Nom – Prénom : ………………………………. Partie Numérique : /12 Partie Géométrie : 4ème …… Devoir commun n°2 /12 Problèmes : /12 Qualité de rédaction : /4 NOTE : CALCULATRICE INTERDITE POUR LA PARTIE NUMERIQUE, partie à ramasser après 30 minutes 1] PARTIE NUMÉRIQUES : Durée 30 minutes !!!! a) Donner les résultats sous la forme d’une fraction simplifiée. 2pts e) Tester l’égalité pour Le membre de gauche vaut : A= Le membre de droite vaut : L’égalité est vraie pour B= pour b) Donner les résultats sous la forme d’une puissance de dix.2pts Le membre de gauche vaut : C= Le membre de droite vaut : L’égalité est fausse pour D= c) Réduire chaque expression littérale.2pts G= f) Résoudre les équations suivantes .2pts soit H= c) Développer puis réduire.2pts E= Vérification Le membre de gauche vaut : F= Le membre de droite vaut : L’égalité est vraie pour . (2pts) /20 Nom – Prénom : ………………………………. Devoir commun n°2 4ème …… Calculatrice autorisée pour la partie géométrie !!! 2] PARTIE GÉOMÉTRIE : Durée 40 minutes !!!! On considère le quadrilatère ABCD dont le schéma est donné ci-dessous : A B 70° 50° 70° f) Calculer AC sachant que AD=5,5 cm et DC environ 6,5 cm, arrondir au dixième. 2 pts Dans le triangle ADC rectangle en D d’après la théorème de Pythagore soit ≈8,51 donc AC=8,5 cm la valeur approchée au dixième g) Construire la figure en vraie grandeur dans le cadre ci-dessous. 3 pts h) Construire le cercle C circonscrit au triangle ACD. 1 pt 110° D C a) Déterminer l’angle .1 pt Comme la somme des mesures des angles dans un triangle est égale à 180°. Dans le triangle BCD, soit donc b) En déduire la nature du triangle ACD.1 pt Comme les angles sont adjacents et complémentaires alors le triangle ACD est rectangle en D c) Le segment [AC] est-il un diamètre du cercle C circonscrit au triangle ACD ? Justifier votre réponse.1 pt Oui, car [AC] est le côté le plus long du triangle ACD rectangle en D donc son hypoténuse et si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. d) Quelle est la nature du triangle ADB. Justifier votre réponse. 1 pt Dans le triangle ADB comme base ont la même mesure e) Déterminer l’angle alors il est isocèle en B car ses angles de . 1 pt Comme la somme des mesures des angles dans un triangle est égale à 180°. Dans le triangle ADB isocèle en B alors soit comme Alors i) Expliquer pourquoi le point B appartient au cercle C. 1 pt Comme la somme des mesures des angles dans un quadrilatère est égale à 360°. Dans le quadrilatère ABCD, soit donc Soit trois points distincts A, B et C si , alors le point B appartient au cercle C de diamètre [AC]. Autre solution admise : comme dans le triangle ABC , le côté [AC] est un diamètre du cercle C alors le triangle ABC est rectangle en B et donc inscrit dans le cercle C. Nom – Prénom : ………………………………. Devoir commun n°2 4 ème …… Calculatrice autorisée pour la partie problèmes !!! 3] PARTIE PROBLÈMES : Durée 40 minutes !!!! Problème 3 : bien voir mais ne pas éblouir !!! 4 pts Pour rouler en toute sécurité, les feux de croisement d’une voiture doivent avoir une portée comprise entre 30m (pour éclairer suffisamment loin) et 45 m (pour ne pas éblouir les autres usagers). Pour régler les feux de croisement, on place une voiture à 3 m d’un mur et on regarde à quelle hauteur elle éclaire le mur. Problème 1 : Drôle de collection !!! 4 pts Trois élèves gardent les billes des cartouches d’encre de leur stylo plume. Ils ont ensemble 171 billes Luc a six fois plus de billes que Marc et Chloé a deux fois plus de billes que Marc. On pose le nombre de billes que possède Marc. a) Exprimer en fonction de , le nombre de billes que possède luc : b) Exprimer en fonction de , le nombre de billes que possède Chloé : c) Mettre en équation le problème : d) Résoudre cette équation et déterminer le nombre de billes de chacun : Soit Donc Marc possède 19 billes, Luc possède 6×19 soit 114 billes et Chloé 2×19 soit 38 billes. À trois il possède bien 171 billes car 19 +114 +38 = 171 Problème 2 : qui ne manque pas d’air !!! 4 pts L’air est un mélange composée essentiellement de dioxygène (O2) et de diazote (N2). On relève les quantités de dioxygène contenu dans des volumes déterminés d’air. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous : Volume d’air en L 500 20 130 100 Volume de O2 en L 105 4,2 27,3 21 a) Justifier que ce tableau illustre une situation de proportionnalité Oui car les quotients de chaque colonne est identique à Ou il y a égalité des produits en croix entre chaque colonne 500×4,2=105×20 et 20×27,3=4,2×130 b) Compléter le tableau pour 100 Litre d’air. c) Compléter cette phrase : « l’air est composé de 21 % de dioxygène et de 78 % de diazote et de 1 % d’autres gaz. Mur On suppose (FS) // (MH) F Sol S M 3m H O Portée des feux de croisement MUR On effectue deux marques horizontales sur le mur indiquant les hauteurs minimales et maximales. Si les feux de croisement sont bien réglés il suffit de vérifier que la ligne haute d’éclairage sur le mur soit comprise entre ces deux marques, sinon on baisse ou on relève les optiques de phares. h mini Sachant que les feux de croisement d’une voiture sont a une hauteur moyenne de 60 cm du sol. Max Min h maxi sol a) Compléter l’égalité des trois rapports : Dans le triangle FSO on sait que M ϵ [FO] et H ϵ [SO] de plus (FS)//(MH)or d’après le théorème de Thalès on peut écrire : b) Indiquer, au cm près, à quelle hauteur doit-on effectuer ces deux marques horizontales sur le mur ? Détermination de h mini soit MH pour SO = 30 m portée minimale soit : l’égalité des produits en croix donne Soit MH= 0,54 m donc h mini = 54 cm Détermination de h maxi soit MH pour SO = 45 m portée maximale soit : l’égalité des produits en croix donne Soit MH= 0,56 m donc h mini = 56cm