln(x) −
1
x +1
afin de déterminer leur signe. Le b) résulte d’un simple télescopage.
6 . [ Optimisation ♪ ]
p
3
On trouve 3.
7 . [ Taylor avant l’heure ♪ ]
Raisonner par récurrence sur n.
8 . [ Etude d’une suite de fonctions ♪ ]
Ecrire u n sous forme exponentielle afin de déterminer sa limite.
9 . [ Majoration d’un produit ♪ ]
Télescopage dans une somme au a), dans un produit au b).
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10 . [ Un petit lemme ♪♪ ]
Remarquer que ∀x ∈ R∗ , e x > 1 + x.
11 . [ Une inégalité classique ♪♪ ]
Utiliser la positivité de l’intégrale au a). Raisonner par récurrence au d). Les questions sont enchaînées.
12 . [ Etude d’une fonction ♪♪ ]
Attention ! La fonction f est définie sur une réunion d’intervalles. Au c), on étudiera une fonction auxiliaire afin de déterminer le signe de f 0 .
13 . [ Une belle inégalité ♪♪ ]
Passer au logarithme. Il faudra étudier le signe d’une fonction pour conclure.
14 . [ Étude d’une composée ♪♪ ]
On trouve
·
D = R \ 0, −
1
ln(2)
¸
15 . [ Une suite de polynômes ♪♪ ]
Examiner les premiers termes de la suite (Pn ).
16 . [ Une équation ♪♪ ]
Examiner les cas f (x) > x et f (x) < x au b).
17 . [ Une famille de fonctions ♪♪ ]
Quitte à permuter les λi , on peux supposer que λ1 < · · · < λn . Raisonner par récurrence sur n en utilisant
les croissances comparées.
18 . [ Une simplification ]
Poser θ = arctan(x).
19 . [ Quatre tracés ♪ ]
Etudier les symétries des fonctions afin de restreindre le domaine d’étude.
20 . [ Une équation ♪ ]
Penser aux variations de l’arctangente à la question b).
21 . [ Encore une formule ♪ ]
Calculer la tangente des deux membres et conclure à l’aide d’inégalités.
LLG \ PCSI2
Exercices 5 \ 18
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22 . [ Deux méthodes pour une formule ♪ ]
On pourra dériver ou poser θ = arctan(x) et réviser son formulaire de trigonométrie.
23 . [ Résolution d’une équation ♪ ]
On commencera par calculer la tangente des deux membres.
24 . [ Le cercle n’est pas loin ♪ ]
Utiliser la dérivation ou le paramétrage rationnel du cercle.
25 . [ Belle et inutile formule ♪ ]
On trouve 5π/6.
26 . [ Tcheby’s back ♪ ]
On raisonnera par récurrence en utilisant astucieusement la formule cos(p) + cos(q) = . . .
27 . [ Torture circulaire ♪ ]
Pour quels valeurs de x l’équation a-t-elle un sens ?
28 . [ La formule cachée ♪ ]
Attention à l’ensemble de dérivabilité ! ! !
29 . [ Calcul d’une somme ♪ ]
Tout cela cache un telescopage !
30 . [ Tortures composées ♪ ]
Ecrire le cosinus en fonction du sinus.
31 . [ Une équation trigonométrique ♪ ]
Se ramener à une équation de la forme cos(x − θ) = a.
32 . [ Le cos de l’arctan du sinus du... ♪ ]
On trouve
s
f (x) =
1 + x2
1 + 2x 2
33 . [ Somme d’une série ♪ ]
Utiliser la formule tan(α − β) =
LLG \ PCSI2
tan(α) − tan(β)
.
1 + tan(α) tan(β)
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34 . [ Une belle formule ♪ ]
Calculer la tangente de chacun des deux membres.
35 . [ Une équation ♪ ]
Raisonner par Analyse-Synthèse.
36 . [ Un classique des concours ♪ ]
Utiliser la dérivation.
37 . [ Des équations ♪ ]
Raisonner par analyse-synthèse.
38 . [ Calcul de cos(π/5) ♪♪ ]
p
Il faut faire apparaître sin(y) puisque y est un arcsinus . . . On trouve cos(4y) = − sin(y) = − 1+4 5 . Il faudra
alors batailler contre des équations de congruences.
39 . [ Une inégalité classique ♪♪ ]
On pourra, par exemple, retrouver et appliquer la formule de factorisation de sin(p) − sin(q).
40 . [ Fibonacci & arctangente party ♪♪ ]
Récurrence au a).
41 . [ Sommes d’arctangentes ♪♪ ]
Utiliser la formule d’addition de la tangente.
42 . [ Un exercice délicat ♪♪♪ ]
Penser au principe des tiroirs et à
tan(a − b) =
tan(a) − tan(b)
...
1 + tan(a) tan(b)
43 . [ Sommes hyperboliques ]
Penser aux sommes trigonométriques : se ramener à des exponentielles, appliquer la formule de la série
géométrique, etc.
44 . [ Des simplifications ]
Ô formulaire...
45 . [ Quizz hyperbolique ]
Non et oui.
LLG \ PCSI2
Exercices 5 \ 20
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46 . [ Une formule trigo-expo ♪ ]
On pourra utiliser la dérivation.
