Optique Appliquée - Université Paris-Sud
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UNIVERSITÉ PARIS SUD L3 PAPP Optique Appliquée Travaux Dirigés Interférences, polarisation 2014 - 2015 2 Table des matières 1 Interférences 1.1 Le vélocimètre laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mesure interférométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Interférences à N ondes sphériques . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Interférences à deux sources . . . . . . . . . . . 1.3.2 Interférences à N sources régulièrement espacées 1.3.3 Relation de Bragg (démonstration simplifiée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 5 5 2 Notion de cohérence 2.1 Exercices d’application sur la cohérence temporelle . . . . . . . 2.2 Interférences avec une source étendue. Localisation des franges . 2.3 Interférométrie à longue base en astronomie . . . . . . . . . . . 2.4 Principe de la tomographie par coherence optique (OCT) . . . . 2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 utilisation d’une source polychromatique . . . . . . . . 2.4.3 Principe de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Contrôle du spectre de la source (Spectroscopie TF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 11 12 13 13 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Interféromètres 15 3.1 Traitement antireflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Montage de Fizeau. Mesure de la forme d’une optique . . . . . . . . . . . 15 3.3 Miroir de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Polarisation 4.1 Polarisation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Loi de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Interférences en lumière polarisée . . . . . 4.2 Mesure d’un champ magnétique intense . . . . . . 4.3 Milieu birefringent, spectre cannelé . . . . . . . . 4.4 Cellule de Pockels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Principe de Fonctionnement . . . . . . . . 4.4.2 Fonctionnement en modulateur d’intensité . 4.4.3 Fonctionnement en porte optique . . . . . . 4.5 Isolateur de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 21 21 21 23 23 23 24 24 25 ii TABLE DES MATIÈRES Chapitre 1 Interférences Dans ce premier TD, nous supposerons que les ondes lumineuses ont toutes la même fréquence et ont des phases stables dans le temps (c’est à dire qu’il n’y a pas de problème de cohérence). Une telle situation peut être approchée en utilisant de la lumière issue d’un LASER. Nous reviendrons sur cette approximation dans le TD 2. Par ailleurs, dans certains exercices, nous ferons intervenir des particules suffisamment petites pour diffuser la lumière. Eclairées par une onde lumineuse incidente, elles réémettent une fraction de la puissance lumineuse incidente dans toutes les directions. Loin de la particule, le champ réémis sera assimilé à celui d’une onde sphérique avec une amplitude complexe proportionnelle à l’amplitude de l’onde incidente. Nous aurons l’occasion de revenir sur cette situation dans le cours sur la diffraction. 1.1 Le vélocimètre laser On souhaite mesurer la vitesse locale d’un fluide qui s’écoule dans un tuyau transparent. On ensemence l’écoulement avec des petites particules capables de diffuser la lumière (bulles, poussières...). Ces dernières sont emportées par l’écoulement et on pourra assimiler leur vitesse à celle du fluide. Afin de mesurer cette vitesse, on éclaire un point de l’écoulement à l’aide du dispositif représenté dans la figure 1. Figure 1.1 – Principe du vélocimètre 1 CHAPITRE 1. INTERFÉRENCES 2 La puissance de la lumière diffusée par la particule est proportionnelle à l’intensité lumineuse locale incidente. Les ondes 1 et 2 seront assimilées à des ondes planes au niveau du point de croisement O. Elles ont la même fréquence ν et leurs intensités égales (notée I0 ). 1. Rappeler la forme générale de l’amplitude complexe S d’une onde plane. 2. Ecrire les composantes des vecteurs d’onde k1 et k2 des ondes 1 et 2. 3. Donner les amplitudes S 1 et S 2 des ondes 1 et 2 en fonction des coordonnées x,y,z. 4. En déduire l’intensité totale I(x, y, z) en un point M(x,y,z) proche du point de croisement. Montrer que I est invariante dans la direction y et sinusoidale dans la direction x. 5. En déduire la période spatiale i de l’intensité, aussi appelée interfrange. Supposons qu’une particule passe à travers le champ d’interférence avec une vitesse uniforme v. Notons v// la composante de cette vitesse dans la direction de modulation de l’intensité. 6. Quelle est la période T du signal lumineux enregistré par le détecteur ? Expliquer le principe de la mesure de vitesse et montrer qu’il n’est pas possible d’en déduire le sens de l’écoulement. Pour lever cette ambiguïté, on utilise la méthode suivante. On place sur le trajet de l’onde 1 un dispositif optoélectronique composé d’un matériau transparent de longueur L. Soumis à une tension V(t), l’indice de réfraction de ce matériau varie linéairement avec celle-ci : n(t) = n0 + aV(t). 7. Calculer le déphasage supplémentaire qu’apporte ce matériau à l’onde 1 en fonction de la tension V. Quel est l’effet de la tension V sur la structure de I(x, y, z) ? 8. Quelle forme temporelle faut-il donner à V(t) pour obtenir des franges d’interférences se déplaçant à une vitesse constante Vd dans la direction x > 0, puis dans la direction x < 0 ? 9. Si la particule se déplace suivant x > 0, comment évolue la période T du signal mesuré en fonction de t ? 