Modèles thermiques ()

Thermodynamique et modèles
thermiques
Guy Gauthier
Été 2010
Notions d’énergie
Énergie
totale
Niveau macroscopique
Énergie cinétique
Énergie potentielle
Niveau microscopique
Énergie interne
2
L’énergie totale

L’énergie totale d’un système est
définie comme étant la somme de:



L’énergie interne;
L’énergie cinétique;
L’énergie potentielle.
TE  U  KE  PE
3
Énergie cinétique


L’énergie cinétique est associée au
mouvement.
Elle s’exprime par l’équation
suivante:
2
1
2
KE  mv
4
Énergie potentielle


L’énergie potentielle est associée à
de l’énergie stockée et qui peut être
utilisée.
Elle s’exprime par l’équation
suivante:
PE  mgh
5
L’énergie interne
Énergie
interne
Niveau microscopique
Agitation thermique
Température
Énergie de liaison
Chimie
Énergie nucléaire
6
Ainsi…

Mécanique des fluides:


Réactions chimiques:


Énergie au niveau macroscopique;
Énergie au niveau microscopique;
Transfert de chaleur:

Agitation thermique.
7
Énergie par unité de masse

Dans certains modèles il peut être
plus facile de représenter l’énergie
par unité de masse.

Ainsi:
TE  U  KE  PE

Énergie totale:

Énergie cinétique:
KE  v

Énergie potentielle:
PE  gh
1
2
2
8
Hypothèse simplificatrice

Pour la majorité des procédés
chimiques, les termes d’énergie
cinétique et d’énergie potentielle
sont négligés.

Leur contribution est de 2 ordres de
grandeur inférieure à l’énergie interne.
9
Vers la définition de l’enthalpie

Transformation isobare (P=cte):



Échange de chaleur et travail Qp;
Force de pression Wf,p.
Premier principe:

Variation d’énergie interne:
U  U B  U A  Q p  W f , p
10
A pression constante

Travail des forces de pression:

Ainsi:
Wf , p   pV   p VB  VA 
Qp  U B  pVB   U A  pVA 
Enthalpie
11
Enthalpie

Dans le cas des fluides, on utilise
l’enthalpie pour représenter
l’énergie.
H  U  pV

Elle se définit par:

Par abus de langage:

Chaleur  enthalpie.
12
Enthalpie
Hˆ  Uˆ  pVˆ

Par mole:

Par unité de masse:
H  U  pV
p
U 

13
Comment utiliser ces informations en modélisation
EXEMPLE
14
Exemple

Soit un réservoir isolé
thermiquement pour éviter les
pertes. Ce réservoir est traversé
par un liquide qui sera chauffé par
un élément chauffant.

Ce liquide sera mélangé pour assurer
que la température soit uniforme dans
le réservoir.
15
Bilan matière

Masse dans le réservoir = masse
entrante – masse sortante :
d V
  i Fi   Fo
dt

Si changement de densité négligeable
et changement de volume nul :
Fi  Fo  F
16
Bilan énergétique

Accumulation d’énergie :
dTE
  i Fi TEi   Fo TE  Q  WT
dt
17
Bilan énergétique

Accumulation d’énergie :
dTE
  i Fi TEi   Fo TE  Q  WT
dt

L’énergie cinétique et l’énergie
potentielle sont négligées:
dU
  i Fi U i   FoU  Q  WT
dt
18
Le travail fait sur le système

Combinaison de l’énergie du
mélangeur et de l’énergie pour
amener le liquide dans le réservoir
et le sortir du réservoir:
WT  WS  Fi pi  Fo p
19
Le travail fait sur le système

Combinaison de l’énergie du
mélangeur et de l’énergie pour
amener le liquide dans le réservoir
et le sortir du réservoir:
WT  WS  Fi pi  Fo p

Donc :
Enthalpie


dU
pi 
p
  i Fi  Ui     Fo  U    Q  WS
dt
i 



20
Enthalpie totale

Équation de l’enthalpie totale :
H  U  pV

Donc, en isolant l’énergie interne et
en dérivant :
dU dH dpV


  i Fi Hi   Fo H  Q  WS
dt
dt
dt
21
Simplification
dpV
dV
dp
 Or :
 p
V
dt
dt
dt

Si le volume est constant et que la
variation de la pression moyenne
peut être négligée, alors :
dpV
0
dt
22
Simplification (suite)

Ce qui mène à :
dH
  i Fi Hi   Fo H  Q  WS
dt
23
Simplification (suite)

Comme la densité est supposée
constante et les débits sont les
mêmes (car volume constant),
alors :
dH
  F  Hi  H   Q  WS
dt
24
Enthalpie totale revisitée

Le terme d’enthalpie totale est :
H   VH

S’il n’y a pas de changement de
phase :
T
H (T ) 
 c dT  c T  T 
*
p
p
T*
Température de référence
25
Retour sur le bilan
énergétique


Le terme d’enthalpie totale est :
   Fc T  T   T  T   Q  W
d  Vcp T  T * 
dt

*
p
*
i
S
Puisque la densité et le volume sont
constants :
d T  T
 Vc p
dt
*

  Fc p Ti  T   Q  WS
26
Retour sur le bilan
énergétique (suite)

Puis : dT

Négligeant l’effet du mélangeur :
F
Q
WS
 Ti  T  

dt V
 Vcp  Vcp
dT F
Q
 Ti  T  
dt V
 Vcp
1
27
En régime permanent

Température de sortie en régime
permanent :
F
Qss
0  Ti  Tss  
V
 Vcp


2
On bâtira le modèle sur l’écart entre le
système et son régime permanent.
Note: Ti est assumé constant.
28
Modèle basé sur les
variations

Combinant 1 et 2 la température
de sortie en régime permanent est:
dT F
Q  Qss
 Tss  T  
dt V
 Vcp

En posant : x1  T  Tss
u  Q  Qss
y  T  Tss
29
Passage aux équations
d’état
F
1
1   x1 
 Alors: x
u
V
 Vcp
y  x1
30
Transformation de Laplace

Cela donne :
1 Vc p
Y (s)
 G ( s) 
U (s)
s  F V 

Système de 1er ordre (normal car il n’y
avait qu’un seul état).
31
Et, si Ti n’était pas constant
(perturbation)

On aurait alors eu en régime
permanent:
F
Qss
0  Tiss  Tss  
V
 Vcp

Ce qui aurait mené à :
dT F
Q  Qss F
 Ti  Tiss  
 T  Tss 
dt V
 Vcp V
32
Modèle amélioré

Posant: x1  T  Tss
d  T  Tiss
u  Q  Qss

Les équations du modèle
deviennent :
F
1
F
x1   x1 
u d
V
 Vcp
V
y  x1
33
Transformation de Laplace

Cela donne :
Y ( s )  G1 ( s )U ( s )  G2 ( s ) D( s )
1 Vc p
FV

U ( s) 
D( s)
s  F V 
s  F V 
34
Exemple numérique

Si F = 10 pi3/min, V = 20 pi3, ρ =
62.5 lbs/pi3, cp = 1 BTU/lb/°F, alors
on fait face à ce système :
x1   0.5x1  0.0008u  0.5d
y  x1
35
Simulation
Réponse du système
Résultats:
6
Écart de température (°F)

7
Échelon sur u(t) de 1000 BTU
5
4
3
2
1
Échelon sur d(t) de +5 °F
0
0
10
20
30
40
Temps (minutes)
50
60
36
Qu’en sera-t-il des réactions chimiques endothermiques ou
exothermiques ?
ON REVERRA CES
ÉQUATIONS THERMIQUES
BIENTÔT !!!
37