Propriété

Chapitre 2
Triangles
I. Construction de triangles
1. Construction de triangles connaissant les longueurs des 3 côtés
Construction n°1 :
ABC est un triangle tel que : AB = 2 cm ; AC = 3 cm ; BC = 4 cm.
Peut-on tracer tous les triangles ?
Quelles conditions doivent avoir les
mesures d’un triangle ?
 Activité
2. Inégalité triangulaire
Propriété :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des
longueurs des deux autres côtés.
Exemple :
Dans le triangle ABC, on a :
AB < AC + CB
AC < AB + BC
BC < BA + AC.
Conséquence :
a, b et c sont trois longueurs données, a est la plus grande de ces longueurs.
Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de côtés a, b et c.
Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de côtés a, b et c.
Exemple :
Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm, EF = 1,5 cm et
DF = 3 cm ?
On compare la longueur du plus grand côté et la somme des longueurs des
deux autres côtés :
ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 et DF = 3
On a DF > ED + EF. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, donc on ne
peut pas construire un tel triangle.
3. Construire un triangle connaissant un angle et les
longueurs de ses côtés communs.
Construction n°2 :
DEF est un triangle tel que : DE = 3 cm ; DF = 4 cm et 𝐸𝐷𝐹 = 30°
4. Construire un triangle connaissant deux angles et la
longueur du côté commun.
Construction n°3 :
IJK est un triangle tel que : IJ = 4 cm ;
𝐼𝐽𝐾 = 60° et 𝐽𝐼𝐾 = 45°
5. Somme des angles dans un triangle
Propriété :
La somme des angles dans un triangle est égale à 180°.
Exemple :
Dans ce triangle, l’angle 𝐵𝐶𝐴 mesure
180 – ( 30 + 80 )
= 180 – 110
= 70°
Cas particulier :
Un triangle isocèle est un triangle qui à deux angles à la base égaux.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses 3 angles de même mesure,
c’est-à-dire 180 : 3 = 60°.
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, c’est-à-dire de 90°.
II. Droites remarquables dans un triangle
1. Médiatrice
Définition :
On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du
segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
( d ) passe par O milieu de [MN] . ( d ) est perpendiculaire à [MN] .
Propriété :
Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant
des extrémités de ce segment. P appartient à (d) d'où PM = PN.
Propriété :
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à
la médiatrice de ce segment.
PM = PN donc P appartient à la médiatrice de [MN]
Remarque :
Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle.
Propriété :
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un
même point). Leur point de concours est le centre du cercle passant par les
3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.
2. Hauteurs
Définition:
Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et
qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Propriété :
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.
3. Médianes
Définition:
Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et
par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Propriété :
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle.
4. Bissectrices
Définition:
On appelle bissectrice une droite qui partage un angle en deux angles égaux.
Propriété :
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de
concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.