2 Quadrilatères

33
2Quadrilatères
Cedeuxièmechapitre4degéométrieplaneseraconsacréàl’étudedesquadrilatèresd’unpointdevue
théoriqueetd’unpointdevuedidactique,parl’intermédiaired’extraitsdemanuels,manuelsapprouvés
parleMinistèreoudisponiblesenlibrairie.
Danscechapitre,ànouveau,lespropriétésétudiéesnerelèventpastoutesdel’écoleprimaire;certaines
sontauprogrammedupremiercycledusecondaire.C’estdansuneperspectived’arrimageentrelesdif‐
férentsordresd’enseignementquenouslesprésentons.
2.1Rappelsthéoriques
2.1.1Polygones
Étymologiquement,lemot«polygone»vientdugrec«polus»quisignifie«nombreux»,et«gônia» qui
signifie«angle».
Unpolygoneestunefiguregéométriquefermée,forméeparunelignebriséefermée,c’est‐à‐direune
suitedesegmentsayantdesextrémitéscommunes.
Lessegmentss’appellentlescôtésdupolygone.Lesextrémitésdessegmentssontlessommetsdupolygone.
Danslafigureci‐dessus,lepolygones’appelle,ouou…(L’importantestdedonnerle
nomdessommetsdansl’ordreoùonlesrencontrequandonsuitlecontourdupolygone.)
Lespointsetsontlesextrémitésd’uncôtédupolygone.Cesontaussideuxsommetsconsécutifs.
Lessommetsetnesontpasconsécutifs;cesontdessommetsopposésetlesegment
estune
diagonaledupolygone. 
4Àpartirdecechapitre,pourneplussurchargerlesfigures,seulslespointsquinesontpasdessommetsdefiguresserontrepéréspar
descroix.
V
G
U
T
S
A

2 Lagéométrieàl’écoleprimaire
34
Polygonesconvexesetnonconvexes
Unpolygoneestconvexequandtoussesanglessontdesanglessaillants.Touteslesdiagonalessontalors
àl’intérieurdupolygone.
Unpolygonen’estpasconvexequandaumoinsl’undesanglesintérieursdecepolygoneestunangle
rentrant.Danscecas,ilyaaumoinsunediagonaleàl’extérieurdupolygone.
Polygoneconvexe Polygonenonconvexe
Touslesanglessontdesanglessaillants:ilsmesu‐
renttousmoinsde180°.
Les angles etsontdesanglesren‐
trants:ilsmesurentplusde180°.
Lesdiagonales , , , et sontàl’in‐
térieurdupolygone.
Les diagonales  et  sont à l’extérieur du
polygone.
Nomdespolygones
Lenomdesdifférentspolygonesdépendexclusivementdunombredeleurscôtés,peuimportequ’ils
soientconvexesounon.
Trèssouvent,danslesmanuels,lespolygonesreprésentéssontdespolygonesréguliers,enpositionpro‐
totypique(lescôtéssontparallèlesauxbordsdelapage). Pardéfinition,unpolygonerégulierestun
polygonedonttouslescôtéssontisométriques(ontlamêmelongueur),ettouslesanglesintérieurssont
isométriques(ontlamêmemesure). 
A
B
C
D
E
114°
105°
81°
139°
101°
F
G
H
I
J
K
24°
17°
269°
304°
77°
28°

Quadrilatères 2
35
Nomdu
polygone
Nombre
decôtés
Exemplesde
polygones
Exemplesde
polygonesréguliers
Triangle 3
Quadrilatère 4
Pentagone 5
Hexagone 6
Heptagone 7
Octogone 8
Ennéagone 9
Décagone 10
Dodécagone 12

2 Lagéométrieàl’écoleprimaire
36
2.1.2Quadrilatères
Vocabulaire
Dansunquadrilatère,lessommetsetsontdeuxsommetsconsécutifs:ilssontaussilesextré‐
mitésd’uncôtéduquadrilatère.Lessommetsetsontdeuxsommetsopposés:ilsnesontpasles
extrémitésd’unmêmecôtéduquadrilatère(voir«diagonale»).
Quadrilatèreconvexe
Quadrilatèrenonconvexe
Lescôtés
et sontdeuxcôtésconsécutifs(ouadjacents):lesommetestuneextrémitécommune
auxdeuxcôtés.Lescôtés
et sontdescôtésopposés:ilsn’ontpasd’extrémitécommune.Les
segments
et sontlesdeuxdiagonalesduquadrilatère:leursextrémitéssontdeuxsommets
opposésduquadrilatère.Onremarqueraque,danslecasduquadrilatèrenonconvexe,l’unedesdiago‐
nales(ici
)estàl’extérieurduquadrilatère.
Lesanglesetsontdesanglesconsécutifs:leurssommetssontlesextrémitésd’unmême
côtéduquadrilatère.Lesanglesetsontdesanglesopposés:leurssommetssontlesextré‐
mitésd’unediagonaleduquadrilatère.
Sommedesanglesd’unquadrilatère
Lasommedesanglesd’untriangleestégaleà180°.Or,toutquadrilatèrepeutêtredécoupéendeux
trianglesadjacents.Donc,lasommedesanglesd’unquadrilatèreestde360°. 
F
T
P
G
F
T
P
G

Quadrilatères 2
37
Cettepropriétéestvraiepourtouslesquadrilatères,qu’ilssoientconvexesounon.
m m m 65°69°46°180°
m 36°84°60°180°
m m m 69°46°60°84°36°65°180°180°360°
Classificationdesquadrilatères
Commelestriangles,lesquadrilatèressontdesfigurestrèsimportantesengéométrie.Ilsportentdes
nomsdifférentsselonqu’ilspossèdent(ounon)lescaractéristiquessuivantes:
 Lescôtésopposéssontparallèles;
 Lescôtéssontisométriques;
 Lesanglesopposéssontisométriques;
 Certainsanglessontdesanglesdroits;
 Ilexisteunoudesaxesdesymétrie(ouaucun);
 Lesdiagonalessontisométriques;
 Lesdiagonalesontlemêmemilieu;
 Lesdiagonalessontperpendiculaires.
Onpeutalorsobteniruneclassificationdesquadrilatèresselonqu’ilspossèdent(ounon)l’uneoul’autre
ouplusieursdescaractéristiquesci‐dessus.
Ausecondaire,lesélèvesdémontrentquecertainesdecescaractéristiquessontliéeslesunesauxautres.
Parexemple, sidansun quadrilatèrelesdiagonales ont lemêmemilieu,alorslescôtésopposéssont
parallèlesetsontisométriquesdeuxàdeux,lesanglesopposéssontisométriques:c’estunparallélo‐
gramme!
Danscemanuel,nousnouslimiteronsàunrappeldecescaractéristiquesetdesquadrilatèresquiles
possèdent.
Danslesclassificationsquisuivent,nousdonnonslesnomsdesquadrilatèresquiontaumoinslacaracté‐
ristiqueenvisagée(conditionminimaled’existence).Quandlequadrilatèren’apasdenomparticulier,la
caserestevide. 
A
B
C
D
69°
65°
46°
36°
84°
60°