Variables d`état

Chapitre II : Variables d’état page 1/20
VARIABLES D’ETAT
Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, les variables d’état sont un moyen de décrire
l’état d’un système. Nous allons voir que la description thermodynamique diffère de la description
mécanique à cause de la complexité des systèmes thermodynamiques. Et nous introduirons deux
variables d’état importantes, la température et la pression.
A. Description statistique et description classique
En Mécanique newtonienne l’état d’un système est décrit par les positions et les vitesses de
toutes ses parties. En effet cette Mécanique permet de prévoir l’état ultérieur d’un système {
partir des positions et des vitesses à un instant donné si on connaît les forces exercées sur ce
système.
Même un système thermodynamique très simple, comme une masse de gaz pur monoatomique
(de l’hélium He par exemple) nécessite un extrêmement grand nombre de données. Décrire cette
masse de gaz se fait a priori en décrivant l’état de chaque molécule qui la constitue, c’est { dire
en indiquant tous les couples position-vitesse des molécules. (Si la molécule n’est pas
monoatomique, il faut aussi décrire les positions et vitesses des atomes dans la molécule.) Pour
une mole (4 g dans le cas de l’hélium) qui contient N = 6,02. 1023 molécules cela fait 6N nombres,
car il y a pour chaque molécule 3 composantes pour le vecteur-position et 3 composantes pour
le vecteur-vitesse, soient 6 données par molécule. Ce système, une masse de gaz pur
monoatomique placé dans une enceinte, est donc extrêmement complexe et pourtant c’est un
des systèmes thermodynamiques les plus simples.
On peut traiter ces données, attachées { l’échelle microscopique, par des procédés statistiques :
c’est la méthode de la Thermodynamique statistique. La Thermodynamique classique cherche à
décrire les systèmes { l’échelle macroscopique { l’aide d’un nombre restreint de grandeurs
physiques, les variables d’état. Sa méthode consiste en la recherche d’équations liant les
variables d’état.
La Thermodynamique statistique se place d’un point de vue microscopique tandis que la
Thermodynamique classique adopte un point de vue macroscopique. Elles adaptent leur
méthode { chacun de ces points de vue. Leur but commun est de décrire l’état du système et de
prévoir son évolution lorsqu’il subit des actions.
Vous avez déj{ rencontré certaines variables d’état comme la masse ou le volume. Il en existe
beaucoup d’autres en Thermodynamique, en particulier des variables énergétiques que nous
étudierons dans des chapitres ultérieurs. Nous allons maintenant dire quelques mots de la
température et de la pression car la température est une variable d’état caractéristique de la
Thermodynamique et un grand nombre de systèmes sont soumis à une pression.

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B. Température
1. Le sens du toucher
Notre première approche de la température est liée au sens du toucher. Lorsque nous touchons
un objet il nous paraît plus ou moins chaud, plus ou moins froid. Mais ce sens du toucher n’est
pas adapté { la mesure scientifique d’une température. En effet, l’hiver quand nous entrons dans
une maison, nous trouvons qu’il y fait très chaud ; un peu plus tard, après un temps d’immobilité,
nous trouvons qu’il fait froid ; et pourtant, la température de la maison pilotée par le thermostat
de la chaudière n’a pas varié. D’autre part, si nous trempons la main dans de l’eau froide puis
dans de l’eau tiède celle-ci nous paraîtra très chaude. Ou encore, toucher un glaçon peut nous
donner un sentiment de brûlure.
Il est donc nécessaire de recourir à des thermomètres. Examinons un thermomètre usuel : sa
constitution, son utilisation, sa graduation.
2. Thermomètre usuel à mercure ou à alcool coloré
a) Constitution
Un thermomètre usuel est formé d’un petit réservoir en verre rempli de mercure ou d’alcool
coloré surmonté d’un tube fin muni d’une graduation. Lorsque la température augmente, le
liquide se dilate ; son enveloppe aussi mais moins ; donc la hauteur de liquide dans le tube
augmente.
La hauteur de liquide est appelée grandeur thermométrique : c’est une variable d’état qui
caractérise le thermomètre et qui dépend de la température.
b) Utilisation
Lorsqu’on met un thermomètre usuel { mercure ou { alcool coloré dans de l’eau chaude, le
niveau du mercure monte et se stabilise assez rapidement. On constate trois propriétés : Le
temps de relaxation est assez faible, l’eau chaude reste chaude, la hauteur de la colonne de
mercure indique la température.
c) Graduation
Pour réaliser la graduation du thermomètre, il faut attribuer une température à chaque hauteur
de liquide. On peut obtenir cette graduation grâce à deux points repères appelés « points fixes ».
Qu’est-ce qu’un point fixe ? C’est la température d’un système facilement réalisable et
reproductible.
Par exemple, prenons un thermomètre usuel et plongeons-le dans un mélange eau-glace. La
hauteur de mercure prend une certaine valeur h0. Chauffons un peu pour faire fondre un peu de
glace, la hauteur reste la même. La température du mélange eau-glace ne dépend ni de la
quantité d’eau, ni de celle de glace. (Si nous faisons fondre toute la glace et continuons à chauffer
alors le niveau du mercure montera. Mais nous n’aurons visiblement plus le même système.) La
température de l’eau bouillante est un autre point fixe.
La valeur de ces points fixes dépend de la pression. Par exemple, en haut du Mont-Blanc, l’eau ne
bout pas { la même température qu’en bas car la pression y est plus faible. C’est pourquoi les