1.2 Mesure interférométrique On considère le dispositif expérimental suivant. Deux fibres optiques sont éclairées par la même source lumineuse supposée ponctuelle et monochromatique (longueur d’onde λ). Initialement, les deux fibres ont la même longueur L et le même indice de réfraction n. Les sorties S 1 et S 2 des deux fibres sont placées à une distance D d’un écran (caméra) d’observation. La distance entre les deux sorties est a. On assimile le champ émis par chaque fibre par une onde sphérique. La phase initiale φ1 (ou φ2 ) de ces ondes sphériques dépend du déphasage introduit par la propagation de l’onde source dans la fibre. 1.3. INTERFÉRENCES À N ONDES SPHÉRIQUES 3 Figure 1.2 – Schéma de l’interféromètre On suppose que les coordonnées des sorties des fibres sont S 1 (a/2, 0, 0) et S 2 (−a/2, 0, 0). On considère un point de l’écran M(x, y, D). L’intensité lumineuse en ce point sera I(x, y). On suppose que a,x et y«D. 1. Calculer la différence de marche δ12 entre les ondes émises par S 1 et S 2 au point M. En déduire la différence de phase ∆φ12 . 2. En utilisant les approximations de l’introduction et en faisant intervenir un développement limité à l’ordre 1, donner une forme simplifiée à δ12 puis ∆φ12 . 3. Calculer l’amplitude totale puis l’intensité totale I(x, y) résultant de la superposition des deux ondes en M. 4. A quoi ressemble la figure d’interférence ? où sont les maximas d’intensité ? La fibre numéro 2 est soumise progressivement à une contrainte mécanique qui modifie sa longueur et son indice de réfraction. Le changement de chemin optique est noté ∆δ. La différence de phase initiale entre S 1 et S 2 est alors φ2 − φ1 = 2π∆δ/λ. 5. Montrer que sous l’effet de ce changement la figure d’interférence est simplement translatée. 6. Supposons que ∆δ soit petit devant λ. Est-il possible de déterminer sa valeur et son signe en comparant uniquement l’interférogramme final et l’interférogramme initial ? 7. Même question si ∆δ >> λ. 1.3 Interférences à N ondes sphériques On considère un ensemble de N sources ponctuelles S 1 , S 2 ...S N émettant des ondes sphériques ayant la même amplitude A0 et la même phase φ initiale. Ces sources sont CHAPITRE 1. INTERFÉRENCES 4 réparties le long de l’axe (0x) comme indiqué sur la Figure 2. On notera leurs coordonnées S i (xi , yi ). On observe la figure d’interférence sur un écran perpendiculaire à l’axe (Oz) et placé à la distance D du plan des sources. On note M(X, Y) un point de l’écran. On fera l’hypothèse que D >> S i S j et D >> X, Y. Figure 1.3 – Interférences à N sources 1.3.1 Interférences à deux sources On considère uniquement deux sources S n+1 et S n . On note xn+1 = na et xn = (n − 1)a. On suppose que y1 = y2 = 0. 1. Calculer la différence de marche δn entre les ondes émises par S n+1 et S n au niveau du point M(x, y) en fonction de D, X, Y, n et a. En faire un développement limité à l’ordre 1. La différence de marche δn dépend-elle de Y ? 2. En déduire le déphasage ∆φn entre les ondes S n+1 et S n au niveau du point M(x, y). Montrer que ce déphasage est la somme de deux termes : un terme qui dépend linéairement de X et a, et un terme que ne dépend que de la position des sources par rapport à l’axe optique et de D. On suppose que les sources sont vraiment très proches de l’axe (Oz) et que D est très grand. En optique, ceci se traduit par l’approximation suivante : N 2 a2 /λD << 1 (Approximation de Fraunhofer). 3. Que devient le second terme du déphasage ? Si Y=0, le point M peut être repéré par l’angle θ (voir figure 2). 1.3. INTERFÉRENCES À N ONDES SPHÉRIQUES 5 4. Exprimer δn en fonction de l’angle θ (on supposera que θ est petit). Ce résultat dépend-il de la distance D ? 5. Déterminer l’amplitude totale S tot du champ lumineux en M. 6. En déduire l’intensité lumineuse Itot en M. 1.3.2 Interférences à N sources régulièrement espacées On considère maintenant le champ lumineux généré en M par les N sources régulièrement espacées. On a a = S n S n−1 . On se placera encore dans le cadre des approximations faites dans la partie précédente. 1. Soit An l’amplitude de l’onde émise par S n en M(θ). Relier An à An−1 puis à A1 . 2. En déduire l’amplitude totale Atot du champ en M(θ) en fonction de A1 et φ = 2πaθ λD . 3. Montrer que l’intensité se met sous la forme suivante : I(θ) = I0 sin2 (Nφ/2) sin2 (φ/2) (1.1) où I0 est l’intensité générée en M par une seule des sources. 4. Déterminer le(s) angle(s) donnant un maximum d’intensité, ainsi que l’intensité maximale correspondante. 5. Quel est alors le déphasage entre les champs émis par deux sources consécutives au niveau de M ? 1.3.3 Relation de Bragg (démonstration simplifiée) Il est possible de déterminer la structure d’un cristal en étudiant la manière dont il diffracte un faiceau incident de rayons X. Lorsqu’un atome est éclairé par une onde X, il diffuse celle-ci dans toutes les directions. Le champ ainsi diffusé est modélisé par une onde sphérique centrée sur l’atome et dont l’amplitude et la phase initiale sont celles de l’onde incidente au niveau de l’atome, l’amplitude étant proportionnelle à celle du champ incident. Supposons que les atomes du cristal soient répartis régulièrement suivant deux directions de l’espace formant un angle β (Figure 3) entre elles. Le cristal est éclairé par une onde plane monochromatique (longueur d’onde λ). Nous observons le rayonnement diffusé en un point M situé très loin du cristal, dans la direction θ′ . Nous allons chercher des directions de diffusion pour lesquelles TOUS les atomes rayonnent des ondes qui interféreront constructivement à l’infini. Intéressons-nous dans un premier temps aux atomes d’une même ligne horizontale. 1. Calculer la différence de marche en M(θ′ ) entre les ondes émises par deux sources ponctuelles placées en A et B. En déduire leur déphasage. 