Variables d`état

Chapitre II : Variables d’état
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VARIABLES D’ETAT
Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, les variables d’état sont un moyen de décrire
l’état d’un système. Nous allons voir que la description thermodynamique diffère de la description
mécanique à cause de la complexité des systèmes thermodynamiques. Et nous introduirons deux
variables d’état importantes, la température et la pression.
A. Description statistique et description classique
En Mécanique newtonienne l’état d’un système est décrit par les positions et les vitesses de
toutes ses parties. En effet cette Mécanique permet de prévoir l’état ultérieur d’un système {
partir des positions et des vitesses à un instant donné si on connaît les forces exercées sur ce
système.
Même un système thermodynamique très simple, comme une masse de gaz pur monoatomique
(de l’hélium He par exemple) nécessite un extrêmement grand nombre de données. Décrire cette
masse de gaz se fait a priori en décrivant l’état de chaque molécule qui la constitue, c’est { dire
en indiquant tous les couples position-vitesse des molécules. (Si la molécule n’est pas
monoatomique, il faut aussi décrire les positions et vitesses des atomes dans la molécule.) Pour
une mole (4 g dans le cas de l’hélium) qui contient N = 6,02. 1023 molécules cela fait 6N nombres,
car il y a pour chaque molécule 3 composantes pour le vecteur-position et 3 composantes pour
le vecteur-vitesse, soient 6 données par molécule. Ce système, une masse de gaz pur
monoatomique placé dans une enceinte, est donc extrêmement complexe et pourtant c’est un
des systèmes thermodynamiques les plus simples.
On peut traiter ces données, attachées { l’échelle microscopique, par des procédés statistiques :
c’est la méthode de la Thermodynamique statistique. La Thermodynamique classique cherche à
décrire les systèmes { l’échelle macroscopique { l’aide d’un nombre restreint de grandeurs
physiques, les variables d’état. Sa méthode consiste en la recherche d’équations liant les
variables d’état.
La Thermodynamique statistique se place d’un point de vue microscopique tandis que la
Thermodynamique classique adopte un point de vue macroscopique. Elles adaptent leur
méthode { chacun de ces points de vue. Leur but commun est de décrire l’état du système et de
prévoir son évolution lorsqu’il subit des actions.
Vous avez déj{ rencontré certaines variables d’état comme la masse ou le volume. Il en existe
beaucoup d’autres en Thermodynamique, en particulier des variables énergétiques que nous
étudierons dans des chapitres ultérieurs. Nous allons maintenant dire quelques mots de la
température et de la pression car la température est une variable d’état caractéristique de la
Thermodynamique et un grand nombre de systèmes sont soumis à une pression.
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B. Température
1. Le sens du toucher
Notre première approche de la température est liée au sens du toucher. Lorsque nous touchons
un objet il nous paraît plus ou moins chaud, plus ou moins froid. Mais ce sens du toucher n’est
pas adapté { la mesure scientifique d’une température. En effet, l’hiver quand nous entrons dans
une maison, nous trouvons qu’il y fait très chaud ; un peu plus tard, après un temps d’immobilité,
nous trouvons qu’il fait froid ; et pourtant, la température de la maison pilotée par le thermostat
de la chaudière n’a pas varié. D’autre part, si nous trempons la main dans de l’eau froide puis
dans de l’eau tiède celle-ci nous paraîtra très chaude. Ou encore, toucher un glaçon peut nous
donner un sentiment de brûlure.
Il est donc nécessaire de recourir à des thermomètres. Examinons un thermomètre usuel : sa
constitution, son utilisation, sa graduation.
2. Thermomètre usuel à mercure ou à alcool coloré
a) Constitution
Un thermomètre usuel est formé d’un petit réservoir en verre rempli de mercure ou d’alcool
coloré surmonté d’un tube fin muni d’une graduation. Lorsque la température augmente, le
liquide se dilate ; son enveloppe aussi mais moins ; donc la hauteur de liquide dans le tube
augmente.
La hauteur de liquide est appelée grandeur thermométrique : c’est une variable d’état qui
caractérise le thermomètre et qui dépend de la température.
b) Utilisation
Lorsqu’on met un thermomètre usuel { mercure ou { alcool coloré dans de l’eau chaude, le
niveau du mercure monte et se stabilise assez rapidement. On constate trois propriétés : Le
temps de relaxation est assez faible, l’eau chaude reste chaude, la hauteur de la colonne de
mercure indique la température.
c) Graduation
Pour réaliser la graduation du thermomètre, il faut attribuer une température à chaque hauteur
de liquide. On peut obtenir cette graduation grâce à deux points repères appelés « points fixes ».
Qu’est-ce qu’un point fixe ? C’est la température d’un système facilement réalisable et
reproductible.
Par exemple, prenons un thermomètre usuel et plongeons-le dans un mélange eau-glace. La
hauteur de mercure prend une certaine valeur h0. Chauffons un peu pour faire fondre un peu de
glace, la hauteur reste la même. La température du mélange eau-glace ne dépend ni de la
quantité d’eau, ni de celle de glace. (Si nous faisons fondre toute la glace et continuons à chauffer
alors le niveau du mercure montera. Mais nous n’aurons visiblement plus le même système.) La
température de l’eau bouillante est un autre point fixe.