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deux points fixes utilisés sont définis comme les températures des points de congélation et
d’ébullition de l’eau sous la pression atmosphérique normale.
Comment réalise-t-on la graduation ? On plonge le thermomètre dans le mélange eau-glace sous
la pression atmosphérique normale, on trace un trait sur le tube en haut du mercure. On lui
attribue la température 0°. On recommence dans l’eau bouillante, on attribue { ce nouveau trait
la valeur 100°. Et on divise en 100 parties égales. On a ainsi construit une échelle
thermométrique, plus précisément une échelle centésimale de température. (Voir le
complément 1 pour la définition et l’expression de la fonction thermométrique qui permet
d’associer mathématiquement une température { chaque valeur de la grandeur
thermométrique.)
Deux questions se posent auxquelles le lien entre équilibre thermique et température permet de
répondre :
Quel est le principe qui sous-tend l’existence des thermomètres ?
Quelles propriétés doivent-ils posséder ?
Et une troisième question { laquelle l’histoire des thermomètres permet de répondre :
Comment l’échelle thermométrique est-elle déterminée c’est-à-dire comment choisit-
on les points fixes et les températures qui leur sont attribuées ?
3. Equilibre thermique et température
a) Notion de température, principe 0 de la Thermodynamique
Une température donnée est une étiquette qui regroupe tous les systèmes qui sont en équilibre
thermique : Deux systèmes A et B en équilibre thermique ont par définition la même
température. Celle-ci est la variable d’état qui caractérise l’équilibre thermique.
Un troisième système C en équilibre thermique avec le système A possède la même température
et est aussi en équilibre thermique avec le système B.
b) Existence et intérêt des thermomètres
C’est le principe 0 qui justifie l’existence et l’intérêt des thermomètres. Quand un thermomètre B
est en équilibre thermique avec le système A, il indique la température du système A. Si nous le
mettons en contact avec le système C et qu’il indique la même température, alors sans les mettre
en contact, nous savons que les systèmes A et C sont en équilibre thermique.
c) Fonctionnement d’un thermomètre
De façon générale, lors du contact d’un thermomètre avec un système thermodynamique, un
échange d’énergie sous forme thermique se produit. Cet échange est relativement rapide et ne
modifie presque pas la température du système mais impose cette température au thermomètre.
De façon qualitative, on peut dire que le thermomètre est, du point de vue des échanges
thermiques, beaucoup plus « petit » que le système. (Nous y reviendrons quantitativement dans
un chapitre ultérieur.)

