PGCD

3ème Chapitre A2
I)
1
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
Le point sur les nombres .
1)
Schéma représentant les différents ensembles de nombres.
Ensemble des
entiers naturels
IN
Ensemble des
entiers relatifs
ZZ
Ensemble des
décimaux
D
Ensemble des
rationnels
Q
I
Ensemble des réels
IR
Ensemble des
irrationnels
3ème Chapitre A2
2)
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
Définitions des différents types de nombres :
 Nombres entiers : Un nombre entier est un nombre tel que :
En écriture fractionnaire, il peut s’écrire sous la forme d’une fraction
décimale de dénominateur 1.
En écriture décimale, sa partie décimale est nulle, il peut donc s’écrire
sans virgule.
Nombres entiers naturels : Un nombre entier naturel est un nombre
entier qui peut être égal ou supérieur à zéro.
Exemples : 5 ; 0 ; 447 ; 125 369 ;
52
1
Nombres entiers relatifs : Un nombre entier relatif est un nombre
entier qui peut être supérieur, égal ou inférieur à zéro.
Exemples : – 8 ; 47 ; 0 ; – 14 782 ; 584 ; –
17
;0
1
 Nombres décimaux : Un nombre décimal est un nombre tel que :
En écriture fractionnaire, il peut s’écrire sous la forme d’une fraction
décimale.
En écriture décimale, sa partie décimale est « finie »
Exemples : – 4.8 ; 75.093 ; – 0.001 ;
657
;6;0
100
 Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre tel que :
En écriture fractionnaire, il peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
En écriture décimale, sa partie décimale présente une « période » qui
se répète à l’infini.
Exemples :
8
65
; – ; – 5.01212121212…… ; 0 ; 8.6
5
33
! Remarque : Les nombres entiers et décimaux sont des nombres
rationnels particuliers.
2
3ème Chapitre A2
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
Exemples : 8 =
8
= 8.00000
1
3
564
= 5.640000
100
5.64 =
 Nombres irrationnels : Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est
pas rationnel :
Il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
En écriture décimale, sa partie décimale est infinie, et ne présente
aucune « période ».
Exemples :
2;
3 ; – 13 ; 
! Remarque : Un nombre peut s’écrire avec un radical, et être rationnel :
25 = 5
II)
0.36 = 0.6
81
9
=
8
64
Diviseurs communs à deux nombres entiers.
Dans tout cette partie, nous n’utiliserons que des nombres entiers
strictement positifs.
1) Diviseurs et multiples.
Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs.
Df : b est un diviseur de a signifie qu’il existe un entier strictement positif
n tel que a = nb. On dit alors que a est un multiple de b.
! Remarque : La division euclidienne de a par b donne un quotient entier
égal à n, avec un reste nul :
a
0
b
n
Exemples :
 Cherchons tous les diviseurs du nombre 36
36 = 1  36
2  18
3  12
49
66
donc la liste des diviseurs de 36 ordonnée dans le sens
croissant est :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
( 36 est un multiple de chacun de ces 9 nombres.)
3ème Chapitre A2
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
4
 Cherchons tous les diviseurs de 41 :
41 = 1  41
41 n’a que 2 diviseurs : 1 et 41. C’est un nombre
premier.
Df : Un nombre premier est un nombre entier strictement positif qui n’est
divisible que par lui- même et par 1.
Liste des nombres premiers inférieurs à 50 :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47
! Remarque : Tous les nombres entiers sont divisible au moins par eux
même et par 1.
Rappels des critères de divisibilité :
Par 2 : Un nombre entier est divisible par deux si et seulement si il se
termine
par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Par 3 : Un nombre entier est divisible par trois si et seulement si la somme
de ses chiffres est divisible par 3.
Par 4 : Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre
formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
Par 5 : Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si il se termine
par 0 ou 5.
Par 9 : Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de
ses chiffres est divisible par 9.
Par 10 : Un nombre entier est divisible par 10 si et seulement si il se
termine par 0.
2) Diviseurs communs à deux entiers.
Df : Un diviseur commun à deux entiers a et b est un entier qui est à la
fois diviseur de a et diviseur de b.
! Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers.
3ème Chapitre A2
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
5
Df : Le PGCD de deux nombres entier a et b est le plus grand diviseur
commun à a et b . Il est noté PGCD (a ; b).
Exemple :
Liste de tous les diviseurs de 8 :
1;2;4;8
Liste de tous les diviseurs de 12 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Liste de tous les diviseurs communs à 8 et à 12 : 1 ; 2 ; 4
PGCD ( 8 ; 12 ) = 4
3) Nombres premiers entre eux, fractions irréductibles.
Df :
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD
est 1.
! Remarque : Ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1.
Exemples :
7 et 10 sont premiers entre eux.
7 et 14 ne sont pas premiers entre eux.
Df : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le
dénominateur sont premiers entre eux.
Conséquence :
Pour simplifier une fraction et la rendre irréductible, il faut
chercher le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis décomposer
chacun d’entre eux sous la forme d’un produit contenant ce PGCD.
On peut alors simplifier la fraction par le PCGC.
Exemples
2
est irréductible car PGCD ( 2 ; 3) = 1
3
60
534 4 4