2. Les ondes émises par A et B ont par ailleurs des phases initiales φA et φB . Calculer la différence de phase totale entre les ondes A et B au point d’observation M(θ′ ). 6 CHAPITRE 1. INTERFÉRENCES Figure 1.4 – Diffraction de rayons X par un cristal Les ondes émises par A et B résultent de la diffusion de l’onde incidente par les atomes A et B. Ceci se traduit par le fait que les phases initiales φB et φA sont égales à la phase de l’onde incidente au niveau des atomes B et A. 3. Calculer la différence de marche puis la différence de phase de l’onde incidente entre les points B et A. 4. Montrer qu’il peut y avoir interférences constructives entre A et B et, par extension, entre toutes les ondes émises par les atomes de la ligne horizontale si θ = θ′ (Remarque : ce n’est pas la seule possibilité). Cherchons à présent une condition pour que tous les atomes de toutes les lignes parallèles à (Ox) émettent des ondes interférant constructivement à l’infini dans une direction θ′ . Il s’agit d’une condition qui s’ajoute à la précédente : il faut que les ondes émises par deux lignes consécutives soient déphasées d’un multiple entier de 2π. 5. En vous inspirant des raisonnements précédents, calculer le déphasage total entre les ondes diffusées par les atomes A et C, au point M situé dans la direction θ′ = θ. 6. En déduire que la condition pour obtenir un signal intense dans la direction θ′ = θ est : 2dsin(θ) = pλ (1.2) où d est la distance entre deux lignes (distance interréticulaire) et p un entier. Il s’agit de la relation de Bragg. Chapitre 2 Notion de cohérence 2.1 Exercices d’application sur la cohérence temporelle On observe sur un écran les franges d’interférence produites par un dispositif de type "trous d’Young" éclairé par une source ponctuelle. La distance entre les trous est notée a, la distance entre le diaphragme des trous et l’écran est notée D. 1. Rappeler rapidement les propriétés de la figure d’interférence si la source est monochromatique (une seule fréquence). En réalité la source émet à deux fréquences ν1 et ν2 avec des puissances équivalentes. 2. La source est un laser doublé en fréquence. La lumière émise est telle que ν2 = 2ν1 . Décrire qualitativement l’interférogramme observé à l’écran. 3. La source est maintenant une lampe à sodium suivie d’un filtre selectionnant le doublet jaune du sodium. On a alors ν2 = ν1 + ∆ν avec ∆ν petit. Pour quelle(s) différence(s) de marche obtient-on un brouillage des franges ? La source a cette fois un spectre large continu : elle émet avec une puissance uniforme entre ν1 et ν1 + ∆ν (∆ν grand). On perce un petit trou au centre de l’écran d’observation. la lumière passant par ce trou est envoyée dans un spectromètre qui donne l’intensité lumineuse I(ν) en fonction de la fréquence ν. 4. Donner l’allure de I(ν). Pour quelle(s) valeur(s) de ν obtient-on une intensité minimale ? L’holographie est une technique interférométrique faisant intervenir de grandes différences de marche (plusieurs centimètres) entre les ondes qui interfèrent. On dispose au laboratoire des sources listées dans le tableau ci-dessous. 5. Donner un ordre de grandeur de la longueur de cohérence de ces sources. Quelle est la plus pertinente pour réaliser l’expérience d’holographie ? Source Laser Helium-Neon Raie du mercure (ampoule basse pression) Raie du mercure (ampoule haute pression) longueur d’onde (nm) 632.8 546 546 7 largeur spectrale 1400 MHz 3 GHz 50 GHZ 8 CHAPITRE 2. NOTION DE COHÉRENCE 2.2 Interférences avec une source étendue. Localisation des franges Une source lumineuse monochromatique S est placée au dessus d’un miroir plan horizontal (Figure 1). La distance de la source au miroir est notée h. Un écran perpendiculaire au miroir est placé à une distance z de la source. Figure 2.1 – On suppose tout d’abord que la source est suffisamment petite pour être considérée comme ponctuelle. 1. Montrer que cette expérience est équivalente à une expérience d’interférence entre deux sources ponctuelles S et S ′ mutuellement cohérentes. Où se situe S ′ ? 2. Déterminer l’intensité en chaque point M(x,y) de l’écran. Comment évolue l’interfrange lorsque h augmente ? 3. Quel est le contraste C de la figure d’interférence ? On suppose à présent que la source est étendue dans la direction (Ox) : c’est un trait de lumière situé entre h0 − ∆h/2 et h0 + ∆h/2. On suppose par ailleurs que cette source est spatialement incohérente. On se propose de déterminer l’intensité I(x,y) en tout point de l’écran et d’en déduire le contraste des franges. 1. Décomposer la source en une superposition de sources infinitésimales de longueur dh et déterminer l’intensité dI(x, y) produite sur l’écran par l’une de ces sources. 2. En déduire l’intensité totale I(x, y) sur l’écran. Justifier. 3. Montrer que I(x, y) peut être mise sous la forme I(x, y) = 2Itot (1 + C(x, y)cos(mx)), où m = 2πh0 /(λz). 2.3. INTERFÉROMÉTRIE À LONGUE BASE EN ASTRONOMIE 9 4. Pour une position z donnée tracer le contraste en fonction de x. Pour quelle valeur x0 s’annule t-il une première fois ? Comment évolue x0 avec z ? 