m - Lip6

Ordonnancement en
présence d’agents
individualistes
Réunion DMDC, 11 juin 2008
Ordonnancement P||Cmax
m machines identiques
 n tâches
 toute tâche i a une longueur li

M1
M2
M1
M2
Objectif : minimiser le makespan (la plus
grande date de fin)
2
Algorithmes d’approximation
Algorithme -approché: retourne un
ordonnancement dont le makespan est au
plus  fois le makespan optimal.
 SPT (Shortest Processing Time first)

 2-1/m
approché
Exemple: tâches de longueur 1, 2, 2, 3, 4
M1
M2

2
1
2
4
3
LPT (Largest Processing Time first)
 4/3-1/(3m)
approché
3
Plan
Optimisation combinatoire en présence
d’agents individualistes.

Problèmes de stabilité (les agents ont un
certain degré de liberté)
 Exemple
dans des systèmes distribués
 Exemple dans un système centralisé

Problèmes de véracité des informations (les
agents ont des caractéristiques privées)
4
Performance des systèmes
distribués

Chaque machine j a un algorithme local
d’ordonnancement. Cet algorithme ne
dépend que des tâches que j ordonnance :
mécanisme de coordination [Christodoulou et al.
ICALP’04]

Exemple: 2 machines,
Machine 1 : ordonnance les tâches selon l’ordre SPT,
Machine 2 : ordonnance les tâches selon l’ordre LPT
5
Performance des systèmes
distribués
Les tâches décident sur quelle machine
elles vont être exécutées: la stratégie de la
tâche i est mi .
 Équilibre de Nash : Situation dans laquelle
aucune tâche ne peut se terminer plus tôt
en changeant unilatéralement de stratégie.
 Exemple: Politique(M1)=SPT, Politique(M2)=LPT

M1
M2
1
2
3
4
6
Prix de l’anarchie

Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}

Exemple (Politique(M1)=SPT, Politique M2=LPT): Prix
de l’anarchie = 4/3
Objectif : trouver un mécanisme de coordination
ayant le plus petit prix de l’anarchie possible.
[Christodoulou et al. ICALP’04]
7
Plan
Optimisation combinatoire en présence
d’agents individualistes.

Problèmes de stabilité (les agents ont un
certain degré de liberté)
 Exemple
dans des systèmes distribués
 Exemple dans un système centralisé

Problèmes de véracité des informations (les
agents ont des caractéristiques privées)
8
Contexte : grille de calcul
m1 machines
…
Organisation O1
…
…
m2 machines
Organisation O3
…
Organisation O2
…
…
m3 machines
Grille de calcul : collection de clusters
indépendants appartenant chacun à une
organisation.
Applications : tâches parallèles rigides
Des utilisateurs soumettent des applications : tâches
parallèles.
Durée d’exécution pi
#de machines nécessaires qi
Tâche i
Les utilisateurs soumettent les
tâches à leur organisation.
…
O1
…
…
O3
…
…
O2
…
Les organisations peuvent coopérer
…
O1
…
…
O3
…
…
O2
…
Présentation du problème
Cmax(O3)
Ordonnancements locaux :
O1
O1
Cmaxloc(O1)
Cmax(O1)
O2
O2
O3
Cmax(O2)
O3
Cmax(Ok) : date de fin maximum des tâches de Ok.
Chaque organisation veut minimiser son makespan.
Présentation du problème
•Données : n organisations, chacune ayant mi
machines et des tâches locales.
•But : minimiser le makespan global OPT
=max(Cmax(Ok)) sous la contrainte que aucun
makespan local n’est augmenté.
=> Problème NP-difficile; algorithmes approchés
et expérimentations.
Plan
Optimisation combinatoire en présence
d’agents individualistes.

Problèmes de stabilité (les agents ont un
certain degré de liberté)
 Exemple
dans des systèmes distribués
 Exemple dans un système centralisé

Problèmes de véracité des informations (les
agents ont des caractéristiques privées)
15
Optimisation en présence de
caractéristiques privées.

Chaque tâche i est détenue par un agent
qui seul connaît li
(tâche ≡ agent)

Les tâches communiquent leur longueur à
un protocole qui doit les ordonnancer de
sorte à minimiser le makespan
16
Stratégies des agents
L’algorithme d’ordonnancement est connu.
 Le but de chaque tâche est de minimiser
sa date de fin d’exécution.
 Chaque tâche i déclare une valeur bi
représentant sa longueur.
 Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)

bi
li
17
Un exemple
Le protocole utilise l’algorithme LPT
 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines

La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur
afin de minimiser sa date de fin d’exécution.
18
Algorithmes à véracité garantie
Algorithme à véracité garantie : algorithme
avec lequel les tâches ne peuvent pas
diminuer leur date de fin en mentant sur
leur longueur.
19
Retour sur l’exemple

Le protocole utilise l’algorithme SPT
C’est un algorithme déterministe, à véracité
garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04]
Existe–t’il un algorithme avec véracité garantie
avec un meilleur rapport d’approximation ?
20
Objectif
Borner la performance d’un protocole
(algorithme) à véracité garantie dans
divers contextes
 Déterministe
ou randomisé
 Modèle d’exécution fort ou souple
21
Modèles d’exécution

Modèle fort
 Une
tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat li unités de temps après le début de
son exécution.

Modèle souple

Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat bi unités de temps après le début de
son exécution.
bi = 3
li = 2
22
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
inf.
sup.
?
2-1/m
Randomisé
inf.
sup.
Souple
23
Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure (1/2)
Hyp : Algorithme déterministe et de rapport
d’approximation < 2-1/m .
m machines
 m(m-1)+1 tâches de longueur 1

M1
1
1
M2
1
1
M3
1
1
1
Au moins une tâche t se
termine à la date m.
24
Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure (2/2)


la tâche t déclare 1 :
1
1
1
1
1
1
1
fin(t) ≥ 3
La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :
Ordonnancement optimal
Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché
3
3
1
1
1
1
1
1
OPT = 3
Makespan < (2-1/m) OPT = 5
début(t) < 2, fin(t) < 3
25
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Souple
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
(si m=2: 1,5)
(si m=2: 1,5)
(si m=2: 1,25)
(si m=2: 1,39)
m=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/6
4/3-1/(3m)
(si m=2:
1,16)
1
1
26
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Souple
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
(si m=2: 1,5)
(si m=2: 1,5)
(si m=2: 1,25)
(si m=2: 1,39)
7/6
4/3-1/(3m)
(si m=2: 1,16)
(si m=2: 1,16)
1
1
27
Système distribué
Les tâches décident sur quelle machine
elles vont être exécutées.
 La stratégie de la tâche i est (bi,mi)
 Mécanismes de coordination (chaque
machine j a un algorithme local
d’ordonnancement)
 Objectif : borner le prix de l’anarchie pour
les mécanismes de coordination à véracité
garantie.

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Bornes pour un système distribué
Déterministe
Fort
Souple
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-1/m
2-1/m
1+(√13-3)/4>1.15
2-1/m
(1+√17)/4 > 1.28
29
Conclusion
Problèmes d’ordonnancement avec
agents individualistes.
 Stabilité des solutions : concevoir des
protocoles retournant des solutions
stables et de bonne qualité.
 Informations privées : guarantir la véracité
des informations avec des algorithmes à
véracité garantie.
30