La valeur de ces points fixes dépend de la pression. Par exemple, en haut du Mont-Blanc, l’eau ne
bout pas { la même température qu’en bas car la pression y est plus faible. C’est pourquoi les
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deux points fixes utilisés sont définis comme les températures des points de congélation et
d’ébullition de l’eau sous la pression atmosphérique normale.
Comment réalise-t-on la graduation ? On plonge le thermomètre dans le mélange eau-glace sous
la pression atmosphérique normale, on trace un trait sur le tube en haut du mercure. On lui
attribue la température 0°. On recommence dans l’eau bouillante, on attribue { ce nouveau trait
la valeur 100°. Et on divise en 100 parties égales. On a ainsi construit une échelle
thermométrique, plus précisément une échelle centésimale de température. (Voir le
complément 1 pour la définition et l’expression de la fonction thermométrique qui permet
d’associer mathématiquement une température { chaque valeur de la grandeur
thermométrique.)
Deux questions se posent auxquelles le lien entre équilibre thermique et température permet de
répondre :
Quel est le principe qui sous-tend l’existence des thermomètres ?
Quelles propriétés doivent-ils posséder ?
Et une troisième question { laquelle l’histoire des thermomètres permet de répondre :
Comment l’échelle thermométrique est-elle déterminée c’est-à-dire comment choisiton les points fixes et les températures qui leur sont attribuées ?
3. Equilibre thermique et température
a) Notion de température, principe 0 de la Thermodynamique
Une température donnée est une étiquette qui regroupe tous les systèmes qui sont en équilibre
thermique : Deux systèmes A et B en équilibre thermique ont par définition la même
température. Celle-ci est la variable d’état qui caractérise l’équilibre thermique.
Un troisième système C en équilibre thermique avec le système A possède la même température
et est aussi en équilibre thermique avec le système B.
b) Existence et intérêt des thermomètres
C’est le principe 0 qui justifie l’existence et l’intérêt des thermomètres. Quand un thermomètre B
est en équilibre thermique avec le système A, il indique la température du système A. Si nous le
mettons en contact avec le système C et qu’il indique la même température, alors sans les mettre
en contact, nous savons que les systèmes A et C sont en équilibre thermique.
c) Fonctionnement d’un thermomètre
De façon générale, lors du contact d’un thermomètre avec un système thermodynamique, un
échange d’énergie sous forme thermique se produit. Cet échange est relativement rapide et ne
modifie presque pas la température du système mais impose cette température au thermomètre.
De façon qualitative, on peut dire que le thermomètre est, du point de vue des échanges
thermiques, beaucoup plus « petit » que le système. (Nous y reviendrons quantitativement dans
un chapitre ultérieur.)
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Nous avons répondu aux deux premières questions, passons à la troisième. La construction
d’une échelle thermométrique comporte plusieurs choix arbitraires. Pour illustrer ce point
faisons un peu d’histoire.
4. Un peu d’histoire : Fahrenheit, Celsius
a) Daniel Gabriel Fahrenheit
Daniel Fahrenheit est un physicien allemand, né à Dantzig en 1686 (actuelle Gdansk en Pologne),
mort à La Haye (Pays-Bas) en 1786. Il crée en 1714 un thermomètre dont les points fixes sont la
température de congélation d’un mélange d’eau et de chlorure d’ammonium et la température
du corps humain. Il leur attribue les températures 0° et 96°.
On peut se demander « Pourquoi ces choix ? » : Ils découlent de l’histoire de la réalisation de ce
thermomètre, d’une succession de décisions arbitraires. Par exemple, le mélange d’eau et de
chlorure d’ammonium permet de recréer en laboratoire la température la plus froide observée
par Fahrenheit à Dantzig et lui attribuer la valeur 0° permet de se servir de températures
positives, sauf cas extrêmes.
b) Anders Celsius
Anders Celsius est un astronome et physicien suédois, né en 1701 et mort en 1744, à Uppsala. En
1742, il invente un thermomètre utilisant comme points fixes la congélation et l’ébullition de
l’eau auxquels il attribue respectivement les températures 100° et 0°. C'est-à-dire l’inverse de
l’usage actuel, ce qui montre encore la part d’arbitraire inhérente { une échelle
thermométrique ! On rapporte que c’est un de ses collègues de l’Université d’Uppsala, Carl Von
Linné, célèbre biologiste, qui proposa d’inverser ce choix.
Nous venons de discuter rapidement la notion de température, variable d’état fondamentale en
Thermodynamique puisqu’elle caractérise l’équilibre thermique. Nous reviendrons sur cette
notion, en particulier pour introduire la température absolue, la température thermodynamique
et donner la définition actuelle de l’échelle Celsius.
D’autre part, tous les systèmes que nous étudierons (solides, liquides, gaz) sont soumis à des
forces de pression. Nous allons donc préciser cette notion.
C. Pression
On fait couramment référence à la pression. La coque d’un sous-marin, le fuselage d’un avion, la
paroi d’un fût résistent aux pressions auxquelles ils sont soumis. Les empreintes des pas d’un
homme, des sabots d’un cheval ou d’un cerf résultent de la pression exercée lors de leur marche
sur le sol. Sans oublier la pression atmosphérique, toujours mentionnée dans les bulletins météo.
1. Notion de pression
Lorsqu’on marche dans la neige, on s’enfonce plus avec des chaussures qu’avec des raquettes. La
pression exercée sur la neige est plus grande dans le premier cas.