2.3 Interférométrie à longue base en astronomie Le diamètre apparent est l’angle sous lequel on voit un objet étendu situé à l’infini. Dans les meilleures conditions d’observation (pas de turbulence atmosphérique), le diamètre apparent du plus petit détail que l’on puisse observer avec un télescope est de l’ordre de αmin ∼ λ/D où D est le diamètre du télescope (ceci sera démontré dans le cours sur la diffraction !). Plus le diamètre D est grand, plus on pourra discerner des détails fins. La taille du miroir du télescope est cependant limitée par la technologie. L’interférométrie à longue base permet de contourner ce problème. L’idée consiste à utiliser un ensemble de "petits" télescopes éloignés les uns des autres pour synthétiser un "super-télescope" de très grand diamètre. Supposons pour simplifier que l’objet observé soit constitué de sources ponctuelles monochromatiques à l’infini (étoile double) nommées S et S’. La Terre reçoit en provenance de celles -ci deux ondes planes dont les directions forment un petit angle α entre elles. Question préliminaire : ces deux ondes sont-elles mutuellement cohérentes ? On considère le dispositif ci-dessous. Il est purement académique mais permettra de comprendre le principe de la méthode. Les miroirs M1 et M2 modélisent deux "petits" télescopes mobiles (sur rails). Ils sont séparés par la distance L. Ils collectent la lumière provenant de l’objet et la renvoie sur les trous d’Young identiques O1 et O2 respectivement. Les trous d’Young O1 et O2 diffractent la lumière incidente dans toutes les directions. On note M(x, y) un point sur l’écran d’observation situé à la distance D des trous. L’amplitude émise par chacun des trous est proportionnelle à l’amplitude de l’onde incidente, c’est à dire l’amplitude de l’onde collectée par les miroirs M1 ou M2. On suppose que les angles sont faibles et que D»a,x,y. On suppose de plus, que l’axe du dispositif pointe vers la source S. On s’intéresse dans un premier temps au rayonnement émis par la source S seule. 1. Déterminer la différence de marche entre les rayons O1 M et O2 M. 2. Que peut-on dire de la phase initiale des sources O1 et O2 ? 3. En déduire la répartition de l’intensité lumineuse I(x) sur l’écran. On considère à présent uniquement l’onde provenant de S’. Elle arrive sur le dispositif avec un angle α. 1. Calculer le déphasage entre les sources O1 et O2 en fonction de α, L et λ. 2. En déduire l’intensité I ′ (x) dans le plan de l’écran. Considérons à présent les deux sources S et S’ simultanément. 3. Que peut-on dire de l’intensité totale Itot (x) sur l’écran ? 4. A quelle condition sur L les franges se brouillent-elles ? 10 CHAPITRE 2. NOTION DE COHÉRENCE Figure 2.2 – Figure 2.3 – 2.4. PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE PAR COHERENCE OPTIQUE (OCT) 11 5. Si Lmax est la distance maximum que les miroirs peuvent effectuer, Quel est le plus petit angle αmin qui conduit à un brouillage des franges observable ? Comparer cet angle au plus petit angle que l’on peut discerner avec un miroir de diamètre Lmax . Généralisation. L’objet que l’on observe est maintenant un objet complexe (disque stellaire...) émettant sur une plage continue et étroite d’angles α avec une répartition angulaire d’intensité I0 (α) centrée sur α = 0. Supposons que l’on place un détecteur au niveau de l’écran de telle sorte que O1 M = O2 M. On va enregistrer l’intensité en ce point lorsque l’on augmente progressivement L. On pose τ = L/c. 1. Calculer l’intensité sur le détecteur produite par les ondes émises entre α et α + dα (l’intensité incidente est dI = I0 (α)dα). 2. En déduire l’intensité totale sur le détecteur Itot (L). 3. Etablir une relation entre Itot (L) et la transformée de Fourier de I0 (α). 4. A une constante près, la fonction Itot (L) est un sinus cardinal modulé par une sinusoïde. Quelle était la forme de I0 (α) ? 2.4 Principe de la tomographie par coherence optique (OCT) La tomographie par cohérence optique (ou Optical Coherence Tomography, OCT en anglais) est une technique non invasive permettant d’identifier et de mesurer l’épaisseur des différentes couches constituant un tissus vivant comme la peau ou la rétine. Cette méthode est employée entre autre pour diagnostiquer la dégénérescence maculaire. Cet exercice a pour but d’en comprendre les grandes lignes. Une source ponctuelle est placée au foyer d’une lentille de focale f’. Si l’on néglige les effets de diffraction celle-ci transforme l’onde sphérique en une onde plane se propageant suivant l’axe optique. L’onde plane est ensuite séparée en amplitude par une lame semiréfléchissante. La moitié de l’intensité tranverse la lame l’autre moitié est réfléchie. La partie transmise arrive en incidence normale sur un miroir M et s’y réfléchit. Cette onde sera nommée "onde de référence". L’autre moitié de l’intensité est réfléchie par la lame et se dirige vers un échantillon à étudier. Celui-ci se compose de deux couches de matériaux 1 et 2 formant deux dioptres plans séparés d’une épaisseur e que l’on souhaite déterminer. L’onde arrive en incidence normale sur ces dioptres. Une fraction de l’amplitude incidente est réfléchie par chaque dioptre. Les ondes réfléchies par les dioptres et l’onde réfléchie par le miroir M émergent de la lame semi-réfléchissante avec la même direction et sont ensuite concentrées sur un détecteur ponctuel par une lentille convergente. On note : – r1 ,t1 et r2 ,t2 les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude sur le premier et deuxième dioptre. – φ1 et φ2 les déphasages introduits par les réflexions sur le premier et deuxième dioptre. – n1 et n2 les indices de refraction des milieux 1 et 2. CHAPITRE 2. NOTION DE COHÉRENCE 12 Figure 2.4 – Principe de l’OCT – L la distance initiale entre la lame séparatrice et le miroir M. On pose δL = L − d. Le miroir M est monté sur un dispositif de translation motorisé, L peut être changée et balayée automatiquement. – On note A0 et I0 l’amplitude et l’intensité de l’onde émise par la source dans un plan situé avant la séparatrice, perpendiculaire à la direction de propagation 2.4.1 Introduction Nous allons supposer dans un premier temps que la source ponctuelle est monochromatique (sa fréquence est notée ν). 1. Quelle est l’effet de la lame séparatrice sur l’intensité et donc sur l’amplitude des ondes ? 