47 . [ Une étude ♪ ]
Il y a des asymptotes.
48 . [ Une équation ♪ ]
Chercher une solution « évidente ».
49 . [ Somme hyperbolique ♪ ]
Le b) est une invitation à peine masquée au telescopage.
50 . [ Une équation ♪ ]
Appliquer la formule de la série géométrique.
51 . [ Deux belles formules ♪ ]
Vérifier que f − g est dérivable sur R∗+ et que ( f − g )0 = 0 sur cet intervalle.
52 . [ Les apparences sont parfois trompeuses ♪ ]
Raisonner par l’absurde.
53 . [ Une équation à paramètres ♪♪ ]
Le réel 0 est une solution évidente. Étudier une fonction pour savoir s’il s’agit de la seule solution.
54 . [ Un système d’équations ♪♪ ]
En appelant L1 et L2 les deux lignes du système, on pourra calculer L1 + L2 et L1 − L1 afin de se ramener
à des exponentielles.
55 . [ Un changement de variable ]
On a
p
1−a
tanh(ln( a )) =
1+a
56 . [ Quelle méthode ? ]
Linéariser au a) ; IPP aux b), c) et e) ; changements de variable aux d), f), g) et h).
57 . [ Deux intégrales ♪ ]
Un changement de variable assez naturel permet d’établir que I = J.
58 . [ Calcul par morceaux ♪ ]
Distinguer les cas x ∈ [0, 1] et x 6∈ [0, 1] pour le calcul de f .
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59 . [ Une suite d’inégrales ♪ ]
Etudier la monotonie de la suite au a). Effectuer une IPP au b).
60 . [ Déjà vu ♪ ]
IPP afin de trouver une relation de « récurrence » . . .
61 . [ La série eponentielle ♪♪ ]
Encadrer In au a) ; IPP au b).
62 . [ Une suite d’intégrales ♪♪ ]
In + In+1 se simplifie...
63 . [ Intégrales de Wallis ♪♪ ]
On trouve
In+2 =
n +1
In
n +2
64 . [ Calcul de ζ(2) ♪♪ ]
Il y a du télescopage dans l’air au f).
65 . [ Une petite équation ]
Variation de la constante.
66 . [ Exponentielles ]
Attention au cas particulier ω = α... Passer sur C pour les fonctions circulaires.
67 . [ Une équation d’ordre un ]
Faites varier la constante.
68 . [ Une EDL d’ordre un ]
La fonction x 7→ x est une solution particulière.
69 . [ En vrac ]
Rechercher des solutions particulières en passant sur C aux deux derniers numéros.
70 . [ Prmière salve ♪ ]
Variation de la constante sauf peut-être au a).
71 . [ Une équation d’ordre un ♪ ]
Variation de la constante.
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Exercices 5 \ 22
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72 . [ Posé à Centrale ♪ ]
On remarquera que :
∀x < 0,
2x − 1
1
1
=
−
x(1 − x) 1 − x x
et on recherchera une solution particulière polynomiale.
73 . [ Etude d’une EDL d’ordre un ♪ ]
Les solutions de l’équation homogène sont de la forme
t ∈ I 7−→
λ
, où λ ∈ R
et − 1
74 . [ Variations ♪ ]
Rechercher des solutions particulières. Poser z := y 00 au c).
75 . [ Une EDL d’ordre un ♪ ]
Faire varier la constante.
76 . [ Une famille de solutions ♪ ]
Z
Ne pas oublier la valeur absolue :
a(x)d x = −x − ln|1 − x|.
77 . [ Modes de vibration d’une corde ]
Rechercher les solutions s’annulant en 0.
78 . [ EDL en vrac ♪ ]
Solutions particulières en polynôme-exponentielle.
79 . [ Équations atypiques ♪ ]
Technique d’abaissement de l’ordre.
80 . [ Une EDL ♪ ]
Technique d’abaissement de l’ordre.
81 . [ Équations d’Euler ♪ ]
¡ ¢
On a z 0 (t ) = e t y 0 e t , etc.
82 . [ Conditions aux limites ♪ ]
Raisonner par l’absurde au a).
LLG \ PCSI2
Exercices 5 \ 23
PCSI2 \ 2014-2015
Laurent Kaczmarek
83 . [ Changement de variable ♪♪ ]
Penser aux fonctions hyperboliques pour x > 1 et x < −1.
84 . [ Champ magnétique ]
On trouve u 0 + i ωu = 0.
85 . [ Une équation pseudo-différentielle ♪ ]
Attention, il s’agit d’une analyse-synthèse.
86 . [ Une équation pseudo-différentielle ♪ ]
Analyse-synthèse.
87 . [ Classique des concours ♪♪ ]
Analyse-synthèse ; f est nécessairement solution d’une EDL d’ordre deux.
88 . [ Posé aux mines ♪♪ ]
Raisonner par analyse-synthèse. On trouvera que f est nécessairement solution d’une EDL d’ordre deux.
89 . [ Une équation fonctionnelle ♪♪♪ ]
Analyse-synthèse. On prouvera que f est nécessiarement solution d’une EDL d’ordre deux.
LLG \ PCSI2
Exercices 5 \ 24