Guide de lecture du chapitre 1 - Intranet Polytech Paris-Sud

13/09/2015
Chapitre 1 : gaz d’électrons libres
Aperçu du contenu du chapitre
Traitement des électrons dans les métaux = problème à très grand nombre de corps en interaction : nécessite de faire
des modèles et une approche statistique.
Gaz d’électrons libres classique
Pourquoi classique ? Parce que c’est plus simple que quantique !
Pourquoi « électrons libres » : parce que les électrons peuvent aller n’importe où dans le métal, comme un gaz peut aller
n’importe où dans le volume qu’on lui offre...
En l’absence de champ électrique, les électrons ne sont soumis à aucune force. Pour autant, sont-ils immobiles ? Non,
pas plus que les molécules d’un gaz : ils sont animés de mouvements thermiques présentant un caractère désordonné.
L’énergie moyenne de ces mouvements est proportionnelle à la température. Elle vaut 26meV à 300K.
En présence d’un champ électrique statique, les électrons dans un solide de taille finie acquièrent un mouvement collectif
ordonné, qui se superpose au mouvement individuel désordonné, jusqu’à atteindre une position d’équilibre où ne
subsistent plus que les mouvements désordonnés. Cette position d’équilibre correspond forcément à l’annulation du
champ électrique dans le métal, sinon les électrons continueraient à se déplacer collectivement...
Pour simuler la circulation d’un courant, on raffine le modèle en imaginant que les électrons qui sortent par une face sous
l’effet d’un champ appliqué réapparaissent sur la face opposée. Avec cette description, l’équilibre n’est jamais atteint,
puisque le déplacement collectif des électrons ne cesse jamais. Les électrons sont en permanence accélérés, ce qui fait
que le courant ne fait qu'augmenter au cours du temps. Pas très physique...
Drude a raffiné son modèle en introduisant la notion de collision avec un cœur ionique. Un traitement phénoménologique
de ces collisions, qui ont un effet analogue à celui d’une force de friction, permet de prédire l’établissement d’un courant
proportionnel à la tension appliqué, donc qui ne diverge plus : c’est la loi d’Ohm.
Gaz d’électrons libres quantique
Les électrons sont des objets quantiques. Pour prendre cela en compte, on traite le modèle du gaz d'électrons libres
quantique.
On peut facilement déterminer les états propres d’un puits carré infini à une dimension. Les niveaux de ces états propres
s’écartent de plus en plus quand l’énergie augmente, mais si le solide est de taille macroscopique, ils restent tellement
serrés qu’on ne peut percevoir la quantification sauf à avoir une résolution de l’ordre du nano-eV, ce qui n’a guère de
sens !
La détermination des états propres d’un puits infini à 3D se ramène facilement à celui d’un puits infini à 1D. La surprise
est qu’alors qu’à 1D les niveaux d’énergie sont de plus en plus distants quand l’énergie croît, c’est le contraire à 3D, à
cause d’effets purement géométriques.
La connaissance des états propres permet de répondre à la question : « dans quel état peut-on trouver un électron ? »,
et non à la question : « dans quel état se trouvent réellement les électrons ? ». C’est la statistique de Fermi-Dirac qui
permet de connaître la probabilité qu’a chaque état électronique d’être peuplé.
A T=0, les choses sont simples : tous les états les plus bas en énergie sont effectivement occupés. Le principe
d’exclusion de Pauli nous dit que chaque état ne peut « accueillir » que deux électrons (un spin up, un spin down). On
peut donc savoir quels sont les états sont occupés lorsqu’on « tasse » les électrons dans les niveaux les plus bas. La
surprise est qu’on peuple ainsi des niveaux dont l’énergie atteint typiquement 1eV, soit plus de 30 fois l’énergie
thermique à 300K.
On peut aussi déterminer qu’a des températures « normales », seuls quelques états tout proches du niveau de Fermi
sont concernés par des échanges d’énergie thermique.
Après tout ça, on a une description acceptable des électrons dans les métaux, mais on n’a toujours rien compris aux
semi-conducteurs ! Toutefois, on s’est donné des outils à partir desquels on pourra construire un modèle de semi-
conducteur.