2. Calculer l’amplitude complexe de l’onde de référence dans un plan juste avant la lentille L2. 3. Calculer l’amplitude complexe des ondes réfléchies par les deux dioptres dans un plan juste avant la lentille. 4. Calculer l’amplitude complexe du champ total incident sur le détecteur. Les déphasages introduits par la lentille doivent-ils être pris en compte ? 5. Calculer l’intensité I moyenne au niveau du détecteur. Montrer que cette intensité peut être mise sous la forme d’une somme de six termes : 3 termes constants et 3 termes sinusoïdaux d’interférence. On suppose que la distance δL peut être variée au cours du temps de manière uniforme. 6. Montrer que I(δL) et donc I(t) est un signal sinusoïdal à une constante près. 2.4. PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE PAR COHERENCE OPTIQUE (OCT) 2.4.2 13 utilisation d’une source polychromatique Nous allons maintenant supposer que la source ponctuelle a un spectre large. On pose dI0 = J(ω)dω où J(ω) est le spectre de la source et ω = 2πν. La fonction J(ω) est réelle et positive. Elle est définie sur l’intervalle de fréquence [0, +∞[. On peut étendre son domaine de validité en supposant que J(ω) = 0 sur l’intervalle ] − ∞, 0]. 1. Reprendre les calculs précédents pour calculer l’intensité dI correspondant à un intervalle spectral [ω, ω + dω]. 2. Calculer l’intensité I(δL) sur le détecteur intégrée sur tout le spectre. Pour alléger l’expression obtenue et préparer l’analyse du résultat, on pourra introduire les notations suivantes : K(τ) = 2Re 2.4.3 Z −iωτ ! J(ω)e dω Z I0 = J(ω)dω (2.1) τ = 2δL/c (2.3) (2.2) Principe de l’OCT e la transformée de Fourier de J. Notons J, e 1. Exprimer K(τ) en fonction de J. 2. Si le spectre de la source est large, que peut on dire de sa transformée de Fourier ? Pour fixer les idées, nous allons prendre un spectre rectangulaire, centré sur ω0 et de largeur spectrale ∆ω. 3. Expliciter K(τ), puis I(δL). 4. Comment peut-on déterminer l’épaisseur e ? Pourquoi est-il important d’utiliser une source avec un spectre large ? 2.4.4 Contrôle du spectre de la source (Spectroscopie TF) Le spectre J de la source a ici une grande importance. Cette source peut être une diode blanche, un laser Titane-Saphir...On souhaite calibrer le spectre de la source avant de procéder à une analyse d’échantillon. On remplace pour cela l’échantillon de la partie précédente par un miroir plan de réflectivité r1 = 1. 1. Montrer que l’expression de I(δL) prend la forme d’un terme constant et d’un terme proportionnel à la partie réelle de la transformée de Fourier de J. Lorsque l’on fait varier δL on constate que l’intensité sur le détecteur varie de la manière suivante : I(τ) = B + Aexp− τ2 cos(ω0 τ)τ = 2δL/c 4T 2 (2.4) 14 CHAPITRE 2. NOTION DE COHÉRENCE 2. En déduire la forme du spectre J de la source ainsi que la fréquence centrale de ce spectre. Chapitre 3 Interféromètres 3.1 Traitement antireflet Les traitements antireflets ont pour but d’éviter les pertes de flux lumineux dans les systèmes optiques composés de lentilles. La lentille est modélisée par un substrat de verre d’indice N s . Elle est environnée d’air d’indice na =1. On suppose que la courbure de la lentille est suffisamment faible pour considérer que, localement, sa surface est plane. Afin de minimiser la réflexion autour d’une longueur d’onde λ0 , et autour d’une direction d’incidence normale au dioptre, on dépose sur le substrat une fine couche de matériau d’indice N et d’épaisseur e. Notations : −N – Les coefficients de réflexion et de transmission sur les dioptres sont r1 = nnaa +N , N−n s 2N 2 r2 = N+ns , t1 = 1+N , t2 = 1+N – on rappelle que les indices de réfraction sont proches de 1. – on note I0 l’intensité d’une onde plane incidente sur la lentille en incidence quasinormale. 1. Montrer que t1 et t2 sont proches de 1. Que dire alors de r1 et r2 ? 2. Justifier que seules les ondes issues d’une seule réflexion sur le premier dioptre et sur le deuxième dioptre sont susceptibles de donner des interférences contrastées. 3. Montrer que pour maximiser l’effet d’interférence il faut que r1 = r2 . En déduire qu’idéalement il faut choisir l’indice de la couche d’antireflet de telle sorte que N = √ n s . Comparer N à n s . 4. Calculer la différence de marche entre les deux ondes pour des interférences localisées à l’infini. 5. A quelle condition a t-on interférence destructive ? 6. En déduire les différentes valeurs de e possible. 7. On souhaite pouvoir minimiser la reflexion sur une plage importante de longueur d’onde autour de λ0 . Quel est l’intérêt de choisir la plus petite valeur de e ? 3.2 Montage de Fizeau. Mesure de la forme d’une optique Le montage interférométrique de Fizeau est à la base de nombreux instruments de caractérisation d’optiques (interféromètres "Zygo"). Le schéma de ce système est représenté sur la figure ci-dessous. Nous supposerons que la source de lumière est monochromatique. La lentille L2 fait l’image d’un plan proche de la surface sur le détecteur avec un grandissement γ. 15 16 CHAPITRE 3. INTERFÉROMÈTRES Figure 3.1 – Montage de Fizeau Figure 3.2 – Montage de Fizeau 3.3. MIROIR DE BRAGG 17 On repère un point au voisinage de la surface à étudier par (O,x,y,z). O est au centre de la surface. Les directions horizontales sont x et y tandis que z est la profondeur. Le champ d’observation correspond à un carré de largeur L centré sur la surface à caractériser. La surface étudiée est tout d’abord un coin de verre d’angle α séparé de la surface de référence par une distance e au bord du champ d’observation. 1. Où sont localisées les franges d’interférence ? 2. Calculer I(x,y) l’intensité dans le plan de référence. 