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Chapitre 10 : Angles et parallélisme
I.
Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet
1°) Angles adjacents
Définition :
Exemple :
Deux angles sont adjacents lorsque :
y
x
z
• Ils ont le même sommet ;
A
• Ils ont un côté commun ;
Les angles xAy et yAz sont adjacents
• Ils sont de part et d’autre de ce côté.
2°) Angles complémentaires et supplémentaires
Définitions :
• Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.
• Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180°.
Exemple1 :
48° + 42° = 90°
Donc les deux angles sont des angles complémentaires
42°
48°
Exemple 2 :
On sait que ACB et EDF sont deux angles supplémentaires et que EDF = 64°.
Quelle est la mesure de l'angle ACB ?
Donc ACB + EDF = 180°
Donc ACB + 64° = 180°
Donc ACB = 180° - 64°
Donc ACB = 116°
3°) Angles opposés par le sommet
Définition :
Deux angles sont opposés par le sommet si :
•
Ils ont le même sommet
•
Leurs côtés sont deux à deux dans le prolongement l’un de l’autre
Exemple :
x
y
O
z
t
xOz et yOt sont des angles opposés par le sommet
4°) Propriétés
Propriétés : (admises)
• Deux angles sont adjacents supplémentaires forment un angle droit
• Deux angles adjacents supplémentaires forment un angle plat
• Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
• Si deux angles sont adjacents, alors l'angle qu'ils forment mesure la somme des mesures
de ces deux angles
Exemple :
Soient deux droites (xt) et (zy) sécantes en O, tel que xOz = 62°.
Quelle est la mesure de l'angle yOt ?
x
y
O
z
62°
t
xOz et yOt sont des angles opposés par le sommet
or d'après le cours, si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure
donc xOz = yOt = 62°
IV. Angles définis par deux droites et une sécante
1°) Angles alternes internes
Définition :
Deux angles sont alternes internes s’ils sont situés :
• entre les deux droites
• de part et d’autre de la sécante
Exemple :
A




Les angles A et B sont des angles alternes internes.
Les angles A et B sont des angles alternes internes.
 
 
B
2°) Angles correspondants
Définition :
Deux angles sont correspondants s’ils sont situés :
• l’un entre les deux droites, l’autre à l’extérieur des deux droites
• du même côté de la sécante
Exemple :
A


Les angles A et B  sont des angles correspondants.


Les angles A et B  sont des angles correspondants.
 
Les angles A et B  sont des angles correspondants.
 
B
Les angles A et B  sont des angles correspondants.
3°) Propriétés
Propriétés : (admises)
Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors elles déterminent des angles
correspondants (respectivement alternes-internes) de même mesure.
Exemple :
Dans la figure ci-dessous, on sait que (uv)//(xy) et uFE = 50°
Trouver la mesure des angles xEw et FEy.
u
1) On sait d'après l'énoncé que :
z
F
x
?
w
uFE et xEw sont des angles correspondants formés par les
50°
v
droites parallèles (uv) et (xy) et la sécante (EF)
Or Si deux droites coupées par une sécante sont
E
y
parallèles, alors elles déterminent des angles
correspondants de même mesure
Donc
uFE = xEw = 50°
2) On sait d'après l'énoncé que :
uFE et FEy sont des angles alternes-internes formés par
les droites parallèles (uv) et (xy) et la sécante (EF)
Or Si deux droites coupées par une sécante sont
parallèles, alors elles déterminent des angles
alternes internes de même mesure
Donc
uFE = FEy = 50°
4°) Propriétés réciproques
Propriétés : (admises)
Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles correspondants (ou alternes
internes) de même mesure, alors elles sont parallèles.
Exemple :
Dans la figure ci-dessous, on sait que vFE = 115° et FEx = 115°
Que peut-on affirmer pour les droites (uv) et (xy) ? Justifier.
On sait, d'après l'énoncé, que :
u
z
• vFE et FEx sont des angles alternes internes
F
x
115°
formés par les droites (uv) et (xy) et la sécante
v
115°
(EF)
E
w
y
•
vFE = FEx
Or si deux droites coupées par une sécante déterminent
des angles alternes internes de même mesure, alors elles
sont parallèles.
Donc
(uv)//(xy)