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Nous avons répondu aux deux premières questions, passons à la troisième. La construction
d’une échelle thermométrique comporte plusieurs choix arbitraires. Pour illustrer ce point
faisons un peu d’histoire.
4. Un peu d’histoire : Fahrenheit, Celsius
a) Daniel Gabriel Fahrenheit
Daniel Fahrenheit est un physicien allemand, né à Dantzig en 1686 (actuelle Gdansk en Pologne),
mort à La Haye (Pays-Bas) en 1786. Il crée en 1714 un thermomètre dont les points fixes sont la
température de congélation d’un mélange d’eau et de chlorure d’ammonium et la température
du corps humain. Il leur attribue les températures 0° et 96°.
On peut se demander « Pourquoi ces choix ? » : Ils découlent de l’histoire de la réalisation de ce
thermomètre, d’une succession de décisions arbitraires. Par exemple, le mélange d’eau et de
chlorure d’ammonium permet de recréer en laboratoire la température la plus froide observée
par Fahrenheit à Dantzig et lui attribuer la valeur 0° permet de se servir de températures
positives, sauf cas extrêmes.
b) Anders Celsius
Anders Celsius est un astronome et physicien suédois, né en 1701 et mort en 1744, à Uppsala. En
1742, il invente un thermomètre utilisant comme points fixes la congélation et l’ébullition de
l’eau auxquels il attribue respectivement les températures 100° et 0°. C'est-à-dire l’inverse de
l’usage actuel, ce qui montre encore la part d’arbitraire inhérente { une échelle
thermométrique ! On rapporte que c’est un de ses collègues de l’Université d’Uppsala, Carl Von
Linné, célèbre biologiste, qui proposa d’inverser ce choix.
Nous venons de discuter rapidement la notion de température, variable d’état fondamentale en
Thermodynamique puisqu’elle caractérise l’équilibre thermique. Nous reviendrons sur cette
notion, en particulier pour introduire la température absolue, la température thermodynamique
et donner la définition actuelle de l’échelle Celsius.
D’autre part, tous les systèmes que nous étudierons (solides, liquides, gaz) sont soumis à des
forces de pression. Nous allons donc préciser cette notion.
C. Pression
On fait couramment référence à la pression. La coque d’un sous-marin, le fuselage d’un avion, la
paroi d’un fût résistent aux pressions auxquelles ils sont soumis. Les empreintes des pas d’un
homme, des sabots d’un cheval ou d’un cerf résultent de la pression exercée lors de leur marche
sur le sol. Sans oublier la pression atmosphérique, toujours mentionnée dans les bulletins météo.
1. Notion de pression
Lorsqu’on marche dans la neige, on s’enfonce plus avec des chaussures qu’avec des raquettes. La
pression exercée sur la neige est plus grande dans le premier cas.
Considérons une personne immobile sur un plan horizontal enneigé ! La force qu’elle exerce sur
la neige est égale à son poids dans les deux cas. Mais la surface de contact des chaussures avec la
neige est plus petite que celle des raquettes. Avec les chaussures la force exercée est répartie sur
une plus petite surface. Et la pression est plus grande.

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Si deux personnes de poids différents chaussent, l’une après l’autre, les mêmes raquettes, la plus
lourde exercera la plus grande pression.
La pression augmente avec l’intensité de la force et diminue avec l’aire de la surface. On définit la
pression comme le quotient de l’intensité1 de la force, exercée perpendiculairement sur une
surface, par l’aire de cette surface :
F
pS
S
F
Figure 1 : force pressante exercée sur une surface d’aire S
Remarque : Des forces de frottement peuvent s’exercer tangentiellement aux surfaces. Nous
n’étudions que les forces de pression, perpendiculaires aux surfaces de contact.
Si une personne court, sa pointe de pied et son talon n’exercent pas la même pression sur la
neige. On est donc conduit à une définition locale de la pression. On considère une surface
élémentaire d’aire dS(M) entourant un point M. Une force élémentaire d’intensité dF(M) s’exerce
perpendiculairement sur cette surface. (La somme vectorielle de tous ces vecteurs-forces
élémentaires est égale au vecteur-force exercé par le marcheur ou le coureur sur la surface de
contact ; la somme de toutes ces aires élémentaires est égale { l’aire de la surface de contact.) La
pression en M est définie par :
()
() ()
dF M
pM dS M
dS(M)
M
dF(M)
Figure 2 : force pressante élémentaire exercée sur une surface élémentaire d’aire dS
1 L’intensité du vecteur-force
F
est notée F.