3. Déterminer la forme et la position des franges brillantes. Comment peut-on déterminer l’angle α à partir de l’image enregistrée par la caméra ? 4. Peut-on savoir si α est positif ou négatif ? L’interféromètre est équipé d’un dispositif permettant de translater la surface de référence précisément de λ/8. 5. Que devient l’interférogramme si α est positif ? si α est négatif ? La surface étudiée est maintenant une portion de sphère convexe, de rayon de courbure R1 . On suppose que R1 est grand devant la largeur du champ observé. 6. Quelle est la forme des franges obtenues ? 7. Montrer que la différence de marche en chaque point du plan de référence est de la forme : ρ2 = x2 + y2 ρ2 ) δ ∼ 2(e + 2R1 (3.1) 8. Comment évolue la distance entre franges brillantes loin du sommet de la sphère (vers le bord du champ d’observation) ? 9. On suppose que le détecteur est une caméra dont les pixels font 5µm de côté. Le taille du détecteur est de 5 mm (1000 pixels). Le grandissement introduit par la lentille est γ = 3. Quel est le plus petit interfrange que l’on puisse distinguer ? 10. En déduire le rayon de courbure le plus petit que l’on puisse étudier. Pour caractériser des courbures plus prononcées, on remplace la surface de référence plane par une surface sphérique concave, de rayon de courbure proche de celui de la surface à étudier. 11. Quel est l’intérêt de ce dispositif ? 3.3 Miroir de Bragg Un miroir de Bragg est un empilement périodique de couches dielectriques d’indices de réfraction différents. La réflectivité d’une seule de ces couche est de l’ordre de quelques pourcents. En revanche, l’empilement dans son ensemble peut se comporter comme un miroir ayant une excellente réflectivité pour une longueur d’onde et un angle d’incidence bien précis. Ces miroirs "interférométriques" constituent un exemple d’application des micronanotechnologies à l’optique. On utilise des miroirs de Bragg en optique intégrée (miroirs de cavité de diodes laser entièrement intégrée sur une puce), en optique guidée (miroirs de CHAPITRE 3. INTERFÉROMÈTRES 18 Bragg "inscrits" en différents points d’une fibre optique), en technologie laser ou en optique des très courtes longueurs d’onde (miroirs pour les rayons X "mous"). l’onde incidente est une onde plane arrivant en incidence normale sur le premier dioptre. Son amplitude en z = 0, juste avant le premier dioptre est S 0 et son intensité I0 . Au fur et à mesure de sa propagation elle génère à chaque dioptre une onde réfléchie. L’empilement a, comme nous le verrons, une épaisseur totale négligeable devant la longueur de cohérence de la source. En conséquence, les ondes réfléchies peuvent interférer à la sortie du miroir (z>0). Nous allons chercher la condition pour obtenir des interférences constructives pour une longueur d’onde particulière λ0 , puis, regarder ce qu’il se passe pour une autre longueur d’onde. Figure 3.3 – Miroir de Bragg On introduit les notations suivantes : – da , db et na , nb les épaisseurs et indices des couches de matériaux "a" et "b". On suppose que na > nb . – n=1,2...2N+2 le numéro du dioptre. – n0 et n3 les indices du milieu d’entrée et du substrat. On a habituellement n0 = 1, n3 = 1, 5. De plus na , nb et n3 proche. – ri j et Ri j les coefficients de réflectivité en amplitude et en intensité du dioptre séparant le milieu d’entrée i du milieu de sortie j. On note de la même manière ti j et T i j les coefficients de transmission en amplitude et en intensité de ce dioptre. On rappelle les relations suivantes pour un dioptre éclairé en incidence normale : ri j = ni − n j Ri j = ri2j T i j = ti j t ji = 1 − Ri j ni + n j (3.2) 1. Montrer que rab = −rba . 2. Montrer que les réflectivités en amplitude et en intensité de chaque dioptre sont très 3.3. MIROIR DE BRAGG 19 faibles devant 1 et que la transmission en intensité est au contraire très proche de 1. On suppose que l’onde incidente a une longueur d’onde λ0 . 3. Montrer que si na da = nb db = λ0 /4 les deux ondes réfléchies par deux dioptres consécutifs sont en phase à la sortie de l’empilement et donc également loin de celuici. 4. Que peut-on alors dire de l’ensemble des ondes réfléchies ? On suppose que l’onde a maintenant une longueur d’onde λ quelconque. 5. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le premier dioptre en fonction de r0a et S 0 . 6. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le deuxième dioptre en fonction de T 0a ,rab , k = 2π/λ, na et da . Simplifier l’expression en faisant apparaître λ0 . 7. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le troisième dioptre en fonction de T 0a , T ab , k = 2π/λ, na , da , nb , db . Simplifier l’expression en faisant apparaître λ0 . 8. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le dioptre n en fonction de n, T 0a ,T ab , k et λ0 . 9. Calculer l’amplitude totale S tot . Indication : on pourra faire apparaître la somme des premiers termes d’une suite géométrique. Supposons que le réseau de Bragg soit "inscrit" dans la masse d’une fibre optique. On a alors, n0 = n3 = na . 10. Que devient l’expression de S tot ? 11. En déduire l’amplitude totale Itot , ainsi que la reflectivité R = Itot /I0 lorsque λ = λ0 . 12. Pour quelles valeurs de λ la réflectivité est-elle maximale ? 13. On définit la bande passante ∆λ du miroir comme étant l’écart en longueur d’onde entre les deux points d’annulation de R entourant un maximum. Déterminer ∆λ. 20 CHAPITRE 3. INTERFÉROMÈTRES Chapitre 4 Polarisation 4.1 Polarisation de la lumière 4.1.1 Loi de Malus Une onde lumineuse est polarisée suivant la direction (Oy). Son intensité est I0 . Elle passe à travers un polariseur P1 dont la direction de polarisation forme un angle de 30˚ avec (Oy). 