Considérons une personne immobile sur un plan horizontal enneigé ! La force qu’elle exerce sur
la neige est égale à son poids dans les deux cas. Mais la surface de contact des chaussures avec la
neige est plus petite que celle des raquettes. Avec les chaussures la force exercée est répartie sur
une plus petite surface. Et la pression est plus grande.
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Si deux personnes de poids différents chaussent, l’une après l’autre, les mêmes raquettes, la plus
lourde exercera la plus grande pression.
La pression augmente avec l’intensité de la force et diminue avec l’aire de la surface. On définit la
pression comme le quotient de l’intensité1 de la force, exercée perpendiculairement sur une
surface, par l’aire de cette surface :
p
F
S
S
F
Figure 1 : force pressante exercée sur une surface d’aire S
Remarque : Des forces de frottement peuvent s’exercer tangentiellement aux surfaces. Nous
n’étudions que les forces de pression, perpendiculaires aux surfaces de contact.
Si une personne court, sa pointe de pied et son talon n’exercent pas la même pression sur la
neige. On est donc conduit à une définition locale de la pression. On considère une surface
élémentaire d’aire dS(M) entourant un point M. Une force élémentaire d’intensité dF(M) s’exerce
perpendiculairement sur cette surface. (La somme vectorielle de tous ces vecteurs-forces
élémentaires est égale au vecteur-force exercé par le marcheur ou le coureur sur la surface de
contact ; la somme de toutes ces aires élémentaires est égale { l’aire de la surface de contact.) La
pression en M est définie par :
p( M )
dF ( M )
dS ( M )
M dS(M)
dF(M)
Figure 2 : force pressante élémentaire exercée sur une surface élémentaire d’aire dS
1
L’intensité du vecteur-force
F est notée F.
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Dans le système international l’unité de pression est le pascal qui s’abrège Pa. L’unité légale de
force est le newton (N) et celle de l’aire est le mètre-carré (m2), donc :
1 Pa = 1 N.m-2
Ce paragraphe avait pour but d’introduire la notion de pression. Nous l’avons fait en considérant
une force pressante exercée par un solide sur un autre solide. Nous allons maintenant étudier les
forces pressantes exercées par les fluides parfaits en équilibre sur une surface solide puis en leur
sein en commençant par les définir.
2. Force pressante exercée par un fluide parfait en équilibre
a) Fluide parfait
Fluide est un terme général pour désigner les liquides et les gaz.
Un fluide parfait n’est pas visqueux, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de frottement en son sein. La
viscosité de l’huile, du miel, de la glycérine est plus élevée que celle de l’eau. Les gaz ont une
faible viscosité.
Nous étudions les forces pressantes s’exerçant au sein de fluides parfaits en équilibre
thermodynamique, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de frottement et que les équilibres mécanique et
thermique sont réalisés.
b) Expression de la force pressante élémentaire
Considérons par exemple un élément de la paroi du récipient qui contient un liquide parfait. Il
est soumis à une force élémentaire : Si nous perçons un petit trou à la place de cet élément de
surface, le liquide jaillit perpendiculairement à la surface puis tombe sous l’action de la
pesanteur. Auparavant, il poussait sur la surface qui résistait. Le liquide étant parfait, il n’y a pas
de force de frottement (tangentielle) et la force (pressante) est perpendiculaire à la surface.
Considérons donc un élément d’aire dS(M) entourant le point M et soumis { l’action d’un fluide. Il
subit une force pressante élémentaire dF(M) exercée par le fluide.
La pression est donc :
p( M )
dF ( M )
dS ( M )
Cette façon de faire suppose que la force est connue ainsi que l’aire et qu’on en déduit la
pression. Mais on peut connaître la pression et l’aire et en déduire l’intensité de la force :
dF ( M )
p( M ) dS (M )
On transforme habituellement cette expression algébrique en une expression vectorielle en
introduisant le vecteur2 next perpendiculaire à la surface, orienté vers l’extérieur de la surface et
2
Dans le texte proprement dit, les lettres en caractères gras notent les vecteurs. Dans les équations ou formules,
les vecteurs sont surmontés d’une flèche.
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unitaire. Le vecteur-force est perpendiculaire à la surface, orienté vers l’extérieur du fluide et
d’intensité égale au produit de la pression par l’aire, donc :
d F (M )
p(M ) dS (M ) next (M )
fluide
paroi
M
n ext (M)
dF(M)
Figure 3 : le vecteur unitaire next(M) et le vecteur-force élémentaire
c) Expression de la force pressante s’exerçant sur une surface Σ
Lorsqu’on considère une surface Σ d’aire S la force pressante résultante est la somme vectorielle
des forces pressantes élémentaires :
F
d F (M )
p(M ) dS (M ) next (M )
L’intégrale ci-dessus n’est pas une intégrale simple comme
b
a
f (t )dt :
- Le signe de l’intégrale est double car une surface possède deux dimensions, par
exemple une longueur et une largeur pour un rectangle ; il y aura donc a priori deux
intégrales à effectuer.
- Les bornes a et b sont remplacées par la surface Σ : les bornes de l’intégration sont
données par le contour de cette surface.
- Et l’élément différentiel dF(M) ou - p(M) dS(M) next(M) est vectoriel (ce qui peut
conduire à faire trois intégrales doubles algébriques en projection sur trois axes de
coordonnées).