=
=
est irréductible car PGCD ( 4 ; 3) = 1
45
533 3 3
Le PGCD de 60 et 45 est 5  3 c’est à dire 15.

3ème Chapitre A2
III)
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
Recherche du PGCD de deux nombres entiers en utilisant des
algorithmes.
P.G.C.D. DE DEUX NOMBRES :
PROPRIETE
Diviseurs de
72 : 1 ; 2 ; 3 : 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ;
24 ; 36 ; 72
42 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42
Diviseurs de
40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ;10 ; 20; 40
98 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 ; 49 ; 98
Diviseurs communs à 72 et 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 8
42 et 98 : 1 ; 2 ; 7 ; 14
PGCD de
42 et 98 : 14
72 et 40 : 8
72 - 40 = 32
Diviseurs de
32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32
98 - 42 = 56
56 : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56
Diviseurs communs à 40 et 32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8
42 et 56 : 1 ; 2 ; 7 ; 14
PGCD de
42 et 56 : 14
40 et 32 : 8
Règle:
si a < b alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( a – b ; b )
6
3ème Chapitre A2
7
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
TECHNIQUES DE CALCUL DU P.G.C.D.DE DEUX NOMBRES
Algorithme des différences
On peut accélérer
Différences
Algorithme d'Euclide
dividende
diviseur
restes
424
148
276
424 = 3  148 + 80
424
148
80
276
148
228
148 = 1  80 + 68
148
80
68
228
148
80
80 = 1  68 + 12
80
68
12
148
80
68
68 = 5  12 + 8
68
12
8
80
68
12
12 = 1  8 + 4
12
8
4
68
12
56
8 = 24+0
8
4
0
56
12
44
44
12
32
32
12
20
20
12
8
12
8
4
8
4
4
4
4
0
Le PGCD de 424 et 148 est la dernière
différence non nulle
IV)
Le PGCD de 424 et 148 est le dernier
reste non nul.
Exemples d’application.
1) Simplifier une fraction.
1078
322
Je calcule le PGCD ( 1078 ; 322 ) avec la méthode de l’algorithme d’Euclide.
dividende
diviseur
reste
Simplifier la fraction :
1078
322
112
98
322
112
98
14
112
98
14
0
1078 : 14 = 77 et 322 : 14 = 23 donc
PGCD ( 1078 ; 322 ) = 14
1078 14  77
77
=
=
322
14  23
23
3ème Chapitre A2
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
8
2) Problèmes se résolvant à l’aide du PGCD.
 Pour le premier mai, Julie dispose de 182 brins de muguets et 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant
toutes ses fleurs.
Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Je détermine le PGCD de 182 et 78 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Dividende
182
78
Diviseur
78
26
Reste
26
0
PGCD ( 182 ; 78 ) = 26
Julie pourra faire 26 bouquets identiques.
182 : 26 = 7 et 78 : 26 = 3
Chaque bouquet sera composé de 7 brins de muguets et 3 roses.
 Une pièce rectangulaire de 5,40 m de long et de 3 m de large est
recouverte, sans découpe, par des dalles de moquette carrées, toutes
identiques.
Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles sachant que l’on
veut le moins de dalles possible ?
Calculer alors le nombre de dalles utilisées.
Je cherche le PGCD de 540 et 300 par la méthode de l’algorithme
d’Euclide :
Dividende
540
300
240
Diviseur
300
240
60
PGCD ( 540 ; 300 ) = 60
Reste
240
60
0
3ème Chapitre A2
NOMBRES RATIONNELS , IRRATIONNELS
PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
Chaque dalle a pour mesure de côté 60 cm.
540 : 60 = 9 et 300 : 60 = 5
Il y aura 9 dalles dans la longueur, et 5 dalles dans la largeur.
9  5 = 45 Il y aura donc 45 dalles.
9