1. Que vaut l’intensité I1 en sortie du polariseur P1 ? 2. On place après P1 un deuxième polariseur P2 sur le trajet de la lumière. Sa direction de polarisation est tournée de 60˚ par rapport à (Oy). Quelle est l’intensité I2 en sortie du polariseur ? 3. Une onde circulaire gauche est envoyée sur P1 . Quelle est la polarisation après P1 ? Calculer l’intensité I1 après P1 . 4.1.2 Interférences en lumière polarisée On réalise une expérience d’interférence avec des trous d’Young. Les trous, dénommés O1 et O2 , sont placés suivant la direction (Ox) et séparés d’une distance a. La lumière incidente est monochromatique et polarisée suivant (Oy). On place une lame demi-onde sur le trou O1 . Ses lignes neutres sont orientées à 45˚ des axes (Ox) et (Oy). Elle fait tourner la polarisation de l’onde incidente de 90˚. 1. Déterminer l’amplitude et la phase des ondes émises par chacun des trous en un point M(x, y) d’un écran d’observation situé à la distance D des trous. 2. En déduire la forme du champ total en M(x,y). 3. En quels points obtient-on une lumière polarisée linéairement ? circulairement ? 4. Que vaut l’intensité totale en chaque point de l’écran ? 5. L’écran est une caméra CCD qui enregistre la répartition d’intensité dans son plan. Qu’observe t’on si l’on place un film polariseur juste avant la caméra : (i) polarisant suivant (Ox) ? (ii) suivant (Oy) ? (iii) à 45˚ de (Ox) ? 4.2 Mesure d’un champ magnétique intense Les lasers intenses actuels permettent de générer des champs magnétiques énormes pendant des durées suffisantes pour permettre des expériences de simulation d’objets astrophysiques, de physique du solide...Parmi les nombreux défis à relever dans une telle expérience, il faut pouvoir mesurer le champ magnétique produit. La méthode doit être 21 22 CHAPITRE 4. POLARISATION fiable, précise et peu coûteuse car l’expérience est pulvérisée par le laser après quelques dizaines de nanosecondes ! Un échantillon à étudier est placé au centre d’une boucle de métal reliée à un condensateur. Des impulsions laser intenses sont focalisées sur une des plaques du condensateur où elles créent une grande quantité d’électrons rapides. Une énorme impulsion de courant est alors générée dans la boucle. Pendant quelques nanosecondes l’échantillon sera soumis à un champ magnétique intense (B=1000 T !), sans être (trop) chauffé par le laser. Figure 4.1 – Expérience de génération de champ magnétique intense. Pour mesurer le champ magnétique produit, l’échantillon est placé près d’un petit cylindre de verre. Celui-ci en présence d’un champ magnétique présente une biréfringence circulaire dans la direction du champ (supposé ici orienté suivant l’axe du cylindre) : une onde qui se propage dans la direction du champ ne verra pas le même indice si elle est circulaire droite ou gauche. Cette onde "sonde" est une impulsion laser produite à l’aide d’une lame semi-réfléchissante placée sur le laser principal et qui prélève une infime fraction de l’énergie. Notons nd et ng les indices du verre pour les ondes circulaires droite et gauche. La différence entre les deux indices est proportionnelle au champ magnétique B. L’impulsion de mesure est une onde plane polarisée linéairement suivant (Ox) et qui se propage dans le milieu suivant la direction (Oz) sur une distance L. 1. Montrer que l’onde incidente est la somme de deux ondes circulaires droite et gauche. 2. Donner l’expression du champ de l’onde après propagation dans le verre sur la distance L. 3. Montrer que cette onde est linéaire et que sa direction de polarisation fait un angle α avec (Ox), proportionnel à (nd − ng )L. 4.3. MILIEU BIREFRINGENT, SPECTRE CANNELÉ 23 La mesure de champ magnétique est réalisée en utilisant un dispositif séparant en sortie la polarisation suivant (Ox) et suivant (Oy). Les intensités correspondant à ces deux composantes sont enregistrées simultanément au cours du temps (on utilise des détecteurs ultrarapides !). 4. Quel est le signal sur la voie (Oy) en l’absence de champ magnétique ? 5. A un instant donné, le signal sur la voie (Oy) est égal au signal sur la voie (Ox). Quelle est la valeur du champ magnétique à cet instant ? Données : On fait apparaître la constante de Verdet V telle que : α = V BL, avec L=0.1 mm, la longueur du verre et V = 298deg−1 T −1 m−1 pour ce matériau et la longueur d’onde de l’impulsion de sonde. 4.3 Milieu birefringent, spectre cannelé Une lame biréfringente a ces lignes neutres orientées suivant (Ox) et (Oy). L’épaisseur de la lame est notée L les indices correspondant aux lignes neutres sont notés n x et ny . Une onde plane de fréquence ν arrive sur cette lame avec une incidence normale et une direction de polarisation inclinée de 45˚ par rapport à l’axe (OX). 1. Calculer le champ à la sortie de la lame. 2. On place derrière la lame un second polariseur. Sa direction de polarisation est perpendiculaire à celle de l’onde incidente. Que vaut l’intensité en sortie de l’analyseur ? 3. Si l’onde incidente avait un spectre large (lumière blanche), à quoi ressemblerait le spectre observé en sortie du dispositif ? Pour quelles fréquences obtient-on un maximum d’intensité ? 4. Même question si l’on tourne le second polariseur de 90˚. 