Exemple n°1
z
y
l
O
dx
L
dz
x
dS=Ldz
-h
dx
dy
Figure 4 : un aquarium, ses axes, ses dimensions, ses surfaces élémentaires
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On considère le fond d’un aquarium parallélépipédique, de base rectangulaire de côtés L et l,
rempli d’eau, soumis à une pression uniforme p. Remarquons tout de suite que cet exemple ne
nécessite pas de faire appel au calcul intégral car le résultat découle de la définition de la
pression. Le but est donc uniquement de montrer comment fonctionne ce type de calcul.
- La pression est uniforme c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas du point M considéré.
- On repère le point M de la surface rectangulaire grâce à ses coordonnées cartésiennes x
et y –voir figure 4. x varie de 0 à L et y de 0 à l. Les bornes de l’intégrale sont donc 0 et L
d’une part et 0 et l d’autre part.
- On découpe la surface en rectangles élémentaires de côtés dx et dy ce qui conduit à
dS(M) = dx dy.
- Le vecteur - next(M) ne dépend pas de M : il est vertical, descendant et unitaire, noté n.
L’intégrale s’écrit donc :
F
dF
L
l
0
0
p dx dy n
D’une part, l’intégrale de droite, de bornes 0 et l, ne concerne pas dx ; d’autre part, p et n ne
dépendent ni de x ni de y donc on peut les mettre en facteur :
F
dF
F
dF
L
0
p
l
dx
L
0
0
p dy n
l
dx dy n
0
Il reste à effectuer deux intégrales simples qui donnent pour la première L et pour la seconde l.
D’où le résultat :
L
0
l
0
F
L
dx
x
dy
y
0
L 0
L
l
0
dF
l 0 l
p Ll n
pSn
La force est bien perpendiculaire { la surface, orientée vers le bas et d’intensité égale au produit
de la pression par la surface- ce qui, répétons-le est immédiat ! Voir le paragraphe C.4.f. pour la
poursuite numérique de cet exemple, une fois la pression p déterminée.
Exemple n°2
On considère maintenant une des parois verticales de l’aquarium, celle d’ordonnée y=0,
rectangulaire de côtés L et h. Nous montrerons au paragraphe C.4.b. que la pression ne dépend
que de l’altitude z suivant une loi affine : p(z) = Az + B où A et B sont des constantes.
La surface de l’eau est en équilibre sous l’action de la pression atmosphérique et de la pression
de l’eau. Donc la pression p(0) = B de l’eau { la surface est égale { la pression atmosphérique P0.
Nous choisissons donc l’origine des altitudes à la surface de l’eau.
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- On repère le point M de la surface rectangulaire grâce à ses coordonnées cartésiennes x
et z –voir figure 4. x varie de 0 à L et z de -h à 0. Les bornes de l’intégrale sont donc 0 et
L d’une part et -h et 0 d’autre part.
- On découpe la surface en rectangles élémentaires de côtés dx et dz ce qui conduit à
dS(M) = dx dz.
- Le vecteur next(M) ne dépend pas de M : il est horizontal, orienté vers l’arrière de la
feuille et unitaire, noté j (c’est le vecteur unitaire de l’axe des y).
L’intégrale s’écrit donc :
F
L
dF
0
0
Az B dx dz j
h
D’une part, l’intégrale de droite, de bornes -h et 0, ne concerne pas dx ; d’autre part, j ne dépend
ni de x ni de z donc on peut le mettre en facteur :
F
dF
F
dF
L
0
dx
L
0
0
Az B dz j
h
dx
0
h
Az B dz j
Il reste à effectuer deux intégrales simples qui donnent pour la première L et pour la seconde
–(½Ah2-Bh). D’où le résultat :
0
h
F
Az B dz
dF
L
1 2
Az
2
1 2
Ah
2
0
Bz
0 0
h
1 2
Ah
2
Bh
1 2
Ah
2
Bh
Bh j
Nous venons de calculer la force pressante exercée par une colonne d’eau sur une surface
verticale de hauteur h et de longueur L. Il reste néanmoins à déterminer A. Voir le paragraphe
C.4.f. pour la poursuite numérique de cet exemple. Nous y verrons que la parenthèse est négative
et la force bien orientée vers l’avant de la figure.
Remarque : On peut judicieusement choisir un élément de surface rectangulaire de longueur L et
de hauteur dz donc d’aire dS = Ldz (voir figure 4). En effet la pression ne dépend que de z et est
donc uniforme sur cet élément. Alors l’intégration par rapport { x est déjà effectuée. Et :
F
dF
0
h
( Az B) Ldz j
L
1 2
Ah
2
Bh j
Nous pourrions multiplier les exemples et les compliquer à loisir mais le seul but poursuivi était
de montrer comment ces intégrales fonctionnent.
d) Définition de la poussée d’Archimède
Nous considérons maintenant un corps plongé dans un liquide soumis à la pesanteur terrestre.
Cela peut être une bille ou un morceau de bois dans de l’eau. Si ce corps a tendance à couler nous
le soutenons et s’il a tendance { flotter nous appuyons dessus pour l’enfoncer pour qu’il soit
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entouré de fluide de toute part. Il peut aussi s’agir d’un corps dans un gaz : une montgolfière ou
une gouttelette d’eau dans de l’air.
