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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieure et de la
Recherche Scientifique
U n i v e r s i t é d e s S c i e n c e s e t d e l a Te c h n o l o g i e d ’ O r a n
Mohamed Boudiaf (USTO)
Faculté des Sciences
Département d’Informatique
La méthode Branch&Bound
Présenté par : Souidi Abdelhak
1
Plan de travail
1-Introduction
2-Définition
3-Historique
4-Principe de l’algorithme
5-domaines d’application
6-Exemple d’application
7-Conclusion
8-Bibliographique
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introduction
Pour plusieurs problèmes, en particulier les problèmes d’optimisation,
l’ensemble de leurs solutions est fini (en tous les cas, il est
dénombrable). Il est donc possible, en principe, d’énumérer toutes ces
solutions, et ensuite de prendre celle qui nous arrange. L’inconvénient
majeur de cette approche est le nombre prohibitif du nombre de
solutions : il n’est guère évident d’effectuer cette énumération.
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- définition
La technique du Branch & Bound est une méthode algorithmique classique pour
résoudre un problème d'optimisation combinatoire. Il s'agit de rechercher une
solution optimale dans un ensemble combinatoire de solutions possibles.
La méthode repose d'abord sur la séparation (branch) de l'ensemble des solutions
en sous-ensembles plus petits.
4
- définition
L'exploration de ces solutions utilise ensuite une évaluation optimiste pour majorer
(bound) les sous-ensembles, ce qui permet de ne plus considérer que ceux
susceptibles de contenir une solution potentiellement meilleure que la solution
courante.
5
- Historique
-
La méthode B&B a été proposée pour la première fois par Ailsa. H. Land and
Alison. G. Doig en 1960 pour la programmation discrète
-
En 2002 G. Gutin et A.P. Punnen publiaient un livre “The Traveling Salesman
Problem and Its Variations”
Ce livre couvre tous les domaines importants de l'étude sur TSP, y compris la
théorie des polyèdres symétriques et asymétriques pour le TSP, branch and bound
et d’autres méthodes.
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Principe de l’algorithme B&B
1. Branch: Séparation.
2. Bound: Evaluation
 - Le branchement ou bien la séparation:
 diviser un ensemble de solutions en plusieurs sous-ensembles.
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Principe de l’algorithme B&B

la phase d’évaluation d’un nœud de l’arbre de
décision a pour but de déterminer :
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Principe de l’algorithme B&B
 Que
cet ensemble ne contient pas de solution intéressante
pour la résolution du problème
(i.e LB> min ( coût (si ))) donc pas de séparation
 De
déterminer l’optimum de l’ensemble des solutions
réalisable associé au nœud question
ie: LB<min (coût(si)) et ceci pour un cas de minimisation de
la fonction du coût.
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Stratégie de la recherche
Pour représenter une PSE, nous utilisons un « arbre de
recherche »
Il y a deux façons pour explorer l’arbre:
- En profondeur : nécessite des retours arrière.
- Va l e u r m i n i m a l e : l e n œ u d d o n t l ’ é v a l u a t i o n e s t m i n i m a l
10
Quelques problèmes
d’application
 Le problème du voyageur de commerce TSP (Traveling Salesman
Problem)
 Le problème du sac à dos
 Des problèmes complexes, NP-complets le plus souvent.
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Exemple d’application
Soit le problème du sac à dos suivant :
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 18𝑥1 + 5𝑥2 + 10𝑥3 + 8𝑥4 + 12𝑥5 + 18𝑥6
𝐴𝑣𝑒𝑐 3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 + 4𝑥5 + 6𝑥6 ≤ 9
𝑥𝑖 ∈ 0,1 ∀ 𝑖 = 1, … , 6
12
Exemple d’application
xi
ai
ci
Rdt P
1
3
18 6
1
1
1
1
1
2
1
5
5
1
1
1
1
0
3
2
10 5
1
1
1/2 1
0
4
2
8
1
1
0
1
0
5
4
12 3
1/4 0
1
0
0
6
6
18 3
0
1/6 0
0
1
4
P1 P2 P3 P4
b= 9
13
Exemple d’application
P
x5=0
Zsup =44
x6=0
P3
Z =41
x5=1
P2
P1
x6=1
Zsup = 40
Arrêt car Zsup<Zbest
P4
Z =36
Arrêt
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Exemple d’application
 Relaxation de P
Solution Optimale Réelle
x* = (1, 1, 1,1 ,1/4 ,0)
Solution Arrondie
X= (1, 1, 1, 1,0, 0)
Z* = 44
𝒁 = 41
On enregistre cette solution comme meilleure solution rencontrée :
xbest = 𝑋 et Zbest = 41
41 ≤ Zopt ≤ 44
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Exemple d’application

P1
(1, 1, 1, 1, 0, 1/6)
Zsup = 44 > Zbest  Divisier en P3 et P4

P2
(1, 1, ½, 0, 1, 0)
Zsup = 40 < Zbest  Arrêt

P3
(1, 1, 1, 1,0, 0) Z = 41  Arrêt (solution entière) ; Zbest inchangé

P4
(1, 0, 0, 0, 0, 1) Z = 36  Arrêt (solution entière) ; Zbest inchangé
Toutes les branches sont arrêtées  Zopt = Zbest = 41 et xopt = (1, 1, 1, 1, 0, 0)
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Conclusion
La technique abordée dans cette approche est une méthode exacte
d’optimisation qui rend optimale la fonction objective et pratique une
énumération intelligente de l’espace des solutions. Il s’agit en quelque
sorte d’énumérations complètes améliorées.
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Conclusion
Elle partage l’espace des solutions en sous-ensembles de plus en plus
petits et est appliquée à des problèmes NP-difficiles .Cette méthode
reste bien sûr exponentielle, mais sa complexité en moyenne est bien
plus faible que pour une énumération complète.
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Conclusion
Pour des problèmes de grande taille, sa durée d’exécution devient
prohibitive, et il faut se tourner vers des heuristiques.
19
Bibliographie
Stephen Boyd, and Mattingley Jacob. « Branch and Bound Methods », mars 11, 2007. Stanford University.
Marcel, Turkensteen. « Advanced Analysis of Branch and Bound Algorithms » (2006). Netherlands.
« Resolution par separation et evaluation : Branch & Bound », Ensimag 2A -2011 2010.
« Séparation et évaluation ». Wikipédia, novembre 20, 2012.
http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%A9paration_et_%C3%A9valuation&oldid=84541985.
« Branch and Bound ». Wikipedia, the Free Encyclopedia, décembre 31, 2012.
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Branch_and_bound&oldid=523038172.
« Resolution par separation et evaluation : Branch & Bound », Ensimag 2A -2011 2010.
« Optimisation (mathématiques) ». Wikipédia, décembre 27, 2012.
http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Optimisation_(math%C3%A9matiques)&oldid=869
75346.
http://wwwens.uqac.ca/~rebaine/8INF806/techniquedebranchandboundcourshiver2005.pdf
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