4.4 Cellule de Pockels 4.4.1 Principe de Fonctionnement Une cellule de Pockels est composée d’un milieu de forme parallélepipédique, transparent, biréfringent et uniaxe suivie d’un polariseur linéaire. La biréfringence est modifiée par l’application d’un champ électrique E par l’intermédiaire de deux électrodes placées sur deux faces parallèles du parallelépipède. Notons (Oz), la direction de propagation de la lumière. L’axe (OX) est l’axe optique, et constitue la première ligne neutre de la cellule (indice ne ). Par conséquent, (OY) est l’autre ligne neutre (indice no ). La différence d’indice entre l’indice ordinaire et extraordinaire est no − ne = (no − ne )ini − αE = (no − ne )ini − αV/d où d est la distance entre les deux électrodes (épaisseur de la cellule suivant (Oy) et V la différence de potentiel. L’épaisseur suivant (Oz) est notée e. Une onde plane monochromatique (longueur d’onde λ) polarisée linéairement, d’intensité I0 , se propage suivant (Oz) et traverse la cellule de Pockels. On suppose qu’elle est polarisée suivant la bissectrice de (Ox,Oy). A la sortie du milieu biréfringent, un polariseur est installé. Sa direction de polarisation est placée à 90˚ de celle de l’onde incidente. CHAPITRE 4. POLARISATION 24 Figure 4.2 – Cellule de Pockels. 1. Si V=0 quelle est l’intensité en sortie du dispositif ? Quelle épaisseur e faut-il donner à la cellule pour obtenir une extinction ? 2. Quelle est l’intensité I en sortie du dispositif en fonction de V ? Quelle tension faut-il appliquer pour obtenir une intensité égale à l’intensité incidente ? 4.4.2 Fonctionnement en modulateur d’intensité On ajoute entre la cellule étudiée plus haut et le polariseur une lame quart d’onde. Ses lignes neutres sont parallèles à celles de la cellule. Quelle est l’effet sur l’intensité en sortie ? Montrer que pour de petites variations de V, l’intensité de sortie I est une fonction affine de V. On réalise ainsi un modulateur linéaire d’intensité. 4.4.3 Fonctionnement en porte optique Les cellules de Pockels sont couramment utilisées en technologie laser pour générer et manipuler des impulsions lasers de durées inférieures à la nanoseconde. Supposons qu’un premier laser génère une impulsion lumineuse très courte (quelques centaines de picosecondes). Cette impulsion est très peu intense et on souhaite l’amplifier. On va, pour cela, faire passer cette impulsion un grand nombre de fois dans un milieu amplificateur (milieu laser). Au delà d’un certain nombre de passages, l’impulsion ne peut plus être amplifiée : le milieu à gain est saturé. L’impulsion doit alors être dirigée vers un nouveau chemin pour être utilisée. Le dispositif ci-dessous permet de réaliser cette opération avec une très grande précision. Le milieu amplificateur laser est placé entre deux miroirs M1 et M2. L’impulsion à amplifier rentre dans ce dispositif par le chemin IN. Sa polarisation est linéaire et contenue dans le plan horizontal (polarisation dite "P"). Elle se réfléchie sur un séparateur de 4.5. ISOLATEUR DE FARADAY 25 Figure 4.3 – Etage d’amplification laser (Amplificateur "régénératif"). polarisation. Celui-ci réfléchit la polarisation P mais est transparent pour la polarisation verticale (dite "S"). On place une cellule de Pockels suivie d’une lame quart d’onde λ/4. Leurs lignes neutres sont à 45˚ de la verticale. Lorsqu’aucune tension n’est appliquée, la Pockels se comporte comme une lame "λ" : le déphasage entre les deux lignes neutres est un multiple entier de 2π, elle n’a aucun effet sur la polarisation. Lorsque la tension V piege est appliquée, elle se comporte comme une lame λ/4. 1. Décrire la propagation de l’impulsion lorsque la tension appliquée à la Pockels est nulle. 2. Décrire le comportement de l’impulsion lorsque la tension appliquée à la Pockels est V piege . 3. A quel moment faut-il appliquer V piege et à quel moment faut-il l’interrompre pour que l’impulsion fasse N passages dans le milieu amplificateur laser ? 4. La distance entre les deux miroirs est de l’ordre de 1,5m. Donner un ordre de grandeur du temps de montée ou de descente de la tension pour que ces opérations de piégeage-amplification-libération s’effectuent correctement. 5. Dans ce montage, le faisceau OUT risque de revenir vers la source. Proposer un montage placé sur l’axe d’entrée-sortie, utilisant un séparateur de polarisation et une Pockels, et permettant de séparer le faisceau "IN" du faisceau "OUT" (on suppose que l’on peut appliquer la tension que l’on souhaite à la Pockels et à l’instant que l’on souhaite). 4.5 Isolateur de Faraday Dans cet exercice, nous allons étudier le principe d’un isolateur de Faraday. Il s’agit d’une sorte de diode optique qui ne laisse passer la lumière que dans une direction. Ces CHAPITRE 4. POLARISATION 26 isolateurs sont utilisés sur les dispositifs laser où des réflexions parasites peuvent renvoyer de la lumière vers la source et la perturber. Considérons une onde plane monochromatique se propageant suivant (Oz) et polarisée suivant (Ox). Elle passe au travers d’un polariseur P1 orienté suivant (Ox), puis se propage dans un milieu matériel soumis à un champ magnétique statique B orienté suivant (Oz). Sous l’effet de ce champ, le matériau acquière une biréfringence rotatoire : après propagation, la direction de polarisation de la lumière a tourné d’un angle αpar rapport à sa direction initiale avec α = Ve BL. La constante Ve est la constante de Verdet qui dépend du matériau. L est la longueur du milieu, et B est la composante du champ magnétique suivant la direction de propagation de l’onde : suivant l’orientation du champ par rapport à la direction de propagation, B peut être positif ou négatif. Figure 4.4 – Isolateur de Faraday 1. Quelle doit être la valeur du produit BL pour obtenir une rotation de 45˚ de la direction de polarisation à la sortie du milieu ? Application numérique : Ve = 3750T −1 m−1 pour ZnS. L’onde se réfléchie sur un miroir et se propage maintenant suivant (Oz) mais dans la direction des z décroissants. 2. Comment est orientée la polarisation avant le milieu rotateur ? après ? 3. La lumière peut-elle franchir le polariseur P1 ?