Figure 5 : bille d’acier immergée et suspendue à une potence
La figure concerne une bille d’acier plongée dans de l’eau et soutenue par un fil attaché { une
potence. La bille est soumise aux forces pressantes exercées par l’eau ainsi qu’{ son poids et { la
tension du fil. Sous l’ensemble de ces forces elle est en équilibre mécanique (immobile). Elle est
aussi en équilibre thermique (pas d’échange thermique, ni interne, ni avec le fluide). Le fluide est
en équilibre thermique (pas d’échange thermique, ni avec l’extérieur, ni en son sein) et en
équilibre mécanique (immobile).
Définition : La poussée d’Archimède est la force pressante totale exercée sur le corps par le
fluide en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre, c’est-à-dire la somme vectorielle de
toutes les forces pressantes élémentaires.
Nous pouvons traduire la définition par une équation. (Cela n’ajoute rien { sa signification mais
peut éventuellement être le début du calcul d’une poussée d’Archimède.) Sur chaque élément de
surface d’aire dS(M) s’exerce la force dF(M)= - p(M) dS(M) next(M). Donc la poussée d’Archimède,
somme vectorielle de toutes ces forces élémentaires, s’écrit :
F
S
dF
S
p(M ) dS (M ) next (M )
Le signe « double intégrale cerclée » indique que l’intégration s’effectue sur la surface fermée S
qui délimite le corps. Cette intégration fonctionne comme celles que nous venons de voir. Par
exemple un parallélépipède immergé possède six faces rectangulaires comme celles que nous
avons rencontrées dans les exemples. Pour une bille sphérique, c’est un peu plus compliqué mais
réalisable (voir le complément 2) et nous allons aussi voir une autre méthode pour calculer la
poussée d’Archimède.
e) Expression de la poussée d’Archimède
On considère un corps plongé dans un fluide parfait en équilibre dans le champ de pesanteur
terrestre, donc soumis { la poussée d’Archimède F. Puis on enlève le corps et on le remplace par
du fluide. Cette partie de fluide, appelée fluide déplacé, est en équilibre sous l’action de son poids
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Pfluide déplacé et de la même poussée d’Archimède F car on suppose que la poussée d’Archimède n’a
pas varié c’est-à-dire que la présence ou l’absence du corps ne modifie pas le champ de pression.
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, cet équilibre se traduit par :
Fext
0
Pfluide déplacé
F
F
0
Pfluide déplacé
La poussée d’Archimède est l’opposée du poids du fluide déplacé : elle est verticale, orientée vers le
haut, d’intensité égale { celle du poids du fluide déplacé. Euréka comme aurait dit Archimède !
Nous venons d’étudier les forces exercées par un fluide sur un solide. Quelles sont les forces
pressantes s’exerçant au sein du fluide, c’est-à-dire les forces exercées par le fluide sur un
élément de fluide ? La réponse à cette question nous conduira à la loi fondamentale de
l’hydrostatique.
3. Loi fondamentale de l’hydrostatique
Nous allons montrer que la pression est uniforme sur chaque plan horizontal et que la variation
de pression dp(z) lorsque l’altitude varie de z à z+dz vaut dp(z) = - µgdz (g est l’intensité de la
pesanteur et µ la masse volumique du fluide).
a) Forces exercées par le fluide sur un élément de fluide
F(z+dz)
F(y+dy)
dP
F(x)
F(x+dx)
dz
dy
F(y)
z
y
O
x
M(x, y, z)
dx
F(z)
Figure 6 : un élément de fluide et les forces extérieures qu’il subit
Nous considérons un fluide parfait en équilibre sous l’action de la pesanteur terrestre et en
équilibre thermique. Nous étudions l’équilibre d’un élément de ce fluide. Dans le référentiel
terrestre considéré comme galiléen, cet élément est en équilibre mécanique au sein du fluide
sous l’action des forces pressantes exercées par le reste du fluide et de son poids.
Nous donnons à cet élément une forme parallélépipédique. Le reste du fluide exerce sur chacune
de ses six faces une force pressante élémentaire que nous allons calculer dans les paragraphes
suivants.
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Sur les deux faces verticales d’abscisses x et x+dx de même aire dydz s’exercent deux forces
horizontales F(x) et F(x+dx). La force F(x) et le vecteur unitaire i sont colinéaires et de même
sens et la force F(x+dx) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces verticales d’abscisses y et y+dy de même aire dxdz s’exercent deux forces
horizontales F(y) et F(y+dy). La force F(y) et le vecteur unitaire j sont colinéaires et de même
sens et la force F(y+dy) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces horizontales de cotes z et z+dz de même aire dxdy s’exercent deux forces
verticales F(z) et F(z+dz). La force F(z) et le vecteur unitaire k sont colinéaires et de même sens
et la force F(z+dz) leur est colinéaire et de sens contraire.
De plus l’élément de fluide est soumis à son poids dP.
