Potentiel électrique en électrodynamique

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Potentiel électrique en
électrodynamique
Nous avons
B
E
t
∂
∇× = −
∂
B A
= ∇ ×
Et:
Donc:
( )
0
B A
E A
t t t
A
Et
∂ ∂ ∂
∇× = − = − ∇× = −∇×
∂ ∂ ∂
∂
∇× + =
∂
car
0
B
∇ ⋅ =
(absence de
monopôles
magnétiques
suggérée par les
observations)
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Nécessairement, le champ doit dériver (au sens du gradient)
d’un certain champ scalaire:
A
E
t
∂
+
∂
A
E
t
ϕ
∂
+ = −∇
∂
A
E
t
ϕ
∂
= −∇ −
∂
En régime statique ou en absence de champ magnétique, la dérivée partielle
par rapport au temps disparaît et l’on retombe sur la relation électrostatique
qui relie le potentiel au champ électrique !

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Courants de déplacement et de
polarisation
Nous avons vu que:
0
J
t
ρ
∂
∇ ⋅ + =
∂
Mais,
D
ρ
∇ ⋅ =
Donc:
( )
0
0
0
J D
t
D
Jt
D
Jt
∂
∇ ⋅ + ∇ ⋅ =
∂
∂
∇ ⋅ + ∇ ⋅ =
∂
∂
∇ ⋅ + =
∂
(toujours vrai: c’est un bilan
de qté de charges dans un
certain volume)
(on pose que cette
relation statique
reste valable en régime
dynamique)
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D’autre part, la magnétostatique
nous enseigne que:
H J
∇× =
Et puisque la divergence d’un rotationnel est toujours nulle, on doit avoir:
(
)
0
H J
∇ ⋅ ∇ × = ∇ ⋅ =
Il y a contradiction flagrante entre:
0
J
∇ ⋅ =
0
D
Jt
∂
∇ ⋅ + =
∂
et
Pour se sortir de cette mauvaise passe, Maxwell a donc supposé qu’en
électrodynamique il faut concevoir un courant total:
tot
D
J J
t
∂
= +
∂

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En électrodynamique, le théorème d’Ampère doit donc être modifié:
tot
D
H J J
t
∂
∇× = = +
∂
Le terme est appelé courant de déplacement.
D
t
∂
∂
Si l’on se rappelle en outre que
0
D E P
ε
= +
alors:
0
E P
H J
t t
ε
∂ ∂
∇× = + +
∂ ∂
Courant libre Courant de déplacement
électrique
Courant de
polarisation
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Dans la matière, on peut en outre avoir un courant de magnétisation
volumique et le théorème d’Ampère pour l’induction magnétique est:
0
0
B E P
J M
t t
ε
µ
∇× ∂ ∂
= + + + ∇×
∂ ∂
(
)
0
B H M
µ = +
Courant libre Courant de déplacement
électrique Courant de
polarisation
Courant de
magnétisation
Sachant que:

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Équations de Maxwell
En vertu de tout ce qui précède, on postule que tout l’électromagnétisme
(statique ou non, dans le vide chargé ou dans la matière) est contenu dans
les quatre équations de Maxwell suivantes:
0
D
D
H J
t
B
E
t
B
ρ ∇ ⋅ =
∂
∇× = +
∂
∂
∇× = − ∂
∇ ⋅ =
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Notion de jauge
Le champ électrique et le champ d’induction magnétique dérivent des
potentiels de la manière suivante:
B A
= ∇×
A
E
t
ϕ
∂
= −∇ −
∂
Mais la connaissance de et n’assure pas l’unicité des champs électrique
et magnétique. En effet, considérons un champ scalaire Λ
ΛΛ
Λquelconque. Alors
le couple de potentiels suivant redonne les mêmes champs électrique et
magnétique,
A
ϕ
'
'
A A
t
ϕ ϕ
= + ∇Λ
∂Λ
= −
∂

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( )
' 'B A
A
A
= ∇×
= ∇ × + ∇Λ
= ∇× + ∇×∇Λ
A
B
= ∇×
=
(le rotationnel d’un
gradient donne le
vecteur nul)
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( )
'
' ' A Et
A
t t
t
ϕ
ϕ
ϕ
∂
= −∇ − ∂
∂Λ ∂
= −∇ − − + ∇Λ
∂ ∂
∂Λ
= −∇ + ∇ 
∂
(
)
A
t t
∂ ∂
− − ∇Λ
∂ ∂
A
t
E
ϕ
∂
= −∇ − ∂
=
Termes égaux
si fonction C
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