2-1/m

Performance des algorithmes
à véracité garantie pour
l'ordonnancement de tâches
individualistes
Fanny Pascual - Laboratoire d’Informatique de
Grenoble (LIG)
En collaboration avec :
Georges Christodoulou (Max Planck Institute),
Laurent Gourvès (LAMSADE, Univ. Dauphine)
Ordonnancement P||Cmax
m machines identiques
 n tâches
 toute tâche i a - une longueur li
- un numéro d’identification

M1
M2
M1
M2
Objectif : minimiser le makespan (la plus
grande date de fin)
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2
Algorithmes d’approximation

SPT (Shortest Processing Time first)
 2-1/m
approché
Exemple: tâches de longueur 1, 2, 2, 3, 4
M1
1
M2

2
4
3
LPT (Largest Processing Time first)
 4/3-1/(3m)

2
approché
Schéma d’approximation
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3
Ordonnancement de tâches détenues
par des agents individualistes

Chaque tâche i est détenue par un agent
qui seul connaît li
(tâche ≡ agent)

Les tâches communiquent leur longueur à
un protocole qui doit les ordonnancer de
sorte à minimiser le makespan
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Stratégies des agents
L’algorithme d’ordonnancement est connu.
 Le but de chaque tâche est de minimiser
sa date de fin d’exécution.
 Chaque tâche i déclare une valeur bi
représentant sa longueur.
 Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)

bi
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li
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Un exemple
Le protocole utilise l’algorithme LPT
 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines

La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur
afin de minimiser sa date de fin d’exécution.
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Algorithmes à véracité garantie
Algorithme à véracité garantie : algorithme
avec lequel les tâches ne peuvent pas
diminuer leur date de fin en mentant sur
leur longueur.
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Retour sur l’exemple

Le protocole utilise l’algorithme SPT
C’est un algorithme déterministe, à véracité
garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04]
Existe–t’il un algorithme avec véracité garantie
avec un meilleur rapport d’approximation ?
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Objectif
Borner la performance d’un protocole
(algorithme) à véracité garantie dans
divers contextes
 Déterministe
ou randomisé
 Modèle d’exécution fort ou souple
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Modèles d’exécution

Modèle fort
 Une
tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat li unités de temps après le début de
son exécution.

Modèle souple

Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat bi unités de temps après le début de
son exécution.
bi = 3
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li = 2
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe
inf.
Fort
sup.
Randomisé
inf.
2-1/m *
Souple
sup.
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)**
1 ***
1 ***
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]
*** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006]
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe
inf.
sup.
?
2-1/m *
Fort
Souple
Randomisé
inf.
sup.
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)**
1 ***
1 ***
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]
*** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006]
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Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure (1/2)
Hyp : Algorithme déterministe et de rapport
d’approximation < 2-1/m .
m machines
 m(m-1)+1 tâches de longueur 1

M1
1
1
M2
1
1
M3
1
1
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1
Au moins une tâche t se
termine à la date m.
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Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure (2/2)


la tâche t déclare 1 :
1
1
1
1
1
1
1
fin(t) ≥ 3
La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :
Ordonnancement optimal
Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché
3
3
1
1
1
1
1
1
OPT = 3
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Makespan < (2-1/m) OPT = 5
début(t) < 2, fin(t) < 3
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
Souple
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Randomisé
inf.
sup.
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
(pour m=2: 1,25)
(pour m=2: 1,39)
1
1
15
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
Souple
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?
Randomisé
inf.
sup.
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
(pour m=2: 1,25)
(pour m=2: 1,39)
1
1
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Un algorithme déterministe pour le
modèle souple
Idée : bénéficier de l’avantage de LPT
(son rapport d’approx) mais pas de son
inconvénient (les tâches mentent pour être
exécutées en premier).
 Construire un ordonnancement LPT puis
l’exécuter en sens opposé, i.e. du
makespan (Cmax) à la date 0.

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LPT mirror
LPT
LPT mirror
8
4
5
6
1
1
4
4
4
8
5
6
d(t)
Cmax
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à
la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle
alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que
diminuer.
LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Souple
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
4/3-1/(3m)
1
1
m=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/6
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Système distribué
Les tâches décident sur quelle machine
elles vont être exécutées.
 La stratégie de la tâche i est (bi,mi)
 Chaque machine j a un algorithme local
d’ordonnancement. Cet algorithme ne
dépend que des tâches ayant choisi j :
mécanisme de coordination [Christodoulou et al.

ICALP’04]
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Prix de l’anarchie

Équilibre de Nash : Situation dans laquelle
aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en
changeant unilatéralement de stratégie.

Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}
Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les
mécanismes de coordination à véracité garantie.
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Bornes pour un système distribué
Déterministe
Fort
Souple
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Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-1/m
2-1/m
2-1/m
22
Bornes pour un système distribué
Déterministe
Fort
Souple
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-1/m
2-1/m
1+(√13-3)/4>1.15
2-1/m
(1+√17)/4 > 1.28
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Randomisé
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Perspectives
Réduire les écarts entre bornes sup et inf
 Mécanisme de coordination avec véracité
garantie
 Agents contrôlant plusieurs tâches
 Machines hétérogènes, cas online

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Modèle souple, mécanisme de
coordination déterministe, borne inf
M1
M1
M2
M2
M1
M1
M2
M2
ρ < (2+ε)/2
et
ρ ≥ 2/(1+ε)
→ ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28
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Modèle fort, algorithme randomisé,
borne inférieure
Hyp : Existence d’un algorithme à véracité
garantie, randomisé et de rapport
d’approximation 3/2 - 1/(2m) - ε


m machines identiques
xm(m-1)+m tâches de longueur 1 (x entier)
Existence d’une tâche t telle que :
E[C(t)] ≥(x(m-1))/2 + 1
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Modèle fort, algorithme randomisé,
borne inférieure

Si x>1/(2εm)-1/(2εm²)-1/m alors la tâche t peut
déclarer xm+1 plutôt que 1 et diminuer
l’espérance de sa date de fin
E[C(t)] + xm = E[C’(t)] ≤ (3/2 - 1/2m - ε)OPT’
E[C(t)] + xm ≤ (3/2 - 1/2m - ε)(xm + 1)
E[C(t)] < (x(m-1))/2 + 1
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Modèle souple, algorithme
déterministe, borne inférieure
(1)
Hyp : algorithme à véracité garantie de
rapport d’approximation 11/10 – ε
 2 machines et 5 tâches de longueurs
{5,4,3,3,3}

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Modèle souple, algorithme
déterministe, borne inférieure
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(2)
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Modèle souple, algorithme
déterministe, borne inférieure
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(3)
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Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure
C(t) + m - 1 = C’(t) ≤ (2-1/m-ε)OPT’
C(t) + m – 1 ≤ 2m – 1 - εm
C(t) ≤ (1-ε)m < m
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LPT mirror
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se
termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur
réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t)
ne peut que diminuer.
LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m)
approché.
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