(Habituellement, on représente un vecteur-force avec son origine au point d’application de la
force ; pour préserver la clarté de la figure, cette habitude n’est pas respectée ici, sauf pour le
vecteur-poids.)
b) Equilibre de l’élément de fluide
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l’équilibre se traduit par :
(i)
(ii)
(iii)
Fextérieures
0
F ( x) F ( x dx) F ( y ) F ( y dy ) F ( z ) F ( z dz ) dP
F ( x) F ( x dx) i
F ( y ) F ( y dy ) j
0
F ( z ) F ( z dz ) dP k
0
c) Forces exercées par le fluide sur les faces verticales
En projetant cette dernière égalité vectorielle sur l’axe des abscisses, nous obtenons :
F ( x) F ( x dx) 0
F ( x) F ( x dx)
L’aire des deux surfaces est la même dy.dz donc l’égalité des forces entraîne l’égalité des
pressions :
p( x dx, y, z )
p( x, y, z )
Cette égalité montre que la pression ne dépend en fait pas de l’abscisse x.
La situation est semblable pour les faces d’ordonnées y et y+dy. Donc la pression ne dépend en
fait pas de l’ordonnée y.
Nous avons donc montré que la pression est uniforme dans tout plan horizontal. Elle n’est
fonction que de la cote z.
d) Forces verticales
Nous projetons l’égalité vectorielle (iii) orthogonalement sur l’axe des z :
F ( z ) F ( z dz ) dP
0
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Il faut exprimer ces trois forces.
Nous allons appliquer la relation entre force pressante et pression. Nous obtenons :
F ( z)
p( z ) dxdy k
F ( z dz )
p( z dz ) dxdy k
La somme vectorielle de ces deux forces donne :
F ( z ) F ( z dz )
p( z ) dxdy k
p ( z dz ) dxdz k
p( z dz )
p( z ) dxdy k
Nous allons diviser cette force par le volume de l’élément de fluide pour faire apparaître le taux
d’accroissement de la pression :
1
F ( z ) F ( z dz )
dxdydz
p( z dz ) p( z )
k
dz
dp
( z )k
dz
Ce terme représente la force pressante verticale par unité de volume. L’élément de fluide a un
volume dV = dxdydz. Donc la force pressante verticale qui s’exerce sur cet élément de fluide
vaut :
dFzk
dp
( z )dxdydzk
dz
Il nous faut aussi exprimer son poids élémentaire :
d P dm g
La masse élémentaire dm s’exprime en fonction de la masse volumique du fluide et du volume de
l’élément fluide :
dm
dV
dm
dV
dxdydz
D’où le poids élémentaire :
dP
dxdydz g
g dxdydz k
La relation d’équilibre de l’élément fluide projetée sur l’axe des z devient :
dp
( z )dxdydz
dz
dp
( z)
g
dz
gdxdydz
0
Chapitre II : Variables d’état
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Cette équation est la loi fondamentale de l’hydrostatique plus souvent écrite sous la forme
suivante :
dp( z )
gdz
Connaissant l’intensité de la pesanteur cette loi permet de déterminer par intégration la
pression en chaque point du fluide lorsqu’on sait exprimer la masse volumique.
Nous pouvons tout de suite en déduire que la pression diminue quand l’altitude augmente (la
dérivée de la pression est négative). Deux exemples bien connus :
- La pression atmosphérique diminue quand on s’élève ; les avions sont pressurisés car
les passagers ne pourraient plus bien respirer ; la pression au sommet de l’Everest est
plus faible qu’au niveau de la mer, les alpinistes emportent de l’oxygène comprimé.
- La pression augmente quand on descend au fond des océans ; les plongeurs, les sousmarins doivent résister à de fortes pressions.
D’autre part chaque plan horizontal (z = constante) est une surface d’égale pression. D’où la
forme horizontale de la surface libre d’un liquide en équilibre dans le champ de pesanteur
uniforme et soumis à la pression atmosphérique uniforme.
(Voir le complément 3 pour d’autres méthodes de démonstration de cette loi.)
e) Expression vectorielle
Considérons un moment la pression comme une fonction des trois variables x, y et z. Si
maintenant nous imposons à y et z d’être constants, la pression n’est plus fonction que de x. La
dérivée de cette fonction, appelée dérivée partielle par rapport à x, se note avec des ∂ (d ronds).
Pour calculer la dérivée partielle par rapport à y on fixe x et z. Et de même x et y pour la dérivée
partielle par rapport à z. Nous pouvons introduire le vecteur gradient de pression gradp dont les
composantes sont :
p p p
, ,
x y z
Nous avons montré :
p
x
0,
p
y
0,
p
z
g
Ce qui peut s’écrire :
grad p
gk
g
Calculons le poids volumique du fluide, c'est-à-dire le poids divisé par le volume :
dm
g
dV
g
Chapitre II : Variables d’état
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Le gradient de pression est égal au poids volumique du fluide. Cette égalité, parce qu’elle est
vectorielle, est indépendante des coordonnées choisies, c’est son premier intérêt. Le second
apparaît si d’autres forces extérieures que le poids sont appliquées au fluide. L’égalité se
transforme immédiatement en ajoutant au poids volumique les autres forces volumiques. Par
exemple dans un référentiel non galiléen, on ajoute les forces volumiques d’inertie.
Nous allons maintenant déterminer la pression dans un cas particulier très important, celui du
fluide parfait incompressible et soumis au champ de pesanteur uniforme, en commençant par
préciser ces deux particularités.
4. Cas du fluide parfait incompressible dans le champ de pesanteur uniforme
a) Définitions
Une substance est incompressible lorsque son volume est indépendant de sa pression.
Par exemple, les liquides et les solides sont pratiquement incompressibles. Cependant dans le
noyau terrestre, lorsque la pression atteint plusieurs centaines de milliards de pascals, les
solides et les liquides deviennent compressibles. Par contre même dans les conditions
ordinaires, les gaz sont compressibles, leur volume dépend de la pression.
Lorsqu’une substance est compressible sa masse volumique dépend de la pression. (Plus la
pression augmente, plus le volume d’une masse donnée diminue.) Au contraire la masse
volumique d’une substance incompressible est indépendante de la pression.
Rappel : Dire que le champ de pesanteur est uniforme c'est dire que le vecteur g est constant
dans le volume considéré. C’est le cas dans un aquarium avec une très bonne précision, dans une
partie de l’océan ou de l’atmosphère avec une précision qui dépend des dimensions choisies.
Donc ce cas, bien que particulier, est très répandu.
b) Intégration de la loi fondamentale
Dans le cas d’un fluide parfait incompressible soumis au champ de pesanteur uniforme, la loi
fondamentale de l’hydrostatique exprime que la dérivée de la pression est constante :
dp
( z)
dz
g
cste
Donc elle s’intègre en :
p( z )
gz C
La constante d’intégration C s’obtient par la donnée de la pression P0 { l’altitude z = 0 :
p(0)
p( z )
P0
g.0 C
gz P0
C
C
P0
Chapitre II : Variables d’état
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Lorsque l’altitude augmente, la pression diminue. Pour chaque mètre monté, la pression diminue
d’une quantité égale au poids volumique µg du fluide :
p ( z2 )
p( z1 )
g ( z2
z1 )
Nous allons maintenant voir trois applications de la loi fondamentale de l’hydrostatique intégrée
dans le cas du fluide parfait incompressible et soumis au champ de pesanteur uniforme puis
poursuivre les exemples du paragraphe C.2.c.
c) Application 1 : Comparaison des gaz et des liquides
L’expression de la pression p(z2) - p(z1) = - µg(z2 –z1) permet de comparer les différences de
pression au sein des gaz et des liquides.
La masse volumique des gaz est environ mille fois moindre que celle des liquides (ou des
solides). Par exemple : masse volumique de l’air3 1,3 kg.m-3, de l’eau 103 kg.m-3 (du fer
7,8.103 kg.m-3).
Donc pour une dénivellation donnée, la variation de pression est mille fois moindre dans un gaz
que dans un liquide. La hauteur d’un « récipient » usuel, flacon, ballon, bouteille de gaz
comprimé ou pièce d’habitation est de l’ordre du décimètre ou du mètre. Pour une dénivellation
de 1 m d’air, on calcule approximativement la variation de pression :
p
µg z
1.10.1
10 Pa
Elle est de l’ordre de 10 Pa, { comparer { la pression atmosphérique de l’ordre de 105 Pa. Donc la
pression peut être considérée comme uniforme au sein du gaz avec une précision de l’ordre du
centième de pourcent.
(Ces calculs supposent que la masse volumique est constante, ce qui est pratiquement le cas
pour de si faibles variations de pression. Dans un prochain chapitre nous calculerons la pression
au sein d’un gaz en tenant compte des variations de la masse volumique dues aux variations de
pression.)
Dans un liquide, la variation de pression pour une dénivellation de 1 m est d’environ 104 Pa
(mille fois plus grande que dans un gaz), soit le dixième de la pression atmosphérique. A titre de
comparaison si la pression atmosphérique passait de 1013 hPa à 1104 hPa, elle aurait varié d’un
dixième de sa valeur ; on ne voit jamais cela dans les bulletins météo. Cette variation est donc
importante.
Quand les plongeurs atteignent environ 100 mètres sous la surface, la pression est alors :
p
gz
p0
3
p 10 .10.100 105 Pa
p 106 Pa
3
1,293 kg.m-3 dans les conditions normales de température et de pression : 0°C et 1,01325.105 Pa.
Chapitre II : Variables d’état
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Les sous-marins expérimentaux d’exploration océanique atteignent plusieurs milliers de mètres
de profondeur. Les plaines abyssales sont à environ 5000 mètres de profondeur. La pression est
alors :
p
gz P0
p 103.10.5000 105 Pa
p
5.107 Pa
d) Application 2 : Mesure des pressions par une dénivellation
L’expression de la pression dans un fluide parfait incompressible soumis au champ de pesanteur
uniforme est utilisée pour mesurer les différences de pression. On utilise un tube en U rempli
partiellement de liquide, eau colorée ou mercure. Ce dispositif s’appelle un manomètre { eau ou
à mercure.
z
B
gaz
A
h
Figure 7 : manomètre à eau colorée, mesure d’une différence de pression
Dans l’expérience ci-dessus, on mesure la différence de pression pA – pB = 2 cm d’eau. Montrons
ce que cela veut dire.
La pression en A est celle du gaz car nous venons de montrer que dans les récipients usuels la
pression au sein d’un gaz est uniforme. La pression en B est égale à la pression atmosphérique
locale.
La dénivellation h entre A et B est la distance entre les deux plans horizontaux contenant ces
points. Nous avons montré qu’au sein d’un fluide parfait en équilibre la pression est uniforme
dans chaque plan horizontal. Donc la différence de pression entre A et B est :
pA
pB
g zA
zB
gh
Chapitre II : Variables d’état
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La différence de pression est donc proportionnelle à la dénivellation. Ce qui permet de mesurer
la différence de pression en hauteur d’eau.
Si on avait utilisé du mercure, on aurait donné la différence de pression en hauteur de mercure.
La masse volumique de l’eau est 103 kg.m-3, celle du mercure 13,6.103 kg.m-3. La hauteur obtenue
aurait donc été 13,6 fois plus petite :
eau
gheau
Hg
eau
hHg
ghHg
heau
13, 6
heau
Hg
e) Application 3 : la pression atmosphérique
z
B
B
h
A
Figure 8 : expérience de Torricelli, mise en évidence de la pression atmosphérique 1644
L’expérience de Torricelli, réalisée pour la première fois en 1644, permet de mettre en évidence
et de mesurer la pression atmosphérique. Avec du mercure on remplit complètement un tube en
verre, fermé { une extrémité, ouvert { l’autre, et d’environ un mètre de longueur. On le ferme
soigneusement puis on le retourne sur une cuve { mercure. On l’ouvre alors sous le mercure. On
constate que le tube se vide partiellement mais pas complètement. La dénivellation entre le
mercure dans le tube et dans la cuve se maintient grâce à la pression atmosphérique qui presse
autant sur la surface de la cuve que le mercure du tube. La hauteur de la colonne de mercure
mesure la pression atmosphérique. On trouve P0 = 76 cm de mercure.
pA
pB
P0 0
P0
g zA
zB
gh
gh 13,6.103.9,8.0,76 Pa = 1,013.105 Pa
Pour faire cette expérience avec de l’eau il faudrait un tube 13,6 fois plus haut, ce qui fait environ
10 m de hauteur.
Chapitre II : Variables d’état
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La pression atmosphérique varie au cours du temps et d’un lieu { l’autre. On a défini la pression
atmosphérique normale, une atmosphère 1 atm = 760 mm Hg = 101325 Pa.
f) Poursuite des exemples
Les dimensions de l’aquarium sont L = 1 m, l = 50 cm, h = 40 cm. La masse volumique de l’eau est
µ = 103 kg.m-3 et on prendra g = 10 N.kg-1.
Exemple 1
Nous avons montré au paragraphe C.4.c que la pression atmosphérique P0 est pratiquement
uniforme dans la pièce où se trouve l’aquarium. Donc la pression atmosphérique P0 s’exerce
uniformément { l’extérieur de l’aquarium. Et aussi { l’intérieur car elle est transmise par l’eau.
Au total les forces exercées par l’atmosphère se compensent. Donc seule la pression exercée par
l’eau elle-même nous intéresse.
L’expression de la pression est p(z) = -µgz + P0. Au fond de l’aquarium la pression vaut
p(-h) = µgh + P0 et l’eau exerce une force pressante orientée ver le bas. Et la pression de
l’atmosphère vaut P0 et l’air exerce une force pressante orientée ver le haut. Donc la force
pressante totale subie par le fond de l’aquarium vaut :
F
p P0 S
ghLl
F 103.10.0, 4.1.0,5 N
gV
mg
2.103 N
Nous constatons qu’elle est égale au poids de l’eau contenue dans l’aquarium. Mais un aquarium
dont le fond aurait les mêmes dimensions et qui aurait une forme de pyramide tronquée de
même hauteur produirait la même pression et la même force pressante tandis que le poids de
l’eau serait moindre. Et on pourrait donner à cet aquarium une forme quelconque, en conservant
la même hauteur d’eau et la même surface de base, la force pressante resterait la même. Les
« mystères » de l’hydrostatique !
z
O
l
y
L
x
-h
Figure 9 : même hauteur, même pression, même surface de base, même force pressante qu’avec l’aquarium
Chapitre II : Variables d’état
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Exemple 2
L’expression de la pression est p(z) = -µgz + P0 donc A = - µg et B = P0. Donc la force calculée au
C.2.c vaut :
F
L
1 2
Ah
2
Bh j
L
1
gh 2
2
P0 h j
1
gh 2 L j P0 hL j
2
L’eau exerce sur le côté de l’aquarium une force pressante orientée vers l’extérieur de
l’aquarium. Tandis que l’atmosphère exerce une force pressante orientée vers l’intérieur de
valeur P0 hL. Donc la force pressante totale subie par ce côté est :
F
1
gh 2 L j
2
1
gh 2 L
2
0,5.103.10.0, 42.1N
800 N
Ce petit aquarium doit donc résister à une force déjà importante, égale approximativement au
poids d’un objet de masse 80 kg. Et pensez aux aquariums que l’on visite dans les musées
océanographiques !
Dans ce chapitre nous avons approfondi la notion de variable d’état. La description classique d’un
système thermodynamique se fait à l’aide d’un nombre restreint de grandeurs physiques, les
variables d’état, comme la masse ou le volume.
La température, grandeur qui caractérise l’équilibre thermique, est l’une de ces variables d’état ;
décrire le fonctionnement et la réalisation des thermomètres nous a permis de mieux la connaître.
La pression, grandeur s’appliquant à de nombreux systèmes, en est une autre ; son étude nous a
conduits de sa définition à la poussée d’Archimède, puis à la loi fondamentale de l’hydrostatique et
à ses applications.
Nous allons maintenant étudier les gaz, car ils sont un des systèmes thermodynamiques les plus
simples, en commençant par leur équation d’état qui relie leurs variables d’état : pression, volume
et température.